劉佳 過榴曉 徐訓霞

(江南大學理學院，無錫 214122)

引言

金融是現(xiàn)代市場經(jīng)濟的核心，在我國的經(jīng)濟改革與發(fā)展中起著越來越重要的作用.股票市場是我國金融市場的重要組成部分，它集聚社會閑散資金，促使社會資金最大限度地用于經(jīng)濟建設，也為國有企業(yè)改制提供了金融市場.

脈沖現(xiàn)象作為一種瞬時突變現(xiàn)象，在經(jīng)濟領域的實際問題中是普遍存在的，其數(shù)學模型往往可以歸結(jié)為脈沖微分系統(tǒng).近年來脈沖控制問題引起了許多研究者的興趣.脈沖延遲微分方程也已經(jīng)應用在許多領域［3］，如控制技術(shù)，通訊網(wǎng)絡，生物種群管理.脈沖控儀器，以及脈沖響應函數(shù)理論及其在宏觀經(jīng)濟中的應用.本文著重于脈沖控制在股票價格系統(tǒng)的應用.

討論帶延遲股票價格系統(tǒng)的控制穩(wěn)定性問題.通過加入脈沖控制，即國家即時間隔宏觀調(diào)控，實現(xiàn)系統(tǒng)發(fā)展趨勢發(fā)生變化，消除或減少一些因素對股票價格不穩(wěn)定的影響.根據(jù)脈沖理論和Lyapunov函數(shù)穩(wěn)定性理論得到股票價格系統(tǒng)的全局指數(shù)穩(wěn)定的保守條件.數(shù)值仿真的例子驗證了脈沖控制方法的有效性和提出理論的準確性.

1 問題描述

考慮帶有風險資產(chǎn)的市場(如股票市場指數(shù))，p(t)代表時間t下的股票市場價格.對于交易者各自的需求函數(shù)，我們是根據(jù)交易者所遵循的交易規(guī)則得到的，而不是通過考慮風險和無風險資產(chǎn)的投資組合最大化收益得到的［5，6］.定義基礎交易者和技術(shù)交易者在市場交易中所占份額分別為α和1-α，其中α∈［0，1］基礎交易者是通過他們對基礎價格的走勢分析后，做出買賣決策.他們認為市場價格p(t)是對基礎價格F(t)均值回歸.假設基礎交易者在時間t的需求函數(shù)為Qf(t)，設該需求函數(shù)與市場價格和基礎價格之間的偏離程度成正比:

這里βf是大于零的常參數(shù)，是用來測量市場價格對基礎價格的均值分析回歸，也可用來表示基礎交易者對風險的規(guī)避系數(shù).

與基礎交易者相比，技術(shù)交易者是通過對歷史價格的圖表信息進行分析后，做出交易策略.文獻［7］假設這些技術(shù)交易者就是趨勢交易人.他們認為，未來的市場價格追尋趨勢價格u(t)走動.假設技術(shù)交易者在時間t的趨勢函數(shù)為Qc(t)假設，則:

這里βc表示趨勢交易者對價格的外推比率.我們引入市場價格同基本價格之間的權(quán)重ρ，現(xiàn)在用ρp(t)+(1-ρ)F(t)來表示當前價格P(t)，其中ρ∈［0，1］.p(t)定義如下:

這里μ＞0表示造市者對市場價格的調(diào)整速度.

在實踐中，加權(quán)移動平均線是各種趨勢價格中最受歡迎的一類.本篇文章我們假設交易者在時間的價格函數(shù)u(t)，是由于某一時間間隔內(nèi)歷史價格指數(shù)衰退加權(quán)平均給出的，即在時間間隔［tτ1，t］(τ＞0)，有

這里κ＞0表示歷史價格權(quán)數(shù)的衰退率.這里我們給出以下微分方程:

考慮到基本價格通市場需求緊密關(guān)系，并且基本價格會依賴于市場需求做出調(diào)整.以下給出基本價格函數(shù):

這里，δ表示基本價格相對于市場需求的調(diào)節(jié)速率.

在以上分析基礎上，金融股票價格表示為一下帶有延遲微分方程系統(tǒng)(7a)，(7b)(7c):

顯然，p(t)=u(t)=F(t)是系統(tǒng)的均衡點，因此我們稱(p，u，F(xiàn))=(F，F(xiàn)，F(xiàn))為系統(tǒng)的基礎穩(wěn)定狀態(tài).穩(wěn)定狀態(tài)處的價格由常數(shù)給出，我們假設穩(wěn)定狀態(tài)處的價格為，此時系統(tǒng)的基礎穩(wěn)定狀態(tài)可以近似看成

其中，

假設存在正函數(shù)τ滿足τ＞max{τ1，τ2}.

