邢海芳,楊 晉

(太原理工大學 數(shù)學學院,太原 030024)

高階中立型微分方程非振動解的存在性

邢海芳,楊 晉

(太原理工大學 數(shù)學學院,太原 030024)

運用Banach壓縮映像原理,得到了當系數(shù)p(t)在不同范圍內(nèi)變化時方程非振動解存在的充分條件。文中結論推廣和改進了文獻的相應結果,并給出兩個事例說明結論的適用性。

中立型微分方程;Banach壓縮映像原理;非振動解

設,變系數(shù)高階中立型線性微分方程為

[r(t)[x(t)+p(t)x(t-τ)](n-1)]′+

(1)

式中：n≥2為給定的正整數(shù);p∈C([t0,∞),R+);r∈C([t0,∞),R+);q1∈C([t0,∞)×[a,b],R+);q2∈C([t0,∞)×[a,b],R+),0

最近幾年,已經(jīng)研究了一階、二階和高階中立型微分方程的非振動性。1998年,Kulenovic＇和Had?iomerspahic＇[3]建立了如下二階線性時滯微分方程非振動解存在性的一些充分條件

Q2(t)x(t-σ2)=0 .

2002年,周勇和張寶國[4]將文獻[3]的結果延伸到如下高階線性中立型微分方程

[p(t)x(t-σ)-Q(t)x(t-δ)=0 .

2005年,俞元洪和王宏洲[5]研究了如下二階非線性中立型時滯方程非振動解。

[r(t)[x(t)+p(t)x(t-τ)]′]′+

Q1(t)f(x(t-σ1))-Q2(t)g(x(t-σ2))=0 .

2010年,Candan和Dyhiya[6]研究了如下的一階、二階的分布型偏差變元微分方程非振動解的存在性

式中，k=1,2.

2012年,Candan[7]研究了如下的高階非線性中立型方程非振動解的存在性

[r(t)[x(t)+p(t)x(t-τ)](n-1)]′+

(-1)n[Q1(t)x(t-σ1)-Q2(t)x(t-σ2)]=0 .

2013年,Candan[8]研究了如下的一階非線性中立型方程非振動解的存在性

[[x(t)-p1(t)x(t-τ)]γ]′+

Q1(t)G(x(t-σ))=0 ,

[[x(t)-p1(t)x(t-τ)]γ]′+

筆者給出了式(1)的非振動解的存在性的充分條件。根據(jù)系數(shù)p(t)的范圍給出了4個定理。

通常,如果式(1)的解有任意大的零點,那么稱式(1)的解是振動的，否則稱它的解是非振動的。

1 主要結論

定理1 假設0≤p(t)≤p<1,令

Q1(s)=

(2)

假設

(3)

成立,則式(1)存在非振動解。

A(L1,L2)={x∈Λ∶L1≤x(t)≤L2,t≥t0}.

式中,L1和L2是正數(shù),使得pL2+L1<α

t1≥t0+max{b,d,τ}，

(4)

使得

(5)

(6)

定義算子T∶A→Λ為

由算子T的定義易得,Tx是[t0,∞)上的連續(xù)函數(shù)。對t≥t1和x∈A,根據(jù)(5),得到

由式(6),得到

這說明TA?A.因為A是Λ上的有界子集,下證T是Λ上的壓縮算子。對任意的x1,x2∈At≥tv

|(Tx1)(t)-(Tx2)(t)|≤

p(t)|x1(t-τ)-x2(t-τ)|+

x2(v-ξ)|dξ)dvds+

即 ‖Tx1-Tx2‖≤λ1‖x1-x2‖.

定理2 假設 1

式中,L3和L4是正數(shù),使得p0L3+L4<α

t1+τ≥t0+max{b,d} ，

(7)

使得

(8)

(9)

定義算子T∶A→Λ為

由算子T的定義易得,Tx是[t0,∞)上的連續(xù)函數(shù)。對t≥t1和x∈Λ,根據(jù)式(8),得到

由式(9),得到

這說明TA?A.因為A是Λ上的有界子集,下證T是Λ上的壓縮算子。對任意的x1,x2∈At≥tv

|(Tx1)(t)-(Tx2)(t)|≤

即‖Tx1-Tx2‖≤λ2‖x1-x2‖,

定理3 假設-1

(10)

(11)

定義算子T∶A→Λ為

由算子T的定義易得,Tx是[t0,∞)上的連續(xù)函數(shù)。對t≥t1和x∈Λ,根據(jù)式(10),得到

由式(11)得到

這說明TA?A.因為A是Λ上的有界閉的凸子集,為了應用壓縮映像原理，下證T是Λ上的壓縮算子。對任意的x1,x2∈A,t≥t1,

|(Tx1)(t)-(Tx2)(t)|≤

|p(t)||x1(t-τ)-x2(t-τ)|+

‖x1-x2‖

即‖Tx1-Tx2‖≤λ3‖x1-x2‖.

