王 成

(唐山學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河北 唐山 063000)

用APOS理論分析學(xué)生向量線性相關(guān)性概念的學(xué)習(xí)

王 成

(唐山學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河北 唐山 063000)

介紹了APOS學(xué)習(xí)理論，并以APOS理論以及課堂觀察、學(xué)生訪談為基礎(chǔ)，分析了學(xué)生對向量線性相關(guān)性概念學(xué)習(xí)的發(fā)展過程。

APOS理論；向量線性相關(guān)性；概念認(rèn)知

1 數(shù)學(xué)概念二重性理論

數(shù)學(xué)的概念性知識與程序性知識的區(qū)別曾經(jīng)在個體知識形成的討論中得到廣泛的關(guān)注，并且在有關(guān)知識獲得這個更一般性問題的研究中一度占據(jù)核心地位。在許多學(xué)習(xí)理論中，研究者都強調(diào)了不同類型知識的區(qū)分，例如，Piaget的概念性理解和成功的動作，Tulving的語義記憶(semantic memory)和事件記憶(episodic memory)，Anderson的描述性知識與程序性知識。上世紀(jì)80年代，研究者逐漸開始關(guān)注程序性知識與概念性知識在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的關(guān)系及其發(fā)展。其中Sfard， Dubinsky， Tall等研究者都強調(diào)，許多數(shù)學(xué)概念，若將其作為一個靜態(tài)的實體，那么它就具備對象的特點，若是將其作為一種數(shù)學(xué)運算，則體現(xiàn)了過程的特點[1-4]。一個概念往往兼有這樣的二重性。處理一個非常規(guī)問題，常常需要在過程性思維與結(jié)構(gòu)性思維之間靈活轉(zhuǎn)換。因此他們的有關(guān)理論都稱為數(shù)學(xué)概念二重性(過程-對象)理論。

2 “動作-過程-對象-圖式”理論的分析

Piaget認(rèn)為平衡是認(rèn)知發(fā)展的最根本的動力，從不平衡狀態(tài)重新達到平衡狀態(tài)主要通過反省抽象。Dubinsky以Piaget關(guān)于兒童認(rèn)知發(fā)展的基本觀點[5-6]為基礎(chǔ)，提出數(shù)學(xué)概念發(fā)展的“動作-過程-對象-圖式”(簡稱APOS)理論，探索高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知，迄今已經(jīng)在抽象代數(shù)、微積分、離散數(shù)學(xué)、統(tǒng)計學(xué)等領(lǐng)域進行了多項研究。Dubinsky認(rèn)為，個體的數(shù)學(xué)知識是指個體在社會環(huán)境中通過建構(gòu)、重構(gòu)或組織已有的各種心智結(jié)構(gòu)對數(shù)學(xué)問題情境做出的反應(yīng)。數(shù)學(xué)概念的基本建構(gòu)有三種：動作、過程、對象，并且這些心智結(jié)構(gòu)又以某種方式組織成處理問題情境的圖式。

動作(action)。既包括實際動作也包括抽象化的在思想上展開的動作。是指基于物理的或心智的對象所發(fā)生的轉(zhuǎn)換，這種轉(zhuǎn)換的特征是數(shù)學(xué)理論逐層抽象、系統(tǒng)建構(gòu)的一種表現(xiàn)。個體要在明確的或回憶出的分步指導(dǎo)下才能執(zhí)行操作或運算。即個體的思維至少還部分地受控于被轉(zhuǎn)化的對象，一個動作可能只包含一個步驟。例如，學(xué)生看到函數(shù)y=3x+2，便認(rèn)為這是一個含字母的公式。動作也可能包含多個步驟，但下一步只能由上一步引出。例如，要把一個向量v表示為兩個向量e，f的組合，有的學(xué)生第一步想到先建立一個向量方程：v=xe+yf，有了向量方程接著再將其表示成坐標(biāo)形式，然后再表示成一個二元線性方程組，最后想如何解方程，求出x，y的值。

