柳曉燕

(西安郵電大學(xué) 理學(xué)院, 陜西 西安 710121)

軟集與模糊集的格

柳曉燕

(西安郵電大學(xué) 理學(xué)院, 陜西 西安 710121)

從格論角度研究軟集的一些代數(shù)性質(zhì)，證明了給定論域上的全體軟集可構(gòu)成正交模格及布爾代數(shù)等格結(jié)構(gòu)。依此指出給定論域上全體模糊集的格可嵌入全體軟集的格，基于格論刻畫了軟集與模糊集之間的內(nèi)在聯(lián)系。

軟集；模糊集；格；布爾代數(shù)；正交模格

隨著物聯(lián)網(wǎng)、云計(jì)算、移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)和電子商務(wù)等信息科學(xué)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，人類社會(huì)正飛速邁入信息化時(shí)代，每時(shí)每刻各種紛繁復(fù)雜的數(shù)據(jù)不斷涌現(xiàn)，數(shù)據(jù)的重要意義和潛在價(jià)值獲得了前所未有的重視。與此同時(shí)，人們發(fā)現(xiàn)諸如工程技術(shù)、環(huán)境科學(xué)、生物醫(yī)藥和認(rèn)知科學(xué)等領(lǐng)域內(nèi)的大量實(shí)際問題均涉及挖掘、分析和處理各種各樣的不確定性數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)中內(nèi)蘊(yùn)的不確定性和復(fù)雜性使得一些經(jīng)典數(shù)學(xué)工具不能直接應(yīng)用。為應(yīng)對實(shí)際應(yīng)用中的新挑戰(zhàn)，數(shù)學(xué)、信息和控制領(lǐng)域的研究者相繼提出了若干處理不確定性的理論和方法，包括模糊集、粗糙集、Flou集、Vague集、灰色理論和置信理論等。其中模糊集和粗糙集分別體現(xiàn)了處理不確定性的程度化和粒度化的重要思想，已被廣泛應(yīng)用到數(shù)據(jù)挖掘、機(jī)器學(xué)習(xí)、近似推理、專家系統(tǒng)、決策分析、模式識別和聚類分析等領(lǐng)域。

軟集理論[1]從參數(shù)化的嶄新角度提供了表示和處理不確定性的一種新思路。軟集給定論域的參數(shù)化的子集族，利用參數(shù)標(biāo)記并組織論域中的元素，進(jìn)而形成一定的結(jié)構(gòu)并應(yīng)用于不確定問題的建模及分析。在一定意義下模糊集和粗糙集均可看作軟集的特例[2]。軟集定義中既涉及對象集，又引入了參數(shù)空間，相對于模糊集、粗糙集等不確定計(jì)算理論而言，能夠進(jìn)行更為豐富的信息描述和處理，已應(yīng)用于博弈論、運(yùn)籌學(xué)、Perron積分、概率論及測度論等方面[3]。近年來，國際上關(guān)于軟集的研究進(jìn)入了十分活躍的階段[4-10]。

計(jì)算機(jī)科學(xué)中廣泛關(guān)注的布爾代數(shù)[11,12]是經(jīng)典二值邏輯對應(yīng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)，而正交模格是量子邏輯對應(yīng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)，隨著量子信息與量子計(jì)算方面研究的快速發(fā)展，正交模格已成為量子信息與量子計(jì)算中最重要的量子結(jié)構(gòu)之一。本文將從格論角度研究給定論域上全體軟集形成的格結(jié)構(gòu)，并討論軟集與模糊集的格結(jié)構(gòu)之間的內(nèi)在聯(lián)系。

1 軟集與模糊集

給出關(guān)于軟集與模糊集的一些基本概念和命題，并指出兩者之間的內(nèi)在關(guān)系。令U是一個(gè)非空集合，稱為論域。記U的所有子集構(gòu)成的類為P(U)。

定義1[1]設(shè)E是給定集合(稱為參數(shù)域)，序?qū)?F,A)稱為論域U上的一個(gè)軟集，其中A?E，F(xiàn)∶A→P(U)是一個(gè)映射。

對軟集(F,A)，稱A為其參數(shù)集，并稱F∶A→P(U)為它的參數(shù)化映射。根據(jù)上述定義，論域U上的一個(gè)軟集可看作U上的一個(gè)參數(shù)化的子集族。為了便于對上述概念有一個(gè)直觀的認(rèn)識，給出下面的例子。

