時維元，林正英，陳希信

(1. 金陵科技學院 機電工程學院， 南京 211169； 2. 福州大學 機械工程及自動化學院， 福州 350108) (3. 南京電子技術研究所, 南京 210039)

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·信號/數據處理·

線性調頻信號低旁瓣脈壓窗函數的優(yōu)化設計

時維元1，林正英2，陳希信3

(1. 金陵科技學院 機電工程學院， 南京 211169； 2. 福州大學 機械工程及自動化學院， 福州 350108) (3. 南京電子技術研究所, 南京 210039)

由于線性調頻(LFM)信號的幅度譜不是標準的矩形形狀，常用的窗函數有時無法將脈壓旁瓣降得足夠低，因此提出了LFM信號低旁瓣脈壓窗函數的優(yōu)化設計方法。首先，將頻域窗函數的求解表示為一個最優(yōu)化問題，即在保證設計窗函數下的脈壓主瓣與期望主瓣的差別小于給定值的條件下，使設計窗函數下的脈壓旁瓣盡可能低；然后，將問題表示為標準二階錐規(guī)劃形式并求解。仿真實例表明，設計窗的脈壓旁瓣顯著低于海明窗的脈壓旁瓣，設計窗脈壓主瓣的無約束部分有所展寬，兩個窗函數下脈壓信噪比相同。

線性調頻信號；脈沖壓縮；窗函數；二階錐規(guī)劃

0 引 言

線性調頻(LFM)信號是雷達中常用的一種脈沖壓縮信號，其突出優(yōu)點是匹配濾波器對目標回波信號的多普勒頻率不敏感，大大簡化了雷達信號處理系統(tǒng)。但是目標回波信號通過匹配濾波器后的輸出具有較高的距離旁瓣(第一旁瓣約13 dB)，因此需要采用加錐削窗的方式來降低旁瓣，代價是分辨率下降和信噪比損失[1]。當LFM信號的時寬帶寬積較大時采用目前的窗函數可以將旁瓣降至-40 dB左右，但是難以進一步降低以滿足某些實際需要，特別是時寬帶寬積較小時-40dB的旁瓣也難以達到。從降低脈壓旁瓣的角度來看，常用的錐削窗有時不夠理想。文獻[2-3]在最小二乘準則下通過迭代搜索方式降低旁瓣，但是迭代系數和收斂性不易控制；文獻[4]提出了抑制旁瓣的時域滑窗法，該方法僅適用于脈壓旁瓣具有逐點倒相特性的信號，并且旁瓣仍然不能降得很低；文獻[5-6]在時域上設計窗函數，獲得了令人滿意的低旁瓣。實際中LFM信號的脈壓經常需要在頻域上實現，因此本文采用優(yōu)化方式在頻域上設計窗函數以降低脈壓旁瓣，并且考察設計窗下的脈壓主瓣展寬和信噪比損失等指標。

1 低旁瓣脈壓的優(yōu)化問題

雷達發(fā)射的LFM信號表示為

u(t)=exp(jπγt2), -Tp/2≤t≤Tp/2

(1)

式中：γ=B/Tp為調頻斜率，B為帶寬，Tp為脈寬。

記u(t)的頻譜為U(f)。設距離R0處有一多普勒頻率為fD的運動點目標，易知其回波信號的頻譜為Ur(f)=a·U(f-fD)·exp(-j2πfτ0)，這里a為回波幅度，τ0=2R0/c，c為光速，則匹配濾波器的輸出為

(2)

(3)

式中：z(ts)(s=1,2,…,S)是待設計脈壓旁瓣，z(tm)(m=1,2,…,M)是待設計脈壓主瓣，zd(tm)是期望脈壓主瓣；λm為主瓣內不同時間點的誤差加權系數，系數越大，設計波瓣與期望波瓣的擬合越接近；ε是設計波瓣偏離期望波瓣的上限，δ對窗函數的范數進行約束，以保證脈壓濾波器對隨機誤差的穩(wěn)健性；TSL是旁瓣區(qū)域上的S個離散時間點的集合，TML是主瓣區(qū)域上的M個離散時間點的集合；‖·‖表示范數運算。

式(3)的優(yōu)化問題是凸的，可以轉化成標準的二階錐(SOC)規(guī)劃形式，然后利用Matlab的Sedumi工具箱求解[7-8]，下一節(jié)將給出詳細描述。

2 基于二階錐規(guī)劃的窗函數求解

二階錐規(guī)劃的對偶標準形式為

(4)

式中：y是包含待求解變量的向量，A是任意矩陣，b和c是任意向量，R是由基本錐(每一個對應一個約束)構成的對稱錐集合。A，b和c可以為復數，具有適當的維數?；惧F可以是二階錐和非負集。

q維二階錐定義為

SOCq‖x2‖

(5)

式中：R是實數集，C是復數集。

將非負集表示為R+，如果優(yōu)化問題可以表示成

(6)