根據(jù)Von Glasersferd的研究，當(dāng)個體具有了動作圖式就可以：①識別某個情境；②完成與這種情境相關(guān)聯(lián)的活動；③能預(yù)測相同或類似活動的結(jié)果[7]。研究表明，概念圖式(高級圖式)形成困難的一個主要原因是沒有充分意識到動作圖式，注意的只是動作的結(jié)果。

過程(process)。當(dāng)個體能夠反思一個動作圖式時，受外部驅(qū)使的動作逐漸轉(zhuǎn)換為受個體控制的心智運算，并伴隨反復(fù)操作最終趨于較少意識參與的自動化水平，這就是過程轉(zhuǎn)換。從動作向過程的建構(gòu)過程稱為內(nèi)化(interiorization)，它的特征是借助想象完成心智運算，而不需要實際操作。例如，不需要特殊的向量或向量的坐標(biāo)表示等外部刺激，學(xué)生就可以在思想中完成一系列操作，得出上述向量的線性表示問題就是求一個二元線性方程組的解。不僅如此，還可以在頭腦中檢驗許多向量的類似運算過程，得出哪些向量是適合的，哪些向量是不適合的結(jié)論，即過程水平，個體逐漸通過思考所有向量以及所滿足的條件代替對一個特殊向量的檢驗。

過程水平的概念理解表現(xiàn)為在相同或類似的問題情境與結(jié)果之間初步建立起聯(lián)系。一旦學(xué)生建構(gòu)起一個過程，就可能協(xié)調(diào)兩個或更多的過程，成為一個新的過程或者建構(gòu)過程的反演。比如，由一個整數(shù)能被2，3整除，推斷出這個數(shù)能被6整除。又已知M=33×55×7，能推斷出7可以整除M。再比如對函數(shù)而言，首先寫出復(fù)合函數(shù)的表達式，才能計算復(fù)合函數(shù)的值。

對象(object)。當(dāng)個體可以反思應(yīng)用于一個過程的所有運算，并且能看作是一個整體，用更高水平的運算來操作時，一個過程就轉(zhuǎn)換為對象。這個建構(gòu)過程稱為凝聚(encapsulation)。例如，要回答對于群G的某個子群H的左陪集的個數(shù)，或判斷兩個陪集是否相等或比較它們的勢，就需要把陪集作為對象。要計算兩個函數(shù)的和、差的極限或復(fù)合函數(shù)的極限，就要把極限概念作為對象。對象水平的理解是指學(xué)生能抽象出不同數(shù)學(xué)問題情境下實施的過程與結(jié)果之間的本質(zhì)屬性，脫離具體的問題情境預(yù)見活動的結(jié)果。在數(shù)學(xué)中，經(jīng)常還要把一個對象通過解凝聚(de-encapsulate)返回到過程。例如，求兩個函數(shù)和的極限，通常要返回到先求每個函數(shù)的極限，然后再求和式的極限。

對象是認(rèn)知意義上個體的心智對象，對于過程與對象的關(guān)系，Davis曾運用信息加工的觀點形象地說，“當(dāng)?shù)谝淮螆?zhí)行一個程序時，我們要一步一步的進行。……當(dāng)反復(fù)執(zhí)行多次后，程序本身成為一個獨立存在的事物，可以作為一個輸入值或者可以詳細檢查的對象”[8]，這表明從動作向?qū)ο蟮恼J(rèn)知發(fā)展雖然存在于一個共同的基礎(chǔ)上，但是二者具有質(zhì)的差異。凝聚，是指當(dāng)一個物理的或心智的動作在更高的思維平面上被重構(gòu)或重組，從而能夠達到理想的心智運算。

