王金梅 李映輝

(1.西南交通大學土木工程學院，成都 610031)(2.西南交通大學力學與工程學院，成都 610031)

引言

隨著飛行器速度的提高，氣動加熱現(xiàn)象嚴重，因此在高速飛行結構中的局部熱彈耦合振動問題備受關注［1-2］.溫度場的不均勻變化使結構內部出現(xiàn)溫度梯度，較高溫度梯度會引起熱應變和熱應力從而使結構的振動特性發(fā)生改變，熱彈耦合動力學就是研究溫度場和應變場耦合時彈性體的動力學行為.

關于熱對結構振動的影響，一些學者用不同的方法對非耦合［3-6］和耦合［7-10］振動特性和響應進行了研究.同時，由熱彈性引起的阻尼也是各種阻尼器［11-13］工作中能量損失的一個重大部分.這些問題的計算相當?shù)貜碗s，在對計算精度要求不高的情況下，可以不考慮耦合項，只把熱效應以等效載荷的形式作用于振動方程［14-15］.在對計算精度要求高的結構設計中，熱彈耦合作用不能忽略，必須同時求解熱傳導方程和振動方程，關于耦合求解，一些學者通過將離散的控制方程轉化為模態(tài)坐標以減少求解方程的數(shù)目［4-6］，并且認為沿結構長度和厚度方向溫度均勻分布.然而由于熱傳導的速度遠遠小于彈性波的傳播速度，采用上述方法要同時得到熱彈耦合振動方程的解相當困難，需要大量的計算時間，而且可能得不到收斂解.針對這個問題，Emil［16］結合有限差分法和模態(tài)坐標轉換法，推導了一種新的數(shù)值方法，分析了承受機械載荷和熱載荷的梁的大幅熱彈耦合振動問題.目前粘彈性夾層結構在航天航空領域也得到廣泛的應用，但對于這類結構在飛行狀態(tài)下的熱彈耦合響應研究較少.

本文將基于Emil發(fā)展的數(shù)值方法，結合伽遼金法對承受機械載荷及熱沖擊載荷的軸向飛行粘彈性夾層梁的振動響應和溫度分布進行研究.

1 基本方程

圖1為粘彈性夾層梁幾何模型，長L，寬b，上下約束層彈性模量E，厚度均為h/2，密度ρ，中間粘彈性軟夾層彈性模量E'，密度ρ'，厚度H，粘性常數(shù)η.梁沿x方向的軸向飛行速度為v，且不考慮軸向慣性力的影響.

圖1 梁的幾何尺寸和坐標系統(tǒng)Fig.1 The viscoelastic sandwich beam dimensions and coordinate system

小變形情況下，考慮溫度效應時，約束層和夾層的幾何方程分別為

本構方程分別為

式中ΔT=T-T0，T=T(x，z，t)(假設溫度在y方向均勻分布)為瞬時溫度，T0為初始溫度，α、α'分別為約束層和夾層材料的熱膨脹系數(shù)，w=w(x，t)為梁在z方向的位移，w，(·)表示w對(·)求偏導.梁截面彎矩

式中I1、I2、I3分別為梁上中下三層對y軸的慣性矩.Mt為熱力矩，定義為

式中δ1=bαE，δ2=bα'E'.

在載荷激勵F(x，t)作用下描述沿軸向飛行夾層梁的溫度分布和振動問題的方程為

式(1)和(3)代入式(5)得由位移場和溫度場表示的控制方程

式中，A1=EI1+EI3+E'I2，A2=ηI2，A3=A(ρh+ρ'H)/(h+H).

2 邊界方程和初始條件

假設梁的下表面以及x=0和L的兩端面絕熱，在梁的上表面作用有一集度為Q(x，t)的熱流.則熱邊界方程和界面方程為

式中dt為對流傳熱系數(shù)，t0為熱流持續(xù)時間.對自由梁，邊界條件為(其它邊界可同樣處理)

初始條件

3 數(shù)值求解方法

3.1 振動方程求解

設振動方程(6c)的位移解為

式中，wn(x)為滿足邊界條件的特征函數(shù)，qn(τ)為模態(tài)坐標，Nf為模態(tài)截斷階數(shù).