2 理論分析

定義1 (1)函數(shù)V在每個集合［tk-1tk)×Rn，對于每一個x∈Rn，t∈［tk-1，tk)，k∈N，存在

(2)對所有的x∈Rn，對所有V(t，0)≡0，對于t≥t0，V(t，x)滿足Lipschitzian條件.定義2 對于給定的V∈V0(t，x)∈［tk-1，tk)×Rn，令則V(t，x)沿方程的解x(t)的右上導數(shù)為

引理1 對于含時滯的脈沖微分方程［13］［14］

存在函數(shù)V∈v0，正常數(shù)p，c，c1，c2，σ，λ＞0，γ≥1，且σ-λ≥c，使得

(1)對任意t∈R，x∈Rn，有

(2)對所有t∈［tk-1，tk)，k∈N，有，

對于時間延遲s∈［-τ，0］有，

其中q≥γeγτ是常數(shù);

(3)V(tk，φ(0)+Ik(tk，φ))≤dkV(tk，φ(0))

其中0＜dk-1≤1，?k∈N是常數(shù);

(4)對于γ≥1/dk-1，且

則系統(tǒng)(9)零解對于任何時間延遲τ∈(0，∞)是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

定理1 設λ1是AT+A+2I的最大特征值，λ2是GTG的最大特征值，c＞0，λ＞0均是常數(shù)，τ≤tktk-1≤α，脈沖間隔Δt=tk+1-tk，并且滿足條件:

⑴ f(t，X)是連續(xù)函數(shù)，且存在正常數(shù)M，使得‖f(t，X)‖≤M‖X‖;

⑵ 存在常數(shù)q≥e2λα使得λ1+qλ2+M2＜c，且有0＜dk=max{(1+b1)2，(1+b2)2，(1+b3)2}≤1;

則系統(tǒng)(8)是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

證明:令V(t，X)=XTX，對任意t∈［tk-1，tk)，

由引理1可知，對任意時間延遲s∈［-τ，0］，有

其中q≥γeλτ，于是有，

則D+V(t，X)≤λ1V+qλ2V+M2V＜cV

由于I+Bl時對角矩陣，于是可得，

又dk=max{(1+b1)2，(1+b2)2，(1+b3)2}，

當t=tk時，

這里令x=φ(0)即可滿足引理條件(3).

因此

即

滿足引理條件(4).這就證得系統(tǒng)(8)是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

注 定理1給出了全局指數(shù)穩(wěn)定的一些條件，相對于引理來說又具有特殊性，把引理中一般的條應用到定理中來同樣有效.證明過程表明實現(xiàn)全局指數(shù)穩(wěn)定的條件和脈沖間隔Δt等一些因素有關(guān).

推論1 設λ1是AT+A+2I的最大特征值，λ2是GTG的最大特征值，c＞0，λ＞均是常數(shù)，τ≤tk-tk-1≤α，脈沖間隔Δt=tt+1-tk，并且滿足下列條件:

1.f(t，X)是連續(xù)函數(shù)M，且存在正常數(shù)，使得‖f(t，X)‖≤M‖X‖;

2.存在常數(shù)q≥e2λα使得λ1+qλ2+M2＜c，且有0＜dk=max{(1+b1)2，(1+b2)2，(1+b3)2}≤1;

3.如果存在常數(shù)γ＜-1，使得

那么系統(tǒng)(8)是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

3 仿真

考慮系統(tǒng)(7)(8)的一個具體實例.取k=0.06，μ=1，α=0.5，βf=1，βc=2，ρ=0.5，δ=0.1，此時，

矩陣A，G隨著τ1的變化而變化.對于系統(tǒng)(7)沒有加脈沖控制時，系統(tǒng)的零解是不穩(wěn)定的或者發(fā)散的.當選初值X(0)=(1.3，1.2，1.1)T，取τ1=10，τ2=9時，系統(tǒng)圖像如圖1和圖2所示，顯然圖1充分說明了在不加脈沖控制的情況下，系統(tǒng)(7)的價格出現(xiàn)了震蕩，即所謂的不穩(wěn)定.圖1呈現(xiàn)的不穩(wěn)定現(xiàn)象又是有區(qū)別的，可見市場價格，趨勢價格以及基本價值的穩(wěn)定性趨勢是存在差異的.圖2則顯示在不加脈沖控制的情況下，系統(tǒng)(7)的價格均發(fā)散了.

