李云東 楊翊仁
(1.西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院 成都 610031)(2.四川理工學(xué)院理學(xué)院,自貢 643000)
管束振動(dòng)是當(dāng)流體流過(guò)換熱器的管陣時(shí),流體力、慣性力、和彈性力聯(lián)合作用下動(dòng)力失穩(wěn)而發(fā)生的自激振動(dòng).動(dòng)力失穩(wěn)將引起管的毀壞,管大幅度的振動(dòng)可能會(huì)引起管與管之間的碰撞以及管與折流板之間的磨損[1].在一定流速下,如果流體給管子的能量大于管子阻力消耗的能量,管子的振幅突然增大,即發(fā)生了一般所說(shuō)的流彈性振動(dòng).在流彈性失穩(wěn)后,隨著流速增加,結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的幅度增大,系統(tǒng)非線性影響變得重要.Weaver[2]指出非線性是換熱器管陣結(jié)構(gòu)的固有性質(zhì),主要來(lái)自于管與松散支撐 的 折 流 板 的 碰 撞.Paidoussis和Li[3]、Chen etal[4]、Cai和Chen[5]、de Bedout[6]、王琳[7]都研究過(guò)管陣中管子帶有結(jié)構(gòu)強(qiáng)非線性的橫向流致振動(dòng),復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為可能出現(xiàn),尤且是可能出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng).以上研究均未考慮熱效應(yīng)的影響,實(shí)際上換能器中的管陣,將經(jīng)歷嚴(yán)酷的熱環(huán)境.
本文是在Paidoussis和Li[3]研究的基礎(chǔ)上,繼續(xù)考慮管的非線性響應(yīng)問(wèn)題.以圓柱陣中一根典型單柱為研究對(duì)象,首先建立了考慮熱效應(yīng)的圓柱的動(dòng)力學(xué)方程,然后應(yīng)用Galerkin方法離散運(yùn)動(dòng)方程,首先分析了熱載荷對(duì)系統(tǒng)臨界流速的影響,采用數(shù)值方法研究了隨著橫向流速的變化,系統(tǒng)出現(xiàn)的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象,包括混沌和周期窗口在內(nèi)的各種復(fù)雜響應(yīng).
本文為了分析方便,把管當(dāng)作圓柱來(lái)處理,橫向流作用下的圓柱陣中,取一根彈性圓柱,其兩端固支,中間受到折流板的約束的圓柱模型,如圖1所示.圓柱排外部遭受橫向流,流體速度和密度為U和ρ,圓柱直徑為D,圓柱長(zhǎng)度為l.
在模型中,考慮振動(dòng)圓柱中間受到折流板的約束,模擬為圓柱中間作用有非線性彈簧,其彈簧約束考慮為立方非線性彈簧,彈簧約束力與圓柱振動(dòng)位移關(guān)系為:
其中:k1為剛度,δ為Dirac delta函數(shù)
Mx是圓柱的彎矩;w為圓柱橫向振動(dòng)的變形;c是結(jié)構(gòu)的黏性阻力系數(shù);m是每單位長(zhǎng)度圓柱質(zhì)量;F是橫向流作用在圓柱上的流體力.
圓柱橫向位移導(dǎo)致圓柱軸向伸長(zhǎng)而引起的附加力
其中:σ是應(yīng)力,A是圓柱的橫截面.
根據(jù)Wickert的彈性梁簡(jiǎn)化模型,應(yīng)變位移關(guān)系為:
設(shè)材料為完全彈性材料,考慮溫度的影響,有:
其中:E是彈性模量,αT是熱膨脹系數(shù),ΔT=TT0,T0:初始溫度,T:升高溫度.
把(3)代入(4)得到沿x軸變化的附加軸力為:
彎矩Mx:
其中:I截面慣性矩.
把(5)(6)代入(1),有:
流體力F是圓柱運(yùn)動(dòng)位移函數(shù),文獻(xiàn)[3][7]給出了“準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)”模型來(lái)表示,Price和Paidoussis[8]展示了運(yùn)用此模型的得到的管陣穩(wěn)定性結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)具有較好的一致性.
圖1 (a)橫向流中的圓柱陣(b)中間約束的彈性圓柱Fig.1 (a)Array of cylinders in cross flow(b)A single elastic cylinder with intermediate constraints
其中:
CL和CD是圓柱陣中圓柱的升力和阻力系數(shù),Cma是流體附加在圓柱上的附加質(zhì)量系數(shù),U是來(lái)流速度,D是圓柱直徑,ρ是流體密度,Δt是時(shí)間延遲來(lái)自于圓柱運(yùn)動(dòng)和流體力之間的耦合作用時(shí)有滯后效應(yīng).
引入無(wú)量綱參數(shù):
把無(wú)量綱量(10)代入方程(7)得到無(wú)量綱的運(yùn)動(dòng)方程為
采用Galekin方法對(duì)方程(11)進(jìn)行離散,滿足固支邊界條件的圓柱位移函數(shù)取為:
其中:
為固支梁的振型函數(shù).