將(10)代入(6c)中，兩端同乘以wn(x)后對x在［0，L］上積分得

M、D、K分別定義為廣義質量、阻尼、剛度矩陣，在每一時間步內的虛加荷載{F-G}可由以時間為變量的二次多項式插值得到［16］:

定義

式中，A、B和C是關于Fi、Gi(i=0～2)的表達式.mLt代表Lt時間間隔內的一個中間點.則式(11)可寫為

式中，

由方程(9)定義的初始條件轉換為關于qn(0)和(0)的形式:

求解方程組(14)得每一時間步［ti，ti+1］內的qn(t)，代入式(10)得到位移解.

3.2 熱傳導方程的離散和求解

用中心差分法對方程(6a，6b)進行空間離散，得到

式中i=1，…，Nx，j=1，…，Nz，j'=1，…，N_z，Δx=L/(Nx-1)，Δz=H/(Nz-1)，Δz'=H/(N_z-1)，a1=a/［1+α2ET0/ρCv］，a2=a1，a3=α/［ρCv+α2ET0］，a'1=a'/［1+α'2E'T0/ρ'C'v］，a'2=a'1，a'3=α'/［ρ'C'v+α'2E'T0］.Nx、Nz、N_z分別為沿x軸及沿z軸約束層和夾層所取離散點的數(shù)目.

初始條件和熱邊界的離散形式為

式中i=1，…，Nx;j=1，…，2Nz+N_z.

熱力耦合的效應由系數(shù)δ1、δ2、a3確定，如果δ1=δ2=a3=0就轉化為非耦合問題.

3.3 求解流程

在每一個時間段［ti，ti+1］內，進行如下迭代:

1)形成載荷向量P0、P1、P2及G0.

2)任選非零常數(shù)r1、r2計算G1=r1G0和G2=r2G0.

3)由方程(12)、(15)計算A、B和C，an、bn和cn.

4)由方程(14)和(10)計算qn(t)和w.

5)以方程(10)、(17)為基礎，求解熱傳導問題并得到G的新值.

6)檢查結果是否收斂:

其中，‖G‖為向量G的歐式范數(shù)，k+1和k分別為當前和先前的迭代次數(shù).

如果式(19)不滿足，令Gk=Gk+1，并用虛載荷向量G的新值從3)到6)重新進行迭代.如果式(19)滿足，令t=ti+1為初始條件進行下一時間步的迭代.

4 數(shù)值計算與討論

由于軸向運動和熱流沖擊會改變結構的振動特性，本文將使用數(shù)值仿真討論軸向速度和熱流沖擊對梁振動響應的影響.數(shù)值計算中夾層梁的幾何參數(shù)和材料參數(shù)如表1和表2.

表1 粘彈性夾層梁幾何參數(shù)Table 1 Geometry size of viscoealstic sandwich beam

設作用于梁上表面的熱脈沖沿梁長度以正弦分布，其幅值隨時間衰減，關系如下:

式中，Q0=106W/m2，t0=0.01s.

表2 粘彈性夾層梁材料參數(shù)Table 2 Material parameters of viscoelastic sandwich beam

作用于梁上的外激勵為F=F0sin(ωt).計算中，取滿足邊界條件的特征函數(shù)wn(x)=chβnx+cosβnx-(shβnx+sinβnx)(chβnL-cosβnL)/(shβnL-sinβnL)，其中，chβnL cosβnL-1=0.其余相關參數(shù)取值:Nx=61，Nz=5，N_z=11，Nf=5，r1=1.5，r2=0.8，m=0.5，數(shù)值結果及討論如下.

4.1 速度的影響

軸向運動會誘發(fā)結構的不穩(wěn)定振動和顫振失穩(wěn)［7］.基于文［7］的方法得到梁的頻率隨時間的變化曲線如圖2.在0≤v＜365m/s時，夾層梁的頻率為實數(shù)，虛部為零，為穩(wěn)定振動，且隨著速度的增大，振動頻率隨之減小;當365≤v≤521m/s(發(fā)散速度區(qū)間)時，一階頻率實部等于零，其虛部呈正負兩個分支，這時一階模態(tài)發(fā)散失穩(wěn)，最小發(fā)散速度(v=365m/s)為臨界速度;當571≤v≤700m/s時，一階和二階頻率實部相等，虛部呈正負兩個分支，稱為耦合顫振.

圖2 頻率隨軸向速度的變化(a)頻率實部;(b)頻率虛部Fig.2 The variation of the frequency with the axially speed(a)The real part of the frequency;(b)The imaginary part of the frequency

圖3為穩(wěn)態(tài)振動時，梁左端點的位移響應和上接觸面中點溫度變化曲線，計算中F0=100N，ω=100rad/s.可見，臨界速度之前，隨著軸向運動速度的增大，梁的橫向振動位移也隨之增大;而溫度隨速度的改變基本沒有變化.

