鞏文龍 常軍? 劉大山 康小明

(1.蘇州科技學(xué)院土木工程學(xué)院，蘇州 215011)(2.上海三凱建設(shè)管理咨詢(xún)有限公司，上海 200070)

引言

自20世紀(jì)80年代以來(lái)，隨著自然災(zāi)害頻發(fā)和后期維修不善、撞擊、超載等人為因素影響，已建土木結(jié)構(gòu)出現(xiàn)不同程度損傷和功能失效的隱患，使得結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)與損傷識(shí)別變得尤為重要.其中損傷識(shí)別是根據(jù)結(jié)構(gòu)特征參數(shù)變化情況，診斷出結(jié)構(gòu)是否損傷以及損傷位置與損傷程度［1-4］.由于損傷前后結(jié)構(gòu)質(zhì)量基本不變，故土木工程結(jié)構(gòu)損傷的實(shí)質(zhì)是結(jié)構(gòu)的剛度降低，而柔度是剛度的倒數(shù)，進(jìn)而柔度可以作為結(jié)構(gòu)的損傷指標(biāo)［5-6］.

近年來(lái)，運(yùn)用柔度矩陣和智能算法的結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)與損傷識(shí)別逐漸成為國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，其中柔度矩陣以其良好的靈敏性和實(shí)用性，而備受青睞.目前大多數(shù)研究者采用柔度矩陣差、柔度差變化率、柔度曲率差等進(jìn)行損傷定位［7-9］，而利用柔度靈敏度［10］和廣義柔度靈敏度［11］進(jìn)行損傷定量識(shí)別時(shí)存在穩(wěn)定性差、識(shí)別誤差較大的缺陷.遺傳算法、粒子群算法等智能算法利用頻率和振型構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷［12-13］，Zhao和Dewolf通過(guò)比較頻率、振型和柔度的靈敏度，驗(yàn)證柔度矩陣比頻率和振型更加敏感［14］，且遺傳算法和粒子群算法自身存在收斂速度慢、控制參數(shù)多、容易陷入局部最優(yōu)等缺點(diǎn)，使得智能算法識(shí)別精度還有待提高.本文結(jié)合量子粒子群優(yōu)化算法和廣義柔度矩陣提出了一種新的損傷識(shí)別方法，通過(guò)理論推導(dǎo)和數(shù)值模擬驗(yàn)證該方法的有效性.

1 量子粒子群優(yōu)化算法(QPSO)

1995年美國(guó)社會(huì)心理學(xué)家James Kennedy和電氣工程師Russell Eberhart仿效鳥(niǎo)群覓食群體活動(dòng)，提出粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)［15］.其主要思想為每個(gè)‘粒子’代表一只覓食的鳥(niǎo)，都有滿(mǎn)足解空間條件的位置和速度，以求解優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)適應(yīng)值為群體標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)不斷個(gè)體思索的‘自身學(xué)習(xí)’，尋找個(gè)體最優(yōu)位置或稱(chēng)為局部最優(yōu)，通過(guò)相互間的信息交流的‘社會(huì)學(xué)習(xí)’，尋找全局最優(yōu)位置，在搜索空間不斷更迭，最終找到象征‘食物’的優(yōu)化問(wèn)題最優(yōu)適應(yīng)值.

粒子群算法的數(shù)學(xué)模型表述為:N維解空間存在M個(gè)相互獨(dú)立粒子.第m個(gè)粒子在t時(shí)刻的位置和速度分別表示為

當(dāng)前時(shí)刻粒子群體局部最優(yōu)位置和全局最優(yōu)位置分別表示為

其中Pm(t)由式(1)確定，G(t)由式(2)、(3)確定.

式中f［·］表示構(gòu)建的目標(biāo)函數(shù)適應(yīng)值

式中g(shù)為位于全局最優(yōu)位置粒子對(duì)應(yīng)的下標(biāo)

隨著時(shí)間t增加，粒子群算法M個(gè)粒子的位置和速度更新為:

其中c1、c2分別為局部最優(yōu)、全局最優(yōu)加速因子，一般取(0，2)值，u1、u2為區(qū)間(0，1)均勻分布的隨機(jī)數(shù).在迭代過(guò)程中為防止粒子飛出搜索空間，需要設(shè)定Vm，n(t)、Xm，n(t)搜索上、下限.

但粒子群算法存在收斂速度慢，軌道式搜索，搜索空間有限，容易陷入局部最優(yōu)等缺陷.為解決粒子群算法上述弊病，2004年Sun等人［16］提出了一種融入量子理論的改進(jìn)粒子群算法——量子粒子群優(yōu)化算法(Quantum-behaved Particle Swarm Optimization，QPSO)，引入的波函數(shù)和δ勢(shì)阱的理念，保證了搜索空間能夠覆蓋整個(gè)可行空間.QPSO算法將粒子在空間的出現(xiàn)概率以波函數(shù)模的平方表示，保證以全概率1搜索到全局最優(yōu)解，通過(guò)量子力學(xué)中粒子運(yùn)動(dòng)的Schr?dinger動(dòng)力學(xué)方程和Monte Carlo隨機(jī)模擬，得到粒子在以P點(diǎn)為中心的δ勢(shì)阱吸引下，粒子位置X的隨機(jī)方程:

式中p為吸引子，L為δ勢(shì)阱的特征長(zhǎng)度，u為區(qū)間(0，1)的均勻分布的隨機(jī)數(shù)，即u∈U(0，1).