圖1 未加脈沖控制時p與u，F(xiàn)出現(xiàn)震蕩Fig.1 Without impulse control p and u，F(xiàn) volatility

圖2 未加脈沖控制時p與u，F(xiàn)發(fā)散Fig.2 Without impulse control p and u，F(xiàn)

加入脈沖控制，選擇脈沖間隔Δt=5，τ1=4，作為固定值，此時

取τ2=3，若選擇脈沖參數(shù)

則

(1)q=3≥e2λα=2.72，λ1+qλ2+M2=0.9652＜c=1，

(2)5=τ≤tk-tk-1≤α=5，則有

如圖3所示系統(tǒng)(6)的零解在經(jīng)過一段時間的震蕩之后完全達到全局指數(shù)穩(wěn)定.此圖顯示了在達到全局指數(shù)穩(wěn)定的過程中，市場價格，趨勢價格和基本價值呈現(xiàn)的震蕩方式又是不一樣的.

圖3 τ1＞τ2時加進脈沖參數(shù)Fig.3 Whenτ1＞τ2 added into pulse parameters

時p，與u，F(xiàn)的穩(wěn)定性圖，當選取

時，其他參數(shù)固定不變，通過觀察，我們知道它不滿足定理條件，系統(tǒng)的穩(wěn)定性情況如圖4所示，圖4顯示了通過一段時間的震蕩之后，系統(tǒng)價格也能實現(xiàn)全局指數(shù)穩(wěn)定.這說明實現(xiàn)定理1中實現(xiàn)全局指數(shù)穩(wěn)定的條件是保守的.

圖4 τ1＞τ2時加進脈沖參數(shù)Fig.4 Whenτ1＞τ2 added into pulse parameters

時p與u，F(xiàn)的穩(wěn)定性圖，比較圖3和圖4，添加不同的脈沖參數(shù)，股票價格實現(xiàn)穩(wěn)定的時間間隔是不一樣的.若選擇的脈沖參數(shù)滿足定理條件，那么實現(xiàn)穩(wěn)定的時間間隔比較短，否則，時間間隔相對來說較長.這表明，國家實行宏觀調(diào)控，合理與否對實現(xiàn)股票價格穩(wěn)定的速度起著重要作用.

改變τ2的值使得τ2=6＞τ1，為滿足定理1，脈沖間隔Δt做出相應的變化，有Δt=7，且

此時系統(tǒng)價格的穩(wěn)定性情況如圖5所示，

圖5 τ1＜τ2時加進脈沖參數(shù)Fig.5 Whenτ1＜τ2 added into pulse parameters

當

時，p與u，F(xiàn)的穩(wěn)定性圖，比較圖3和圖5，τ1和τ2的大小情況相反時，只要脈沖間隔能做出相應的改變，即使不改變脈沖參數(shù)也依然能實現(xiàn)股票價格的全局指數(shù)穩(wěn)定.這說明在不同的延遲條件下，只要國家通過合適的即時宏觀調(diào)控，就能實現(xiàn)價格的全局指數(shù)穩(wěn)定.圖3，圖4，圖5也充分表明脈沖間隔在實現(xiàn)價格穩(wěn)定的過程中起著重要作用.

4 結(jié)論

這篇論文通過添加脈沖控制，對股票價格系統(tǒng)中的價格穩(wěn)定性進行，格系統(tǒng)中的價格穩(wěn)定性進行了分析，采用了Matlab進行數(shù)值仿真，結(jié)果證明了理論方法的有效性.當然這是金融系統(tǒng)的一個特例.目前，盡管很多學者對數(shù)學金融學進行了大量的研究，并取得了豐富的有實際意義的理論結(jié)果.但是對脈沖控制帶有延遲的股票價格系統(tǒng)的研究還不是很多，許多問題還有待進一步深入研究.不僅在股票價格控制中有所應用，在經(jīng)濟系統(tǒng)中，當物價上漲導致通貨膨脹時，國家可以即時調(diào)高利息，以快速減少貨幣在市場中的流通量，這就是所謂的脈沖現(xiàn)象.脈沖現(xiàn)象在實際生活中經(jīng)常發(fā)生.由于脈沖現(xiàn)象發(fā)生時，系統(tǒng)的狀態(tài)量在極短的時間內(nèi)會發(fā)生很大變化，此時普通的微分方程難以描述這一現(xiàn)象，而脈沖微分方程則能很好的描述這類現(xiàn)象.目前，脈沖控制在航天技術(shù)、生命科學、通訊、經(jīng)濟系統(tǒng)等中都有所應用.

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