例 設(shè)有8種Web搜索應(yīng)用構(gòu)成的論域U={x1,x2,…,x8}?？蓮牟煌嵌葘@些應(yīng)用進(jìn)行評價(jià)，例如響應(yīng)時(shí)間短(a1)，搜索精度高(a2)，報(bào)錯(cuò)率低(a3)等。記A={a1,a2,a3}，則A構(gòu)成參數(shù)集。定義映射F∶A→P(U)為F(a1)={x1,x2,x5,x7}，F(xiàn)(a2)={x3,x5,x6,x8},F(a2)={x4,x5,x8}則(F,A)就是U上的一個(gè)軟集，它從不同側(cè)面給出這些Web搜索應(yīng)用的信息描述。易見本例中應(yīng)用x5具有最佳性能。

下面的兩個(gè)定義對文獻(xiàn)[10]中相關(guān)的定義作了簡單的修正，從后面的討論中可以看出所作修正的合理性及必要性。

(1)A?B；

(2) ?x∈A，F(xiàn)(x)?G(x)。

定義3 設(shè)(F,A)和(G,B)是論域U上的軟集，則(F,A)和(G,B)的交(F，A)(G,B)是U上的一個(gè)軟集(H,C)，其中C=A∩B；H∶C→P(U)定義為H(x)=F(x)∩G(x),x∈C。通常也將映射H記為

定義5 設(shè)(F,A)是U上的軟集，則(F,A)的補(bǔ)(F,A)c定義為U上的軟集(M,A)，其中映射M∶A→P(U)定義為

M(x)=F(x)c=U-F(x),x∈A。

通常也將映射M記為Fc。

以下關(guān)于模糊集的一些基本概念，指出軟集和模糊集之間的聯(lián)系。論域U到單位區(qū)間I=[0,1]的映射μ∶U→[0,1]稱為U上的一個(gè)模糊集。對x∈U，稱μ(x)為x對μ的隸屬度，它反映了論域中元素x對于模糊集μ的從屬程度。特別的，μ(x)=1表示全隸屬，而μ(x)=0表示不隸屬。論域U上所有模糊集構(gòu)成的類記為F(U)。

定義9 設(shè)μ,v∈F(U)，若對任意x∈U有μ(x)≤v(x)，則稱μ包含于v(或v包含μ)，并記為μ?v(或v?μ)。若μ?v且v?μ，則稱μ和v相等，記為μ=v。

定義10 設(shè)μ,v∈F(U)，定義U上的模糊集μ∪v，μ∩v為

(μ∪v)(x)=μ(x)∪v(x),(μ∩v)(x)=μ(x)∩v(x),x∈U

分別稱μ∪v和μ∩v為μ和v的并與交。

定義11 設(shè)μ∈F(U)，對任意x∈U，令μc(x)=1-μ(x)，則μc是U上的模糊集，稱為μ的補(bǔ)。

若(D,∨,∧,′,0,1)是一個(gè)有界分配格，并且滿足對合律及De Morgan律，即對任意x,y∈D，有x″=x,(x∨y)′=x′∧y′和(x∧y)′=x′∨y′成立，則(D,∨,∧,′,0,1)稱為一個(gè)De Morgan代數(shù)。

若將U的普通子集A和其特征函數(shù)χA等同起來，則可認(rèn)為Φ(即χΦ)和U(即χU)分別是(F(U),?)中的最小元和最大元。事實(shí)上，可以證明關(guān)于模糊集類F(U)的如下結(jié)果。

定理1[4](F(U),∪,∩,c,Φ,U)是一個(gè)De Morgan代數(shù)。

命題1 設(shè)μ∈F(U)，則對任意x∈U，有μ(x)=sup{α∈[0,1]|x∈μα}。

證明 任取x∈U，令A(yù)={α∈[0,1]|x∈μα}。對任意α∈A，由x∈μα知μ(x)≥α，故μ(x)是A的一個(gè)上界。又取α0=μ(x)，則α0∈[0,1]且x∈μα0，故α0=μ(x)∈A。綜上可得μ(x)是A的上確界，即μ(x)=sup{α∈[0,1]|x∈μα}。

給定論域U上的一個(gè)模糊集μ，通過求α-截集，可以得到U的一個(gè)子集族{μα|α∈[0,1]}。另一方面，上述命題表明，由α-截集構(gòu)成的族，可以重構(gòu)出原來的模糊集。由此可得如下結(jié)論。

2 軟集的格

論域U上的模糊集類F(U)關(guān)于模糊集的并、交及補(bǔ)運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)De Morgan代數(shù)。取定參數(shù)集A，記論域U上以A為參數(shù)集的全體軟集構(gòu)成的類為S(A,U)，討論軟集類S(A,U)的性質(zhì)及結(jié)構(gòu)。

