溫宗良，朱 雁，周優(yōu)軍

（1.廣西中醫(yī)藥大學(xué) 藥學(xué)院，廣西 南寧 530001；2.徐州醫(yī)學(xué)院 公共教育學(xué)院，江蘇 徐州 221004；3.廣西科技師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系，廣西 柳州 545004）

零售商部分延期支付下的動(dòng)態(tài)庫存和融資策略

溫宗良1，朱 雁2，周優(yōu)軍3

（1.廣西中醫(yī)藥大學(xué) 藥學(xué)院，廣西 南寧 530001；2.徐州醫(yī)學(xué)院 公共教育學(xué)院，江蘇 徐州 221004；3.廣西科技師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系，廣西 柳州 545004）

在供應(yīng)商允許零售商部分延期支付的條件下，討論了風(fēng)險(xiǎn)中性的零售商周期性地訂購一種產(chǎn)品以滿足不確定性需求的隨機(jī)動(dòng)態(tài)庫存決策問題，建立了優(yōu)化補(bǔ)貨和融資策略的庫存模型，目的是最大化零售商計(jì)劃期末的期望資金水平。零售商訂貨時(shí)可以使用自有資金和/或貸款資金，訂貨后如果有剩余資金，可通過無風(fēng)險(xiǎn)投資獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益。分析了給定初始資金和庫存時(shí)的最優(yōu)策略，并給出了數(shù)值實(shí)驗(yàn)。

零售商；動(dòng)態(tài)庫存；部分延期支付；訂貨策略；融資決策；隨機(jī)需求

1 引言

交易信用是指企業(yè)間在產(chǎn)品交易中以延期付款的方式進(jìn)行購銷活動(dòng)而形成的借貸關(guān)系，在實(shí)踐中得到了廣泛的應(yīng)用?，F(xiàn)實(shí)中的延期付款合同在執(zhí)行時(shí)往往附帶一些支付條件，如供應(yīng)商要求零售商收到訂貨時(shí)支付部分貨款[1]，如果提前期可以忽略不計(jì)，也就是要求訂貨時(shí)支付部分貨款。供應(yīng)商為了降低違約風(fēng)險(xiǎn)，允許信用等級(jí)高的顧客（或老顧客）完全延期支付，而信用等級(jí)低的顧客（或新顧客）只能部分延期支付。在現(xiàn)實(shí)商業(yè)交易中，由于交易雙方財(cái)務(wù)狀況、合作程度、談判能力等的不同，這種供應(yīng)商允許零售商在購買商品時(shí)只支付一定比例貨款而延期支付剩余貨款的交易行為廣泛存在。比如豐田公司要求他的供應(yīng)商提供完全的交易信用，但只向其下游經(jīng)銷商提供部分交易信用。

近年來，庫存決策中的資金問題備受重視，其中部分延期支付既能刺激下游零售商訂貨，又能在一定程度上減少其違約的風(fēng)險(xiǎn)，在現(xiàn)實(shí)中得到了廣泛使用，也引起了學(xué)者們的關(guān)注。Goyal[2]較早給出了存在延期付款時(shí)的EOQ模型，現(xiàn)有考慮部分延期和支付的文獻(xiàn)大都在Goyal[2]的基礎(chǔ)上放松某些假設(shè)進(jìn)行推廣。Huang[1]在Goyal[2]的基礎(chǔ)上假定供應(yīng)商允許零售商在訂貨量低于某一閾值時(shí)部分延期支付，建立了數(shù)學(xué)模型以確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨數(shù)量使得零售商的庫存費(fèi)用最小。Ouyang等[3]以及賈濤等[4,5]將Goyal[2]的模型擴(kuò)展到易腐品。Taleizadeh等[6]則研究了部分延期支付、缺貨部分補(bǔ)足的EOQ模型，分析了其最優(yōu)訂貨量和缺貨量。Zhou和Zhong[7]在EOQ模型的基礎(chǔ)上，以零售商年平均費(fèi)用最小為目標(biāo)，建立了零售商在短信用期內(nèi)可以部分付款并獲得價(jià)格折扣、在長(zhǎng)信用期內(nèi)支付剩余部分貨款的庫存模型，給出了求解過程。張義剛和唐小我[8]在報(bào)童模型的框架下，建立了允許零售商部分延期付款預(yù)期利潤(rùn)模型，并用迭代算法確定了零售商不同保留利潤(rùn)下制造商的最優(yōu)決策。

