楊春艷 吉 恒

(1.玉溪師范學(xué)院 理學(xué)院,云南 玉溪 653100；2.通?？h第二中學(xué),云南 通海 652701)

［物 理］

薛定諤方程中分離變量常數(shù)的確定

楊春艷1吉 恒2

(1.玉溪師范學(xué)院 理學(xué)院,云南 玉溪 653100；2.通?？h第二中學(xué),云南 通海 652701)

薛定諤方程；分離變量；常數(shù)

現(xiàn)行原子物理教材和量子力學(xué)教材中,在由含時(shí)薛定諤方程推導(dǎo)定態(tài)薛定諤方程時(shí)存在僅以“以E表示這個(gè)常量”作為分離變量常數(shù)取粒子能量的闡述,這是不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹榇?如果能對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)單但嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理,則可彌補(bǔ)其存在的這一不足之處。

德布羅意的物質(zhì)波假設(shè)得到實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證后,為解決物質(zhì)波概率的空間分布及此分布隨時(shí)間如何變化的問題,薛定諤在其導(dǎo)師拜德：“有了波,就應(yīng)有一個(gè)波動(dòng)方程”［1］的啟示下,于1926年提出了薛定諤方程,其簡(jiǎn)要過程如下。

而對(duì)于自由粒子,其波函數(shù)為

類比于波動(dòng)現(xiàn)象,應(yīng)存在一個(gè)波動(dòng)方程,它既要與式(1)一致,又要在V=0時(shí)其解為式(2)。于是聯(lián)立(1)、(2)得

上式即為一般粒子的含時(shí)薛定諤方程。當(dāng)粒子所處力場(chǎng)的勢(shì)能為V=V)(定態(tài))時(shí),上式左、右兩側(cè)顯然分別只是對(duì)空間和時(shí)間的運(yùn)算,故可取分離變量式

代(4)入(3)得

顯然,(5)中的分離變量常數(shù)C1應(yīng)為一個(gè)既不依賴于時(shí)間,也不依賴于空間的常數(shù)?，F(xiàn)行原子物理教材［1～2］和量子力學(xué)教材［3］中講到此處時(shí),均以“以E表示這個(gè)常量,其中E為粒子的能量”［3］進(jìn)行描述,而未進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯驗(yàn)證,此種處理方式顯然是缺乏說服力的,這體現(xiàn)了現(xiàn)行教材中的邏輯漏洞。

為彌補(bǔ)上述不足,授課時(shí)可作如下簡(jiǎn)單但嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理：

由式(5)第二個(gè)等式得

代(6)入(4),應(yīng)用并合原則得粒子的定態(tài)波函數(shù)

對(duì)比式(7)和(2),根據(jù)物質(zhì)波三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件中的單值條件,有

顯然

證畢。

［1］楊福家.原子物理學(xué)［M］.北京：高等教育出版社,2008.

［2］褚圣麟.原子物理學(xué)［M］.北京：高等教育出版社,1979.

［3］周世勛.量子力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社,1979.

The Determination of Variable-Separating Constant of Schrodinger Equation

YANG CHun Yan1JI Heng2
(1.School of Science,Yuxi Normal University,Yuxi,Yunnan 653100；2.Tonghai No.2 Middle School,Tonghai,Yunnan 652701)

Schrodinger equation；separation variables；constant

The current atomic physics teaching materials and textbooks of quantum mechanics have not given a precise reason why the separation variable takes the constant of particle energy in the derivation of stationary Schrodinger equation from time-dependent schrodinger equation.The author believes a simple but strict mathematical reasoning can make up for the shortcomings of this place.

楊春艷,碩士,講師,研究方向：電磁場(chǎng)、電磁波、原子物理學(xué)和理論力學(xué)。

O434.1

A

1009-9506(2015)12-0059-02

2015年7月12日