隨著時(shí)間t增加，QPSO算法M個(gè)粒子的位置和速度更新為:

式 中 um，n(t)，βn(t)∈U(0，1)，為收縮-擴(kuò)張系數(shù)，一般取1.0～0.5線性遞減，Cn(t)為t時(shí)刻第n維平均最優(yōu)值，即(t)，為t時(shí)刻第m個(gè)粒子局部最優(yōu)值Pm(t)的第n維數(shù)值，Gn(t)為t時(shí)刻M個(gè)粒子的全局最優(yōu)值G(t)的第n維數(shù)值.令所有粒子的N維平均最優(yōu)適應(yīng)值為mbest，即mbest=(C1(t)，C2(t)，…CN(t)).

QPSO算法的計(jì)算流程圖如圖1所示。

圖1 量子粒子群優(yōu)化算法流程圖Fig.1 The flow chart of quantum-behaved particle swarm optimization algorithm

2 廣義柔度矩陣基本原理

無(wú)阻尼條件下，n個(gè)自由度結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)方程為:

由(9)式運(yùn)動(dòng)方程，得其特征方程為:

式中λ、φ分別為方程特征值，特征向量，其中λ為結(jié)構(gòu)各階固有頻率的平方.

將(10)式以矩陣的形式表示為:

式中的［Ψ］=［φ1，φ2，…φn］為n階模態(tài)振型矩陣，［Λ］=daig(λ1，λ2，…λn)為n階對(duì)角矩陣.

由振型的質(zhì)量歸一化特性得:

式中的［I］為單位矩陣.

將(11)式兩邊同時(shí)左乘［Ψ］T得:

(12)式代入(11)式的右側(cè)得:

(14)式兩側(cè)同時(shí)求逆，整理得:

柔度矩陣為剛度矩陣的逆矩陣，即:

由式(16)可以看出，柔度矩陣是由頻率和振型構(gòu)成的函數(shù)，且與頻率平方的倒數(shù)成正比，隨著階次增高其模態(tài)參數(shù)對(duì)柔度矩陣的貢獻(xiàn)越少，因此模態(tài)柔度只需前幾階模態(tài)就能很好地估計(jì)結(jié)構(gòu)的柔度矩陣［17］，這也解決了實(shí)際工程監(jiān)測(cè)中只能檢測(cè)出結(jié)構(gòu)的前幾階模態(tài)或高階模態(tài)檢測(cè)不精確的弊端.其在框架、桁架、懸臂梁等結(jié)構(gòu)的使用已卓有成效［9-11］，但是對(duì)于簡(jiǎn)支梁、連續(xù)梁等結(jié)構(gòu)的支座處破壞，多處損傷識(shí)別效果精度不高.

為此引入廣義柔度矩陣概念［11］，其是在柔度矩陣基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，具體函數(shù)表示為:

式中Q=0，1，2，…，當(dāng)Q=0，［G］=［F］，廣義柔度矩陣與一般柔度矩陣相同，當(dāng)Q=1時(shí)，［G］=［Ψ］［Λ］-2［Ψ］T.

由式(17)得廣義柔度矩陣中隨著Q值的增大低階模態(tài)所占的比重更大，而髙階模態(tài)影響更小，靈敏性更高;從物理意義的角度上講，廣義柔度可以看作是單位荷載作用下各節(jié)點(diǎn)變形的(Q+1)次方，當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷時(shí)，損傷前后節(jié)點(diǎn)變形的(Q+1)次方差值要比節(jié)點(diǎn)變形自身差值更加顯著.為此采用以廣義柔度矩陣構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷.

3 目標(biāo)函數(shù)建立

根據(jù)式(17)建立損傷前后結(jié)構(gòu)的廣義柔度差為:

式中［Gu］、［Gd］分別表示損傷前后廣義柔度矩陣，φru、φrd分別為損傷前后模態(tài)振型，ωru、ωrd分別為損傷前后模態(tài)固有頻率，m為小于n的正整數(shù).

經(jīng)分析研究，文獻(xiàn)［10-11］中采用Neumann級(jí)數(shù)或Taylor級(jí)數(shù)的柔度靈敏度和廣義柔度靈敏度方法，忽略髙階展開(kāi)項(xiàng)，造成識(shí)別前的近似誤差，這是導(dǎo)致其識(shí)別精度難以提高的根本.