現(xiàn)有考慮庫存和融資聯(lián)合決策的文獻(xiàn)大多研究單周期的問題，少有研究動(dòng)態(tài)的多期問題。Archibald等[9]研究了最大化“自融資”初創(chuàng)企業(yè)長(zhǎng)遠(yuǎn)生存率的最優(yōu)策略。Chao等[10]研究了最大化“自融資”企業(yè)期望計(jì)劃期末資產(chǎn)的最優(yōu)策略。這兩篇文獻(xiàn)考慮利用內(nèi)部資（和收入）的“自融資”，其他學(xué)者則考慮銀行貸款、債券、增發(fā)股票等多種外部融資。Babich和Sobel[11]在固定利率短期債務(wù)的條件下，以最大化IPO預(yù)期折現(xiàn)所得為目標(biāo)研究企業(yè)的運(yùn)營(yíng)和財(cái)務(wù)決策。Xu和Birge[12]假設(shè)企業(yè)可通過借款和發(fā)行股票獲得資金，以最大化企業(yè)股東期望折現(xiàn)現(xiàn)金流為目標(biāo)，立了有限計(jì)劃期上的庫存模型。Hu和Sobel[13]假設(shè)企業(yè)破產(chǎn)時(shí)支付違約懲罰后仍可運(yùn)作，建立了與Xu和Birge[12]優(yōu)化目標(biāo)類似的模型研究企業(yè)的運(yùn)營(yíng)決策。Gong等[14]在Chao等[10]的基礎(chǔ)上假定企業(yè)每周期都可以使用自有資金和/或短期借貸資金，以企業(yè)期望計(jì)劃期末資產(chǎn)最大為目標(biāo)，分析了企業(yè)的最優(yōu)策略。

綜上，現(xiàn)有關(guān)于部分交易信用的文獻(xiàn)大多假設(shè)市場(chǎng)需求是確定的，在多周期部分延期支付條件下分析零售商的庫存和融資聯(lián)合決策的研究還未見發(fā)表。本文假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)中性的零售商，在計(jì)劃期內(nèi)周期性地從供應(yīng)商處訂購一種產(chǎn)品以滿足不確定性需求，訂貨時(shí)需要支付一定比例的貨款，其余部分周期末支付，訂貨時(shí)可以使用自有資金和/或貸款資金，訂貨后如果有剩余資金，可以通過無風(fēng)險(xiǎn)投資獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益，建立了以計(jì)劃期末的期望資金水平最大化為目標(biāo)的隨機(jī)動(dòng)態(tài)決策模型，在分析模型性質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過算例對(duì)模型進(jìn)行了說明。

2 模型假設(shè)與記號(hào)說明

為了建立模型，引入如下記號(hào)與假設(shè)：

（1）將計(jì)劃期分為N個(gè)相等的訂貨周期；第n(1≤n≤N)個(gè)周期的需求為Dn，其概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為φ(·)和?(·)，各周期的需求獨(dú)立且同分布；

（2）補(bǔ)貨率無限，提前期為零；允許缺貨，缺貨不補(bǔ)；本文的目標(biāo)是最大化風(fēng)險(xiǎn)中性的零售商計(jì)劃期末的期望資金水平，信譽(yù)損失并不影響問題的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，不考慮信譽(yù)損失；

（3）bn,xn,yn分別為第n(1≤n≤N)個(gè)周期決策前的資金水平和決策前后的庫存水平，其中：-∞＜bn＜+∞, yn≥xn≥0;