[9],得固支梁的前五階特征根為
由此算得:
將式(12)代入方程(11),利用振型函數(shù)的正交性,并在[0,1]區(qū)間內(nèi)積分,可得微分方程:
式中
本文所用參數(shù)取值如下[2]:
由式(17)方程的系數(shù)可以得到,對(duì)于方程(16)的線性部分奇數(shù)階模態(tài)和偶數(shù)階模態(tài)是解耦.一般地,系統(tǒng)首先是發(fā)生低階模態(tài)失穩(wěn),為了方便計(jì)算,本文截取前1,3階模態(tài)進(jìn)行分析,由式(16),且令
可得:
很顯然式(19)有一個(gè)平衡點(diǎn)(0,0,0,0),在平衡點(diǎn)附近,線性化方程(19),得:
其中:
這里各參數(shù)為:
設(shè)方程(20)的解為
把上式代入(20)得,特征方程為:
設(shè)λ=σ+iω,當(dāng)σ<0時(shí),平衡態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的,當(dāng)σ>0時(shí),平衡態(tài)是不穩(wěn)定的.當(dāng)σ=0,系統(tǒng)的特征值有一對(duì)純須根,一般地,這時(shí)候系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)顫振.把代入(22),并且分離方程的實(shí)部和虛部,可以得到:
為虛部的方程.
為實(shí)部的方程.
通過(guò)求解方程(23)(24),可以得到系統(tǒng)發(fā)生HOPF分岔的臨界速度和對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱頻率,如表1.接下來(lái),作者將給出在不同熱載荷作用下的臨界速度.
表1 隨溫度升高無(wú)量綱臨界速度和頻率Table 1 Dimensionless critical velocity and frequency with increasing temperature
從表1可以看出,隨著熱載荷的增加,系統(tǒng)發(fā)生顫振的臨界速度在不斷降低.在實(shí)際工程應(yīng)用中,管陣作為能量交換設(shè)備,我們應(yīng)該考慮熱環(huán)境的影響,系統(tǒng)實(shí)際發(fā)生失穩(wěn)的臨界速度應(yīng)該比沒(méi)有考慮熱載荷計(jì)算出來(lái)的臨界速度要小.
一般地,線性穩(wěn)定性分析是用來(lái)預(yù)測(cè)參數(shù)值接近穩(wěn)定邊界的行為.然而無(wú)法預(yù)測(cè)參數(shù)值遠(yuǎn)離穩(wěn)定性邊界以后的系統(tǒng)響應(yīng)情況.在這節(jié)里我們將采用數(shù)值算法,研究參數(shù)值遠(yuǎn)離穩(wěn)定性邊界后的動(dòng)力學(xué)行為.采用龍格-庫(kù)塔算法對(duì)運(yùn)動(dòng)控制常微分方程(16)進(jìn)行計(jì)算,初始條件取為由方程(16)可以看到,在非線性項(xiàng)里,奇數(shù)階模態(tài)和偶數(shù)階模態(tài)不再解耦,所以我們?nèi)」讨Я旱那拔咫A模態(tài)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.
取溫度Rx=1,γ=300,k=104,采用分岔圖和相圖描述圓柱位置ξ=0.5處的響應(yīng).當(dāng)位置在ξ=0.5處的響應(yīng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí),速度為零時(shí),記錄此時(shí)的位移,便得到了位移隨流速變化的分岔圖,如圖2所示.從分岔圖可以看出,系統(tǒng)經(jīng)歷了穩(wěn)定狀態(tài),周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài),擬周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài),最后是周期1運(yùn)動(dòng)變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng).
圖2 ξ=0.5處流速參數(shù)區(qū)域分岔圖(a)0≤U≤7.2(b)7.2≤U≤8.2Fig.2 Bifurcation diagram of the parameter of fluid speed atξ=0.5(a)0≤U≤7.2(b)7.2≤U≤8.2
從圖2中看到,隨著橫向流速的不斷增加,系統(tǒng)呈現(xiàn)非常復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象.當(dāng)流速U<1.562時(shí),系統(tǒng)呈現(xiàn)為穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng);當(dāng)流速1.562<U<3.83時(shí),系統(tǒng)發(fā)生極限環(huán)運(yùn)動(dòng);流速在3.83<U<6.85時(shí),系統(tǒng)呈現(xiàn)為周期3運(yùn)動(dòng);流速在6.85<U<7.18時(shí),系統(tǒng)發(fā)生短暫時(shí)的擬周期運(yùn)動(dòng);流速在7.18<U<7.42時(shí),系統(tǒng)又呈現(xiàn)極限環(huán)運(yùn)動(dòng),當(dāng)U>7.42以后,系統(tǒng)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng).
下面我們將以相圖更加清楚地描述了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程.圖3(a)為U=1.9(U>Ucr=1.562)時(shí)的情況,系統(tǒng)發(fā)生極限環(huán)振動(dòng).當(dāng)U=5.5時(shí),系統(tǒng)出現(xiàn)周期3運(yùn)動(dòng)(圖(b)),時(shí),系統(tǒng)發(fā)生擬周期運(yùn)動(dòng),U=7.3時(shí),出現(xiàn)周期1運(yùn)動(dòng),U=8.0時(shí),系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)相圖.
圖3 各流速下系統(tǒng)的相軌跡圖Fig.3 Phase portraits of system with various velocity
本文考慮橫向流圓柱陣中單彈性細(xì)長(zhǎng)圓柱體,在定常溫度下,圓柱的熱彈性顫振問(wèn)題.基于橫向彎曲振動(dòng)引起軸力變化的以及圓柱振動(dòng)與折流板發(fā)生碰撞,建立了溫度效應(yīng)下彈性圓柱橫向流致振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程.研究了系統(tǒng)的分岔,并采用數(shù)值方法研究了系統(tǒng)的非線性響應(yīng),得到了一些結(jié)論:
(1)線性顫振分析得到了顫振臨界度隨溫度變化的關(guān)系,溫度升高降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定性.
(2)隨著橫向流速增加,系統(tǒng)經(jīng)歷了穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)和極限環(huán)運(yùn)動(dòng)、擬周期運(yùn)動(dòng),然后再次發(fā)生周期運(yùn)動(dòng),最后進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng).
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