取定參數(shù)集A后，軟集的一些相關(guān)概念將得到簡化。例如對(F,A),(G,A)∈S(A,U)，由定義得

證明 對任意x∈A，有

命題5 設(shè)(F,A)∈S(A,U)，則((F,A)c)c=(F,A)，即軟集的補(bǔ)運(yùn)算滿足對合律。

證明 設(shè)((F,A)c)c=(G,A)，對任意x∈A，由定義可知

G(x)=(Fc(x))c=U-(F(x))c=F(x)，

于是G=F，從而有(F,A)=(G,A)，即

((F,A)c)c=(G,A)。

命題6 設(shè)(F,A),(G,A)∈S(A,V)，則下列等式成立

即軟集關(guān)于并、交及補(bǔ)運(yùn)算滿足De Morgan律。

[F(x)∪G(x)]c=(F(x))c∩(G(x))c

另一方面，有

于是H=L，故(H,A)=(L,A)，即

對偶地，可證等式(DM2)成立。

命題7 設(shè)

(F,A),(G,A),(H,A)∈S(A,V)，

則下列等式成立。

(L1) 交換律

(L2) 結(jié)合律

(L3) 冪等律

(L4) 吸收律

證明 僅證每組的第一個(gè)等式成立，另一個(gè)的證明是類似的。

(L1) 設(shè)

對任意x∈A，有

F(x)∪G(x)=G(x)∪F(x)=

故(L,A)=(K,A)，即

(L2) 設(shè)

對任意x∈A，有

(F(x)∪G(x))∪H(x)。

另一方面，

F(x)∪(G(x)∪H(x))，

則L=K。因此(L,A)=(K,A)，即

(L4) 設(shè)

F(x)∪(F(x)∩G(x))=F(x),

于是(L,A)=(F,A)，即

命題8 設(shè)

命題9 設(shè)

(F,A),(G,A),(H,A)∈S(A,U),

則下列等式成立

即軟集的并、交運(yùn)算滿足分配律。

證明 下面僅證明等式(D1)成立。設(shè)

則對任意x∈A，有

而

[F(x)∪G(x)]∩[F(x)∪H(x)]，

故(L,A)=(K,A)，即等式(D1)成立。類似地，可以證明等式(D2)成立。

構(gòu)成一個(gè)De Morgan代數(shù)。

命題10 設(shè)(F,A)∈S(A,U)，則下列等式成立

即軟集關(guān)于并、交和補(bǔ)運(yùn)算滿足補(bǔ)余律。

根據(jù)格論中的相關(guān)知識，可知一個(gè)格可以看成是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，同時(shí)也可視為一個(gè)偏序集。如前所述，軟集類S(A,U)關(guān)于軟包含關(guān)系構(gòu)成一個(gè)偏序集，而它關(guān)于并和交運(yùn)算又是一個(gè)分配格。這兩方面可由如下命題聯(lián)系起來。

命題11 設(shè)(F,A),(G,A)∈S(A,U)，則下列條件等價(jià)

故(H,A)=(G,A)，即

定義12[11]一個(gè)(2,2,1,0,0)-型代數(shù)(L,∨,∧,′,0,1)稱為正交格，若它滿足下列條件：

(Q1) (L,∨,∧,0,1)是一個(gè)有界格；

(Q2) 對任意x∈L，有x∨x′=1和x∧x′=0；

(Q3) 對任意x,y∈L，有(x∨y)′=x′∧y′和(x∧y)′=x′∨y′；

(Q4) 對任意x∈L，有(x′)′=x。

由定理2和命題10，可得如下結(jié)論。

定義13[11]一個(gè)正交格(L,∨,∧,′,0,1)稱為正交模格，若它滿足

(Q5) 對任意x,y∈L，有

x≤y?x∨(x′∧y)=y。

定義14[11]一個(gè)格(L,∨,∧)稱為模格，若它滿足稱為模律的條件

(M) 對任意x,y,z∈L，有

x≤y?x∨(y∧z)=y∧(x∨z)。

命題12[11]分配格是模格。

由定理3和命題12，可證軟集類構(gòu)成一個(gè)正交模格。

即條件(Q5)成立。事實(shí)上，設(shè)

由命題12知格S(A,U)滿足模律，那么有

故格S(A,U)滿足條件(Q5)。

若有界分配格(B,∨,∧,′,0,1)滿足補(bǔ)余律，即對任意x∈B，有x∨x′=1和x∧x′=0，則稱(B∨,∧,′,0,1)為布爾代數(shù)[11]。