（4）β為每次訂貨時(shí)立即支付貨款的比例，0＜β≤1；

（5）c,p,s分別表示單位產(chǎn)品購買價(jià)格、零售價(jià)格和計(jì)劃期末的殘值，h為每個(gè)周期單位剩余產(chǎn)品的庫存持有成本（不含資金成本），r,rf分別為每個(gè)周期內(nèi)的貸款利率和無風(fēng)險(xiǎn)投資收益率，滿足：-∞＜s≤c＜p，c(1+βr)＜p;

（6）假設(shè)供應(yīng)商資金充足，零售商有一定的資產(chǎn)且信用良好（如有債務(wù)，會(huì)如期償還）；

（7）a為實(shí)數(shù)，記a+=max{0,a}，a-=max{0,-a}。

3 模型建立

根據(jù)假設(shè)，零售商根據(jù)第n(1≤n≤N)期初的初始庫存水平xn和資金水平bn決定訂貨后的庫存水平為yn，即訂貨量為yn-xn，并立即支付β比例的貨款 βc(yn-xn)，剩余部分在本期末支付。零售商如果資金充足，滿足約束βc(yn-xn)≤bn，剩余資金將被進(jìn)行無風(fēng)險(xiǎn)投資以獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益如果資金不足以支付這部分貨款，零售商會(huì)通過向銀行融資完成訂單，并需在本期末償還本息零售商在期末實(shí)現(xiàn)本期需求Dn，可獲得收益需要支付庫存費(fèi)用(第N期末可獲得殘值如果零售商期末現(xiàn)金不足以償還債務(wù)(包括延期支付的貨款和貸款本息)，零售商將再次融資，此時(shí)資金水平為負(fù)。

因此，零售商在第n(1≤n≤N)期末，即第n+1期初的庫存水平xn+1和資金水平bn+1分別為：

所以，零售商的決策問題是給定計(jì)劃期初的庫存水平x1和資金水平b1確定最優(yōu)的訂貨策略，使計(jì)劃期末的期望現(xiàn)金流最大，決策的優(yōu)化問題為且需滿足（1）、（2）兩式及yn≥xn≥0。

記Vn(x,b)(1≤n≤N)為給定初始庫存水平x和資金水平b的計(jì)劃期末期望現(xiàn)金最大值，則最優(yōu)性方程為：

其中，

邊界條件為：VN+1(x,b)=b+sx。

當(dāng)β=1時(shí)，我們的模型即為Gong等[14]所構(gòu)建的模型。

4 模型分析與求解

為了得到最優(yōu)的訂貨策略，有：

引理1 對(duì)任意第n周期，固定x，則Vn(x,b)關(guān)于b遞增。

引理1是很直觀的：零售商期初的資金越多，計(jì)劃期末的期望現(xiàn)金越多。

引理2 對(duì)于任意第n周期,固定A和B,則Vn(A-z,B+(p+h)z)關(guān)于z遞增。

證明：對(duì)于任意第n周期，固定A和B，由式（3），得：

引理2表明在每周期初持有現(xiàn)金比庫存更有利。因?yàn)橥ㄟ^訂貨可將現(xiàn)金轉(zhuǎn)化為庫存，反之不行，所以期初持有現(xiàn)金比庫存更靈活。而持有庫存太多且超過必需水平時(shí)，會(huì)失掉持有現(xiàn)金而獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益的機(jī)會(huì)。

定理1 對(duì)于任意第n周期，Vn(x,b)是關(guān)于(x,b)的凹函數(shù)。

證明：使用歸納法進(jìn)行逆推。

顯然，VN+1(x,b)=b+sx是關(guān)于 (x,b)的凹函數(shù)。假設(shè)Vn+1(x,b)是關(guān)于(x,b)的凹函數(shù)，下面證明Vn(x,b)是關(guān)于(x,b)的凹函數(shù)。