設(shè)損傷前結(jié)構(gòu)的剛度矩陣為［Ku］，第i個(gè)未損傷單元的整體剛度矩陣為損傷后結(jié)構(gòu)的柔度矩陣為［Kd］，則損傷前后結(jié)構(gòu)的剛度差為:

式中θi為第i個(gè)單元損傷參數(shù)，令

構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)H(θ)為:

式中θ=(θ1，θ2，θ3，…θn)，原則上θ取值范圍為0≤θ≤1，考慮到QPSO算法粒子的搜索最優(yōu)取值范圍，以及結(jié)構(gòu)損傷90%時(shí)基本喪失其使用功能，調(diào)整θ取值范圍為-0.1≤θ≤0.9.

4 數(shù)值模擬

如圖2所示建立長(zhǎng)5 m簡(jiǎn)支梁，將該梁劃分十個(gè)單元，結(jié)構(gòu)物理參數(shù)見(jiàn)表1.

表1 簡(jiǎn)支梁截面特性及材料屬性Table 1 Sectional dimensions and material properties of simple beam

圖2 簡(jiǎn)支梁模型Fig.2 Simple beam model

為驗(yàn)證該理論的有效性，設(shè)置如表2損傷工況，同時(shí)考慮實(shí)際模態(tài)參數(shù)識(shí)別存在誤差，加入(0%，0%)、(1%，1%)、(1%，5%)、(1%，10%)四種不同噪聲來(lái)反映廣義柔度矩陣抗噪性，其中加噪的每個(gè)括號(hào)第一項(xiàng)代表在頻率上加噪，第二項(xiàng)代表在振型上加噪.取前四階模態(tài)，分別利用柔度靈敏度、廣義柔度靈敏度、QPSO算法+廣義柔度(以下分別簡(jiǎn)稱(chēng)為，柔度靈敏度(FS)、廣義靈敏度(GFS)、QPSO+廣義(QPSO+GF))三種方法識(shí)別不同工況下結(jié)構(gòu)損傷，識(shí)別結(jié)果參見(jiàn)圖3～圖4及表3，其中QPSO算法的參數(shù)設(shè)置如下:粒子數(shù)為30，迭代次數(shù)為2000次.當(dāng)單元損傷小于5%時(shí)，認(rèn)為單元是基本完好的.

表2 損傷工況Table 2 Damage cases

圖3 工況1在不同噪聲下識(shí)別結(jié)果Fig.3 Identified results of Case 1 under different noise level

圖4 工況2在不同噪聲下識(shí)別結(jié)果Fig.4 Identified results of Case 2 under different noise level

表3 不同工況下三種方法識(shí)別結(jié)果Table 3 The identification results of the three distinct methods in different cases

由圖2～圖4和表3分析得:(1)工況一中柔度靈敏度識(shí)別結(jié)果不穩(wěn)定，且誤差都大于15%，廣義靈敏度識(shí)別結(jié)果較為穩(wěn)定，但識(shí)別誤差都大于30%，QPSO+廣義識(shí)別值穩(wěn)定在真實(shí)值附近且最大誤差為8.8591%;(2)工況二中柔度靈敏度識(shí)別支座處1單元損傷不穩(wěn)定，誤差不小于15%，跨中附近5、8單元識(shí)別較穩(wěn)定但誤差都大于10%，廣義靈敏度識(shí)別1和5單元損傷較穩(wěn)定但誤差分別大于45%、14%，8單元小損傷識(shí)別較好且誤差小于16%，QPSO+廣義識(shí)別除5單元在加噪(1%，5%)識(shí)別誤差10.7299%、8單元在加噪(1%，10%)識(shí)別誤差16.4506%外，其他無(wú)論支座還是跨中識(shí)別誤差都在10%以?xún)?nèi).

5 結(jié)論

(1)不論單點(diǎn)損傷還是多點(diǎn)損傷，文中所提出的廣義柔度差矩陣為目標(biāo)函數(shù)的QPSO算法都能精確地識(shí)別出損傷位置和損傷程度.

(2)對(duì)于支座附近損傷和輕微損傷QPSO算法仍能夠準(zhǔn)確識(shí)別，解決了柔度矩陣靈敏度、廣義柔度矩陣靈敏度損傷定量誤差大，識(shí)別不穩(wěn)定的缺陷.

(3)通過(guò)不同加噪情況仿真模擬實(shí)測(cè)模態(tài)參數(shù)的不準(zhǔn)確性，表明QPSO算法+廣義柔度具有良好的魯棒性，QPSO算法未來(lái)在實(shí)際工程損傷檢測(cè)具有廣闊的應(yīng)用前景.

(4)廣義柔度矩陣和柔度矩陣一樣，需先對(duì)振型進(jìn)行質(zhì)量歸一化，如何處理?yè)p傷前結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)未知條件下，QPSO算法識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷還有待進(jìn)一步研究.同時(shí)實(shí)際測(cè)試受到各方面限制，導(dǎo)致測(cè)試模態(tài)不完備，有限測(cè)試信息下結(jié)構(gòu)損傷的定位定量分析還有待探究.

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