由前已證，可得如下結(jié)論。

證明 作映射

其中參數(shù)化映射Fμ∶[0,1]→P(U)定義為

Fμ(α)=μα={x∈U|μ(x)≥α}，α∈[0,1]。

(1)Ψ是格同態(tài)。即證對任意μ,v∈F(u)，有

另一方面，有

Fμ∪v(α)=(μ∪v)α=

{x∈U|(μ∪v)(x)≥α}=

{x∈U|μ(x)∨v(x)≥α}

易見

μα∪vα={x∈U|μ(x)∨v(x)≥α},

故H=Fμ∪v。于是有

Ψ(μ∪v)=(Fμ∪v,[0,1])=

類似地，可以證明

(2) Ψ是單射。設(shè)μ,v∈F(U)，使得

Ψ(μ)=Ψ(v)。

下面證明μ=v。事實(shí)上，由Fμ=Fv，可知對任意α∈[0,1]，均有μα=Fμ(α)=Fv(α)=vα。那么，任取x∈U，由命題1得

μ(x)=sup{α∈[0,1]|x∈μα}=

sup{α∈[0,1]|x∈vα}=v(x)，

因此μ=v。

3 結(jié)束語

證明了給定論域上的全體軟集可構(gòu)成正交模格和布爾代數(shù)，指出了給定論域上全體模糊集構(gòu)成的格可嵌入到全體軟集構(gòu)成的格，從格論的角度刻畫了軟集與模糊集之間的內(nèi)在聯(lián)系。與軟集相關(guān)的其它格結(jié)構(gòu)及其在軟計(jì)算、數(shù)據(jù)挖掘和決策分析等領(lǐng)域中的應(yīng)用有待于研究。

[1]MolodtsovD.Softsettheory-firstresults[J].ComputMathAppl, 1999(37): 19-31.

[2]AktaH, ?N.Softsetsandsoftgroups[J].InformationSciences, 2007(177): 2726-2735.

[3]MolodtsovD.TheTheoryofSoftSets[M].Moscow:URSSPublishers, 2004.

[4] 代建華. 粗代數(shù)與三值Lukasiewicz代數(shù)[J]. 計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào), 2007, 30(2): 161-167.

[5]FengF,LiuXY,Leoreanu-FoteaV,etal.Softsetsandsoftroughsets[J].InformationSciences, 2011 , 181 (6), 1125-1137.

[6]LiuXY,FengF,ZhangH.Onsomenonclassicalalgebraicpropertiesofinterval-valuedfuzzysoftsets[J/OL].[2014-09-20].http://www.hindawi.com/journals/tswj/2014/192957.

[7]FengF,LiYM.Softsubsetsandsoftproductoperations[J].InformationSciences, 2013(232): 44-57.

[8]LiuXY,FengF,JunYB.Anoteongeneralizedsoftequalrelations[J].ComputMathAppl, 2012(64): 572-578.

[9]AkramM,DavvazB,FengF.IntuitionisticfuzzysoftK-algebras[J].MathematicsinComputerScience, 2013(7): 353-365.

[10]FengF,AkramM,DavvazB,etal.Attributeanalysisofinformationsystemsbasedonelementarysoftimplications[J].Knowledge-BasedSystems, 2014(70): 281-292.

[11]BurrisS,SankappanavarHP.ACourseinUniversalAlgebra[M].Berlin:Springer, 1981.

[12]YingMS.Atheoryofcomputationbasedonquantumlogic(I)[J].TheoretComputSeiences, 2005(344): 134-207.

[責(zé)任編輯：祝劍]

On lattices of soft sets and fuzzy sets

LIU Xiaoyan

(School of Science, Xi’an University of Posts and Telecommunications, Xi’an 710121, China)

Some algebraic properties of soft sets are investigated in this paper from a lattice-theoretical point of view. It is shown that the class of all soft sets over a given universe can form lattice structures including orthomodular lattices and Boolean algebras. In addition, it is pointed out that the lattice of fuzzy sets can be embedded into the lattice of soft sets, which characterizes some inner connections between soft sets and fuzzy sets based on lattice theory.

soft sets, fuzzy sets, lattices, Boolean algebras, orthomodular lattices

10.13682/j.issn.2095-6533.2015.04.016

2014-10-22

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11301415)；陜西省青年科技新星計(jì)劃資助項(xiàng)目(2014KJXX-73)

柳曉燕(1980-)，女，碩士，講師，從事軟計(jì)算、數(shù)據(jù)挖掘等研究。E-mail: lxy031010@163.com

TP18

A

2095-6533(2015)04-0074-06