圖式(schemas)。一個數(shù)學(xué)主題經(jīng)常涉及許多動作、過程和對象，這些動作、過程、對象以及有關(guān)圖式連接在一起就形成一個新的圖式。群的概念圖式通常由集合圖式、二元運算圖式、公理圖式組成，其中集合與二元運算的圖式通過公理圖式協(xié)調(diào)在一起。檢驗一個集合上的二元運算是否符合與群有關(guān)的四條公理對應(yīng)的四個過程，可以通過凝聚這四個過程獲得四個對象，這也是公理圖式的一個基本成分。

圖式還可以進一步主題化(thematizing)，成為一個新的對象。Dubinsky認(rèn)為，如果個體能把一個圖式作為一個整體的對象來思考和操作，這個圖式就已經(jīng)實現(xiàn)主題化。例如，當(dāng)需要確定某個集合以及定義在其上的一種二元運算是否構(gòu)成一個群時，群的圖式就主題化為一個對象。類似的，確定一個群可能具有的各種性質(zhì)，或者考慮兩個給定的群是否同構(gòu)都需要先激活相應(yīng)的圖式(主題化)，使之成為一個對象。對象又可以經(jīng)解主題化的過程重新獲得原來圖式中的關(guān)系及要素。主題化的意義是個體通過對圖式進行反思形成一個程序組塊，從而便于在不同的情境下提取。如果一個圖式?jīng)]有主題化，認(rèn)知個體會表現(xiàn)為雖然掌握相關(guān)知識，但遇到相應(yīng)的數(shù)學(xué)的或現(xiàn)實的問題，不能自覺地應(yīng)用它解決。

3 用APOS理論分析學(xué)生對向量線性相關(guān)性概念認(rèn)知的發(fā)展過程

Harel Guershon等提出“線性代數(shù)”教學(xué)的幾何取向，并通過教學(xué)實驗得出采取這種教學(xué)方式有利于高中生以及大學(xué)生對相關(guān)性、向量空間等概念的理解的結(jié)論。本文將探討大學(xué)生學(xué)習(xí)向量線性相關(guān)性概念的過程以及其錯誤概念形成的原因，主要依據(jù)是APOS理論以及筆者在“線性代數(shù)”教學(xué)中的課堂觀察和學(xué)生訪談。

3.1 動作

3.2 過程

(1)過程1——內(nèi)化動作。建構(gòu)程序性理解，即認(rèn)為是求齊次線性方程組有無非零解的過程決定向量組的相關(guān)性，因而運算活動有一定目的性。例如，把判定向量a1，a2，…，an是否線性無關(guān)看作檢驗向量方程x1a1+x2a2+…+xnan=0是否有且只有零解的問題。

(2)過程2——用矩陣?yán)碚撝貥?gòu)過程1。用m維向量a1，a2，…，an的系數(shù)矩陣Am×n的秩與未知元的關(guān)系判定線性方程組AX=0是有唯一一組零解，還是有無數(shù)組解。即當(dāng)r(A)

3.3 對象

對象能把前面的“過程”凝聚為一個整體。當(dāng)學(xué)生對線性相關(guān)性的理解已經(jīng)脫離程序方面而關(guān)注其本質(zhì)屬性，能把相關(guān)性看作一個向量或向量組的特有屬性，即一個向量(組)或者線性相關(guān)，或者線性無關(guān)，建構(gòu)起向量組的行列數(shù)、矩陣的秩、未知元的個數(shù)以及線性方程的個數(shù)之間的關(guān)系，就能用其解釋相關(guān)性的若干性質(zhì)。例如，當(dāng)k>n時，k個n維向量a1，a2，…，ak必線性相關(guān)。例如，判定向量a1，a2，a3，a4的線性相關(guān)性：a1=(6，2，3)，a2=(2，-3，7)，a3=(3，2，0)，a4=(1，-2，3)，因為向量的維數(shù)小于個數(shù)，因此向量線性相關(guān)。