定理4 假設-∞

其中L7和L8是正數(shù),使得(-1-p0)L7<α<(-1-p)L8,易證A(L7,L8)是Λ的一個有界凸閉子集。可以選擇充分大的t1≥t0,使得

(13)

(14)

定義算子T∶A→Λ為

由算子T的定義易得,Tx是[t0,∞)上的連續(xù)函數(shù)。對t≥t1和x∈Λ,根據(jù)式(13),得到

由式(14),得到

這說明TA?A.因為A是Λ上的有界子集,下證T是Λ上的壓縮算子。對任意的x1,x2∈A，t≥t1，

即‖Tx1-Tx2‖≤λ4‖x1-x2‖.

2 算例

例1 考慮方程

經(jīng)驗證,滿足定理3的條件,則該方程存在一個非振動解。其解圖像如圖1所示。

圖1 例1的解圖像

例2 考慮方程

經(jīng)驗證,滿足定理3的條件,則該方程存在一個非振動解。其解圖像如圖2所示。

圖2 例2的解圖像

與以前的結果相比較,這里的結論將現(xiàn)有的一階二階變系數(shù)中立型微分方程的結果推廣到變系數(shù)高階中立型微分方程中。從方程的形式和解的存在性條件兩方面對文獻[4-6]進行了推廣和改進。特別地,當r(t)=1,n=2時,定理1-4的結論即為文獻[6]中定理1-4的結論。

[1] Erbe L H,Kong Q K,Zhang B G.Oscillation Theory for Functional Differential Equation.New York:Marcel Dekker,1995.

[2] Gy?rl I,Ladas G.Oscillation Theory of Delay Differential Equation with Applications.Oxford：Clarendon Press ,1991.

[3] Kulenovic＇ M R S,Had?iomerspahic＇ S.Existence of Nonoscillatory Solution of Second-order Linear Delay Equation.Math Anal Appl,1998(228):436-448.

[4] Zhou Y,Zhang B G.Existence of Nonoscillatory Solution of Higher-order Neutral Differential Equation with Positive and Negative Coefficients.Appl Math Lett,2002(15):867-874.

[5] Yu Yuanhong,Wang Hongzhou.Nonoscillatory Solutions of Second-order Nonlinear Neutral Delay Equations.Math Anal Appl,2005(311):445-456.

[6] Candan T,Dahiya R S.Existence of Nonoscillatory Solution of First and Second-order Neutral Differential Equation with Distributed Deviating Arguments.Franklin Inst,2010(347)：1309-1316

[7] Candan T.The Existence of Nonoscillatory Solution of Higher-order Nonlinear Neutral Equation.Appl Math Lett,2012(225):412-416.

[8] Candan T.Existence of Nonoscillatory of Solutions of First-order Nonlinear Neutral Differential Equation.Appl Math Lett,2013(26):1182-1186.

[9] Zi Xueping.The Existence of Nonoscillatory Solutions to Higher-order Nonlinear Neutral Differential Equations[J].Jounrnal of Guangdong University of Technology,2013(4):111-115.

(編輯：劉笑達)

The Existence of Nonoscillatory Solutions of Higher Order Neutral Differential Equation

XING Haifang,YANG Jin

(CollegeofMathematics,TaiyuanUniversityofTechnology,Taiyuan030024，China)

The Banach contraction principle was used to obtain new sufficient conditions for the existence of nonoscillatory solutions.It proves that there exist nonoscillatory solutions when the coefficientp(t) changes in different ranges.The results of this paper imorove the conclusion of preuious study.We give two examples to illustrate the applicability of our result.

neutral differential equations;banach contraction principle;nonoscillatory solution

1007-9432(2015)04-0474-06

2015-01-15

國家自然科學基金項目:牙種植技術中的多參數(shù)識別問題的計算方法(11401423)

邢海芳(1990-)，女,山西晉中人,碩士生,主要從事計算數(shù)學研究，(Tel)18334706500

楊晉,教授,(E-mail)addresses:ya_jin102@163.com

O241.81

A

10.16355/j.cnki.issn1007-9432tyut.2015.04.023