圖4和圖5分別給出了發(fā)散速度及一階和二階耦合顫振時速度下梁左端點的位移響應和上接觸面中點的溫度變化曲線，計算中F0=100N，ω=100rad/s.可見，這時結構的運動失穩(wěn)發(fā)散，溫度也隨之發(fā)散.

圖3 穩(wěn)態(tài)速度對位移場和溫場的影響(a)響應(x=0);(b)上接觸面中點的溫度Fig.3 The influence of the stable speed on the displacement and temperature fields(a)Time history of response;(b)The temperature at the upper contact face of the beam＇s middle cross section

圖4 發(fā)散速度對位移場和溫場的影響(a)響應(x=0);(b)上接觸面中點溫度Fig.4 The influence of divergence speed on the displacement and mperature fields(a)Time history of response;(b)The temperature at the upper contact face of the beam＇s middle cross section

圖5 顫振時速度對位移場和溫場的影響(a)響應(x=0);(b)上接觸面中點溫度Fig.5 The influence of flutter speed on the displacement and mperature fields(a)Time history of response;(b)The temperature at the upper contact face of the beam＇s middle cross section

4.2 熱作用影響

圖6為外激勵頻率接近一階固有頻率時，有無熱流沖擊兩種情況下夾層梁的強迫振動響應，其中F0=100N，ω=1500rad/s，v=5m/s.當沒有熱流沖擊時，由于激振頻率接近一階固有頻率，梁的振動出現(xiàn)拍現(xiàn)象.當有短暫熱流脈沖時，由于溫度的連續(xù)傳播，以及沿梁的橫截面垂直于y軸的方向不均勻的溫度分布引起的彎矩，導致梁的平衡狀態(tài)隨時間而改變，振動圍繞另一新的平衡狀態(tài)進行，且振幅量級明顯增大.與無熱流情況相比，熱流沖擊時段，出現(xiàn)了更劇烈的跳動現(xiàn)象.

圖7為梁在x=0點處不同脈沖時間下的響應，其中F0=100N，ω=100rad/s，v=5m/s，Q0t0=104Ws/m2為常數(shù)，表示熱流總量為定值.可見，短脈沖引起更大幅值的振動，即在一個固定的短時期內，有更多能量傳輸給了梁.

圖6 熱沖擊對振動響應的影響(a)響應曲線(x=0);(b)相圖(1)Q0=0;(2)Q0=106W/m2，t0=0.01sFig.6 The influence of heat flow on the beam＇s response(a)Time history of the beam＇s response;(b)Phase plot

圖7 熱脈沖參數(shù)對梁振動響應的影響Fig.7 The influence of the heat pulse parameters on the beam＇s response

圖8 速度對溫度場的影響Fig.8 The influence of axially speed on the temperature field

圖9 梁縱截面溫度分布Fig.9 Distribution of the temperature in the longitudinal section

圖8給出了熱沖擊時間t0=0.01s時梁上中點的溫度隨時間的變化曲線，其中F0=100N，ω=100rad/s，v=5m/s.由于約束層金屬材料傳熱性能好，夾層粘性材料一般為熱的不良導體并且散熱條件較差，導致溫度在夾層內的傳播遠小于約束層，能量蓄積在梁內，引起較大的溫度梯度，且一段時間后，由于阻尼層對溫度傳播的阻礙，約束層的溫度達到一個平衡狀態(tài)，并保持一段較長時間.不同時刻下，梁上縱截面溫度分布如圖9(為觀察更清晰，圖中僅截取了從梁上表面開始的部分梁厚度).

5 結論

在考慮熱彈耦合的情況下，研究了簡諧外激勵載荷與其上表面有短暫熱流作用下軸向運動粘彈性夾層梁的振動.結果表明:

(1)在穩(wěn)態(tài)振動階段，隨著軸向速度的增大梁的振幅增大，軸向運動對位移場影響較大，對溫場影響較小;過大的軸向運動會誘發(fā)結構振動失穩(wěn).

(2)由于約束層和夾層傳熱的差異性，導致梁沿厚度方向上產(chǎn)生較大的溫度梯度，從而使梁內產(chǎn)生應力，改變了梁的動力學行為.同時，短暫熱流會引起梁的振動位移大幅增大.

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