記R=x+b/(βc)表示零售商用盡自有資金但不貸款所能達(dá)到的訂貨后的庫存水平，稱之為“自有庫存資產(chǎn)”。

類似定理1的證明可得,對(duì)任意第n周期，給定(x,b), πn(x,b,y),π1n(x,b,y)和 π2n(x,b,y)都為關(guān)于 y的凹函數(shù)，且H1n(R)≥H2n(R)。記π1n(y),π2n(y)和πn(y)分別為給定(x,b)時(shí)π1n(x,b,y),π2n(x,b,y)和πn(x,b,y)的函數(shù)值。由πn(y)的連續(xù)性可知，π1n(R)=π2n(R)。記H1n(y)=0，H2n(y)=0的根分別為 y1n和y2n，由πn(y)的連續(xù)性及π1n(y)和π2n(y)的凹性，有：

引理3 若y1n＜R，則y2n＜R。

證明 反證法。假設(shè)y2n≥R則H2n(R)≥0。由y1n＜R知H1n(R)＜0，從而H2n(R)＞H1n(R)。這與H1n(R)≥H2n(R)矛盾。因此，若y1n＜R，則y2n＜R。證畢。

定理2 當(dāng)?shù)趎期初狀態(tài)為(x,b)且b＞0時(shí)，零售商的最優(yōu)訂貨策略如下：

（1）若y1n≤x，則不訂貨；

（2）若x＜y1n≤R，則訂至y1n;

（3）若y2n＜R≤y1n，則訂至R;

（4）若R≤y1n且R≤y2n，則訂至y2n。

證明 根據(jù)x與y1n,y2n的大小關(guān)系，分以下四種情形討論：

情形1：y1n≤x且y2n≤x。

由y1n≤x知π1n(y)在區(qū)間[x,R]上單調(diào)遞減，則對(duì)任意的y∈(x,R)，有π1n(R)≤π1n(y)＜π1n(x)，又由y2n≤x知π2n(y)在區(qū)間(R,+∞)上單調(diào)遞減，則對(duì)任意的y∈(R,+∞)，有π2n(y)＜π2n(R)，而π1n(R)=π2n(R)，可得yˉ=x。

情形2：y1n＜x且y2n＞x。

由y1n＜x得y1n＜R及引理2知y2n＜R，此時(shí)π2n(y)在區(qū)間(R,+∞)上單調(diào)遞減，則對(duì)任意的y∈(R,+∞)，π2n(y)＜π2n(R)。

由y1n＜x知π1n(y)在區(qū)間[x,R]上單調(diào)遞減，則對(duì)任意的y∈(x,R]，有 π1n(R)≤π1n(y)＜π1n(x)，再由 π1n(R)=π2n(R)，得yˉ=x。

情形3：y1n＞x且y2n＜x。

顯然有y2n＜R，從而π2n(y)在區(qū)間(R,+∞)上單調(diào)遞減，則對(duì)任意的y∈(R,+∞)，π2n(y)＜π2n(R)。

當(dāng)x＜y1n＜R時(shí)，由π1n(y)的凹性，知對(duì)任意的y∈[x,R]，π1n(y)≤π1n(y1n)，再由π1n(R)=π2n(R)，得yˉ=y1n。

當(dāng)y1n≥R時(shí)，π1n(y)在區(qū)間[x,R]上單調(diào)遞增，則對(duì)任意的y∈[x,R)，π1n(y)＜π1n(R)，再由π1n(R)=π2n(R)，得yˉ=R。

情形4：y1n＞x且y2n＞x。

當(dāng) x＜y1n＜R時(shí)，由引理2知 y2n＜R，此時(shí)π2n(y)在區(qū)間(R,+∞)上 單 調(diào) 遞 減 ，則 對(duì) 任 意 的 y∈(R,+∞)，有π2n(y)＜π2n(R)。由 π1n(y)的凹性，知對(duì)任意的 y∈[x,R]，有π1n(y)≤π1n(y1n)，再由π1n(R)=π2n(R)，得yˉ=y1n。

