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        廣義G-矩陣

        2015-02-27 03:20:08馬培蘭
        關(guān)鍵詞:伊寧對(duì)角伊犁

        馬培蘭

        (伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,新疆伊寧 835000)

        廣義G-矩陣

        馬培蘭

        (伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,新疆伊寧 835000)

        本文從廣義G-矩陣的定義出發(fā),利用矩陣的廣義Schur-補(bǔ),討論了廣義G-矩陣的充要條件。

        廣義逆矩陣;廣義G-矩陣;Schur-補(bǔ)

        文獻(xiàn)[2]中定義了廣義G-矩陣,并討論了幾種特殊形式的G-矩陣.文獻(xiàn)[3-4]中對(duì)G-矩陣及廣義G-矩陣進(jìn)行了進(jìn)一步的討論.在文獻(xiàn)[5-6]中討論了矩陣的廣義Schur-補(bǔ)的最大最小秩.本文利用矩陣的廣義Schur-補(bǔ)的最大最小秩,從另一個(gè)角度討論了廣義G-矩陣的充要條件.

        定義1.1[1]設(shè)矩陣A∈Rm×n,如果矩陣X滿足下列矩陣方程中的一個(gè)或幾個(gè):(1)AXA=A;(2)XAX=X;(3)(AX)T=AX;(4)(XA)T=XA,則稱矩陣X∈Rn×m為矩陣A的廣義逆.

        對(duì)于集合{1,2,3,4}的子集{i,j,…},n×m矩陣X稱為矩陣A的{i,j,…}-逆.如果它滿足方程(i),(j),(k),記為A(i,j,k).矩陣A的{i,j,…}-逆的全體構(gòu)成的集合記為A{i,j,k}.

        矩陣的{1}-逆也稱為g-逆,{1,3}-逆也稱為最小二乘g-逆.

        1 引言

        定義1.2[2]設(shè)矩陣A∈Rn×n,如果A非奇異并且存在非奇異對(duì)角矩陣D1,D2,使得(AT)-1=D1AD2,則稱A為G-矩陣.

        定義1.3 設(shè)矩陣A∈Rmxn,如果存在非奇異對(duì)角矩陣D1∈Rm×m,D2∈Rn×n,使得A=D1(AT)+D2,則稱為廣義G-矩陣.

        定義1.4 設(shè)矩陣A∈Rm×n,如果存在非奇異對(duì)角矩陣D1∈Rm×m,D2∈Rn×n,A(i,j,k)∈A{i,j,k},使得A=D1(AT)(i,j,k)D2,則稱A為廣義G(i,j,k)-矩陣.

        (1)若A為非奇異矩陣,則A在M中的Schur補(bǔ)為SA=D-CA-1B,并且

        rank(M)=rank(A)+rank(D-CA-1B).

        2 關(guān)于廣義G-矩陣的結(jié)論

        且rank(M)=rank(AT)+rank(A-D1(AT)-1D2)=rank(A)+rank(A-D1(AT)-1D2).

        因此,矩陣A為G-矩陣

        ?A=D1(AT)-1D2?A-D1(AT)-1D2=0?rank(A-D1(AT)-1D2)=0

        ?rank(M)=rank(A)+rank(A-D1(AT)-1D2)=rank(A).

        rank(A-D1(AT)+D2)

        證明 由定義1.4知,A為廣義G(1)-矩陣時(shí),存在非奇異對(duì)角矩陣D1∈Rm×m,D2∈Rn×n,A(1)∈A{1},使得A=D1(AT)(1)D2,即A-D1(AT)(1)D2=0.

        而由引理1.5知

        minrank(A-D1(AT)(1)D2)

        因此,矩陣A為廣義G(1)-矩陣

        定理2.4 設(shè)矩陣A∈Rm×n,則矩陣A為廣義G(1,2)-矩陣的充分必要條件是存在非奇異對(duì)角矩陣D1∈Rm×m,D2∈Rn×n,使得rank(A)+m+n+max{s1,s2}=0,其中

        而由引理1.5知

        minrank(A-D1A(1,2)D2)

        =m+n+rank(A)+max{s1,s2}.

        其中

        因此,矩陣A為廣義G(1,2)-矩陣

        ?m+n+rank(A)+max{s1,s2}=0.

        [1]A.Ben-Israel,T.N.E.Greville.GeneralizedInverse:TheoryandApplications[M].Seconded.,Springer-Verlag,NewYork,2002.

        [2]G-matrix[J].LinearAlgebraAppl.,2012,436:731-741.

        [3]MiroslavFiedler,ThomasL.Markham,MoreonG-matrices[J].LinearAlgebraAppl.,2013,438:231-234.

        [4]MasayaMatsuura.AnoteongeneralizedG-matrices[J].LinearAlgebraAppl.,2012,436:3475-3479.

        [5]YonggeTian.MoreonmaximalandminimalranksofSchurcomplementswithapplications[J].AppliedMathematicsandComputation,2004,152:675-692.

        [6]YonggeTian.Upperandlowerboundsforranksofmatrixexpressionsusinggeneralizedinverses[J].LinearAlgebraAppl.,2002,355:187-214.

        Generalized G-matrices

        MA Pei-lan

        (School Mathematics and Statistics,Yili Normal University,Yining Xinjiang 835000,China)

        From the definition of generalized G-matrices, using the generalized Schur-complement discuss the the necessary and sufficient conditions for generalized G-matrices.

        generalized inverse;generalized G-matrices;Schur-complement

        2015-01-20

        馬培蘭(1987-),女,河南偃師人,伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院助教,碩士,從事計(jì)算數(shù)學(xué)研究。

        O154

        A

        2095-7602(2015)04-0009-03

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