則很容易通過Sedumi求出其數值解。式(6)中的對稱錐集合表示向量c-ATy的前q1個元素不小于零，后面的q2個元素位于一個二階錐內。

為了將式(3)的優(yōu)化問題轉化成標準的二階錐規(guī)劃形式，首先引入非負變量ξ和εm(m=1,2,…,M)，同時考慮式(2)，我們將式(3)變成

(7)

定義：y=[ξ,ε1,ε2,…,εM,w1,w2,…,wN]T，b=[-1, 01×(M+N)]T，將式(7)中的約束條件寫成如下標準形式

y

(8)

m=1,2,…,M

(9)

y，

s=1,2,…,S

(10)

(11)

給定式(1)的LFM信號，期望脈壓主瓣zd(tm)，參數ε和δ，以及離散時間點tm(m=1,2,…,M)和ts(s=1,2,…,S)，離散頻率點fn(n=1,2,…,N)，代入以上各式，即可應用Sedumi工具箱求解出y，y的最后N個元素構成窗函數w。

3 設計實例與分析

設LFM信號的時寬為10 ms，帶寬為20 kHz，采樣頻率為40 kHz。在優(yōu)化設計中，采用海明窗的脈壓主瓣作為期望主瓣。利用文中方法優(yōu)化設計窗函數，考察設計窗的脈壓旁瓣電平、主瓣展寬和信噪比損失等指標，如圖1和圖2所示。

圖1 脈壓旁瓣電平隨多普勒的變化

圖2 脈壓的主瓣

脈壓旁瓣電平隨多普勒頻率的變化如圖1所示，多普勒頻率為零時約-74 dB，隨著多普勒增加，設計窗的脈壓旁瓣不斷抬高，在歸一化多普勒頻率(多普勒頻率/信號帶寬)為0.004時趨近于海明窗的脈壓旁瓣，可見設計窗下的脈壓對多普勒不敏感，即使多普勒較大，旁瓣電平也不超過海明窗下的旁瓣電平。圖2比較了設計窗與海明窗的脈壓主瓣，可見-20 dB以上的約束部分兩者重合，但是-20 dB以下的無約束部分設計窗脈壓主瓣有所展寬，是降低旁瓣而付出的代價。

在LFM信號中添加高斯白噪聲，經加窗脈壓處理后信號分量和噪聲分量分別如圖3和圖4所示，可見在設計窗和海明窗下兩個脈壓主瓣高度相同，噪聲輸出也高度重合，因此兩個窗函數下脈壓的輸出信噪比相同。

圖3 脈壓后信號的比較

圖4 脈壓后噪聲的比較

4 結束語

常用的窗函數有時無法將脈壓旁瓣降得足夠低以滿足某些實際需要，本文采用優(yōu)化方式設計窗函數以期進一步降低LFM信號的脈壓旁瓣，即在保證設計窗函數下的脈壓主瓣與期望主瓣的差別小于給定值的條件下，使設計窗函數下的脈壓旁瓣盡可能低。同時，給出了具體的設計實例，并與常用的海明窗比較。結果表明，設計窗的脈壓旁瓣顯著低于海明窗的脈壓旁瓣，兩個窗函數下脈壓信噪比相同，設計窗脈壓主瓣的無約束部分有所展寬，是旁瓣降低的代價。另外，設計窗下的脈壓對多普勒頻率不敏感，即使多普勒較大，旁瓣電平也不超過海明窗下的旁瓣電平。

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時維元 男，1972年生，博士，講師。研究方向為數字化設計與制造、機電檢測與控制。

林正英 女，1968年生，博士，副教授。研究方向為數字化設計與制造、機電檢測與控制。

Optimal Design of Window Function for LFM Signal Low-sidelobe Pulse Compression

SHI Weiyuan1，LIN Zhengying2，CHEN Xixin3

(1. College of Mechanical and Electrical Engineering, Jinling Institute of Technology, Nanjing 211169, China) (2. School of Mechanical Engineering and Automation, Fuzhou University, Fuzhou 350108, China) (3. Nanjing Research Institute of Electronics Technology, Nanjing 210039, China)

The sidelobes of pulse compression (PC) of linear frequency-modulated (LFM) signal sometimes cannot be lowered sufficiently via the usual window functions because the amplitude spectrum of LFM signal is not of the standard rectangular shape. An optimal design approach to the window function of LFM signal low-sidelobe PC is presented in this paper. In this approach the window function making the PC sidelobes as low as possible is found via the standard second-order cone programming under the constraint that the difference between the PC mainlobe of designed window and that of the desired window is less than some given value. The simulation example shows that the PC sidelobes of designed window are remarkably lower than those of Hamming window, the constrained part of PC mainlobe of designed window is widened, and the PC SNRs of two window functions are almost same.

linear frequency-modulated signal; pulse compression; window function; second-order cone programming

10.16592/ j.cnki.1004-7859.2015.10.005

金陵科技學院科研基金資助項目(40610049)

時維元 Email：shiweiyuan@jit.edu.cn

2015-06-27

2015-09-08

TN957

A

1004-7859(2015)10-0018-03