當(dāng) y1n≥R 時(shí)，分 y2n＜R 和 y2n≥R 進(jìn)行討論。當(dāng)y1n≥R＞y2n時(shí)，π1n(y)在區(qū)間[x,R]上單調(diào)遞增，π2n(y)在區(qū)間(R,+∞)上單調(diào)遞減，則對(duì)任意的y∈[x,R)，有π1n(y)＜π1n(R)，對(duì)任意的 y∈(R,+∞)，有 π2n(y)＜π2n(R)，由 π1n(R)=π2n(R)，得yˉ=R。當(dāng) y1n≥R且 y2n≥R時(shí)，π1n(y)在區(qū)間[x,R]上單調(diào)遞增，則對(duì)任意的y∈[x,R)，有π1n(y)＜π1n(R)，又由π2n(y)的凹性，知 對(duì) 任 意 的 y∈[R,+∞)，有 π2n(y)≤π2n(y2n)，再 由π1n(R)=π2n(R)，得yˉ=y2n。

綜上可知，若y1n≤x，則不訂貨；若x＜y1n＜R，則訂至y1n；若y2n＜R≤y1n，則訂至R；若R≤y1n且R≤y2n，則訂至y2n，證畢。

定理3：當(dāng)?shù)趎個(gè)周期期初狀態(tài)為(x,b)且b≤0時(shí)，零售商的最優(yōu)訂貨策略為：若y2n≤x，則不訂貨；否則，訂到y(tǒng)2n。

從定理2可以看出，當(dāng)?shù)趎期初資金水平為正時(shí)，庫存系統(tǒng)存在兩個(gè)訂貨的臨界值y1n和y2n。當(dāng)期初庫存水平高于或等于臨界值y1n時(shí)，最優(yōu)策略為不訂貨，自有資金全部存入賬戶獲得無風(fēng)險(xiǎn)利息，否則，最優(yōu)策略取決于兩個(gè)臨界值和“自有庫存資產(chǎn)”的大小關(guān)系。如果“自有庫存資產(chǎn)”大于臨界值y1n，則最優(yōu)策略為訂貨到y(tǒng)1n，此種情形訂貨后仍有資金剩余，剩余資金存入賬戶獲得無風(fēng)險(xiǎn)利息；如果“自有庫存資產(chǎn)”介于兩臨界值之間，則最優(yōu)策略為用盡自有資金，此時(shí)沒有剩余資金，也無需融資；如果“自有庫存資產(chǎn)”不超過兩臨界值，則最優(yōu)策略為訂貨到y(tǒng)2n，此時(shí)自有資金不足以使訂貨達(dá)到y(tǒng)2n，零售商需要通過融資來完成訂貨。

從定理3可以看出，當(dāng)?shù)趎期初資金水平為非正時(shí)，庫存系統(tǒng)的訂貨策略相對(duì)簡(jiǎn)單，只有一個(gè)訂貨的臨界值y2n，此時(shí)庫存策略只依賴于期初庫存水平和此臨界值的大小關(guān)系。當(dāng)期初庫存水平高于或等于臨界值y2n時(shí)，最優(yōu)策略為不訂貨；否則最優(yōu)策略為訂貨到y(tǒng)2n，此時(shí)，零售商需要通過融資來完成訂貨。