3.4 圖式

所有的動作、過程、對象與已有的向量圖式、矩陣圖式、線性方程組的圖式、線性表示的圖式等，可以形成一個貫通的新圖式，并可以通過主題化形成一個更高層級的對象。例如，當(dāng)學(xué)生認(rèn)識到初等變換不改變向量組的線性相關(guān)性之后，通過同化和順應(yīng)就可以逐步建立與向量空間的維數(shù)、生成集以及生成空間的關(guān)系，形成完整的相關(guān)性概念。例如，維數(shù)的概念使學(xué)生認(rèn)識到在有限維向量空間中，一個無關(guān)向量集合不能“無限制的大”。如果無關(guān)組S={v1，v2，…，vn}生成一個向量空間V，則對V中任意集合，如果向量個數(shù)大于n，則向量集合線性相關(guān)。對于問題“若a1，a2，a3，a4，a5線性相關(guān)，則向量組a1+k1a5，a2+k2a5，a3+k3a5，a4+k4a5，a5是否線性相關(guān)？(ki為任意常數(shù))”，學(xué)生開始時習(xí)慣用定義去證明，但經(jīng)筆者啟發(fā)后，許多學(xué)生可以用初等變換的性質(zhì)給出解釋。

4 幾點分析

第一，“動作-過程-對象-圖式”勾勒的是一個分等級順序發(fā)展的序列，但個體的數(shù)學(xué)概念的發(fā)展并不總是嚴(yán)格遵循這個序列，經(jīng)常表現(xiàn)出相互作用、出現(xiàn)暫時的方向改變、從過程回到動作、從對象回到過程等來來回回的運動現(xiàn)象。

第二，APOS序列主要關(guān)注的是數(shù)學(xué)概念發(fā)展的認(rèn)知機制[9]，即各種心智結(jié)構(gòu)的關(guān)系及其發(fā)展，并非某個數(shù)學(xué)主題內(nèi)容的邏輯分析。一個數(shù)學(xué)概念發(fā)展的APOS序列通常要經(jīng)歷理論分析，以及來自學(xué)生的數(shù)據(jù)分析反饋，然后修正理論分析結(jié)果，并在教學(xué)中不斷循環(huán)檢驗。

第三，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，一般認(rèn)為有兩種典型的認(rèn)知結(jié)構(gòu)：豎向等級結(jié)構(gòu)和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。前者是一種序列動作圖式，可以及時發(fā)生，長期穩(wěn)定地存在，并不斷加強，與其它的動作圖式合并為認(rèn)知聯(lián)結(jié)；后者是多元聯(lián)結(jié)的圖式，這是人類大腦的物理結(jié)構(gòu)所特有的，它以許多認(rèn)知單元為結(jié)點，同時可以獲得許多可能的聯(lián)結(jié)，從而建立更精細、靈活的方式。事實上，APOS序列由這兩種發(fā)展方式組成，即把不同形態(tài)的等級序列(過程-對象)看作不同的認(rèn)知單元，即網(wǎng)絡(luò)上的結(jié)點，等級序列的與象網(wǎng)狀的結(jié)構(gòu)(圖式-概念)共存在一個更強大的結(jié)構(gòu)中。這正是數(shù)學(xué)概念二重性理論的核心。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是再創(chuàng)造再發(fā)現(xiàn)的過程，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極參與其中，不斷激發(fā)他們的智慧，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維能力，從而真正提高數(shù)學(xué)素質(zhì)。

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(責(zé)任編校：夏玉玲)

On Students’ Acquisition of Concepts Concerning Vector Linear Correlation with APOS Theory

WANG Cheng

(Department of Fundamental Science Teaching， Tangshan College， Tangshan 063000， China)

The author of this paper introduces the learning theory of APOS， and then analyzes student’s learning of concepts concerning vector linear correlation through APOS theory， classroom observation， and interviews of students.

learning theory of APOS； vector linear correlation； learning of concepts

O1-0；G642

A

1672-349X(2015)06-0019-03

10.16160/j.cnki.tsxyxb.2015.06.008