5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

設(shè)計(jì)劃期分為4個(gè)訂貨周期，零售商每周期初的采購價(jià)格c=2，零售價(jià)格p=2.5，計(jì)劃期末的殘值s=1，訂貨時(shí)立即支付貨款的比例β=0.85，每周期單位剩余產(chǎn)品的庫存持有成本h=0.1，每個(gè)周期內(nèi)的貸款利率和無風(fēng)險(xiǎn)利率分別為r=0.2和rf=0.05。每個(gè)周期的需求都為獨(dú)立同分布的截尾正態(tài)分布，均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為4和1.5。表1列出了零售商各周期（部分）給定初始狀態(tài)的最優(yōu)訂貨策略。表中第二行表示每周期初的庫存水平，第一列表示每周期初的資金水平，表格中數(shù)據(jù)為行列交叉所表示狀態(tài)的最優(yōu)訂貨策略（訂貨后達(dá)到的庫存水平）。3.03。由表1可以看出，對(duì)于第4周期策略結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，存在兩個(gè)臨界值，給定期初狀態(tài)的最優(yōu)策略取決于狀態(tài)與臨界值的關(guān)系；而對(duì)于其他各周期（此處以第3周期為例），由于模型本身的復(fù)雜性導(dǎo)致策略結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，存在著某些區(qū)域，當(dāng)給定初始庫存（資金）而擁有更多的資金（庫存）時(shí)，訂貨后達(dá)到的庫存水平反而會(huì)減少，這與第4周期所具有的給定初始庫存（資金）時(shí)資金（庫存）增加則訂貨后達(dá)到的庫存水平不減這一性質(zhì)不同，文獻(xiàn)[14]中的模型也有類似的性質(zhì)。這種反直觀的現(xiàn)象來源于多余資金的投資價(jià)值。

表1 零售商各周期給出初始狀態(tài)的最優(yōu)訂貨策略

6 結(jié)論

在現(xiàn)實(shí)中，由于交易雙方財(cái)務(wù)狀況、合作程度、談判能力等的不同，部分延期支付廣泛存在于交易實(shí)踐中。本文從實(shí)際出發(fā)，假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)中性的零售商存在資金約束，在供應(yīng)商允許部分延期支付的條件下周期性地訂購一種產(chǎn)品以滿足不確定性需求，訂貨時(shí)可以使用自有資金和（或）貸款資金，訂貨后如果有剩余資金，可以通過無風(fēng)險(xiǎn)投資獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益，以最大化計(jì)劃期末的期望資金水平為目標(biāo)，建立了隨機(jī)動(dòng)態(tài)模型。在分析模型性質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過算例對(duì)模型進(jìn)行了說明。本文的研究對(duì)于市場(chǎng)需求不確定下實(shí)施部分信用交易的訂貨和融資聯(lián)合決策具有一定的理論價(jià)值。進(jìn)一步的研究方向，可以考慮零售商的風(fēng)險(xiǎn)偏好、存在破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)等情形。

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Study on Dynamic Inventory and Financing Strategy with Partial Delay in Payment by Retailer Allowed

Wen Zongliang1,Zhu Yan2,Zhou Youjun3
(1.School of Pharmacy,Guangxi University of Chinese Medicine,Nanning 530001; 2.School of Public Education,Xuzhou Medical College,Xuzhou 221004; 3.School of Mathematics&Computer Science,Guangxi Normal College of Science&Technology,Liuzhou 545004,China)

In this paper,upon the premise that the supplier allows the partial delay in payment of the retailer,we discussed the stochastic dynamic inventory decision-making problem of a risk-neutral retailer that made cyclic ordering of a product to meet the uncertain demand for it,built the inventory model that optimized its replenishment and financing strategies so as to maximize the expected fund level of the retailer at the end of a term,and at the end,presented a numerical example to analyze the optimal initial investment and the optimal inventory level.

retailer;dynamic inventory;partial delay in payment;ordering strategy;financing decision-making;stochastic demand

F715.6；O141.4

A

1005-152X(2015)11-0067-05

10.3969/j.issn.1005-152X.2015.11.020

2015-10-02

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（71261002）；廣西高校科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（KY2015YB366）；廣西中醫(yī)藥大學(xué)項(xiàng)目（QN14006）

溫宗良（1981-），男，山東聊城人，博士研究生，講師，研究方向：庫存控制、供應(yīng)鏈金融；朱雁（1983-），女，安徽蕭縣人，講師，研究方向：優(yōu)化與管理；周優(yōu)軍(1974-)，通訊作者，男，廣西全州人，碩士，副教授，研究方向:物流與供應(yīng)鏈管理。