王 麗,孫凡果,賀 衎

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,太原 030024)

無限維系統(tǒng)中的量子糾錯(cuò)定理

王 麗,孫凡果,賀 衎

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,太原 030024)

信息在傳輸過程中，經(jīng)常會(huì)受到噪聲的影響。為了避免噪聲的影響，就需要對(duì)量子信息進(jìn)行糾錯(cuò)。 量子糾錯(cuò)定理描述量子信道可糾錯(cuò)的充分必要條件。但目前的糾錯(cuò)定理基于有限維量子系統(tǒng)給出。 本文研究無限維量子糾錯(cuò)定理，給出量子信道具有有限維糾錯(cuò)碼的充要條件。

量子信道;量子糾錯(cuò);編碼

在量子力學(xué)中,一個(gè)量子系統(tǒng)由復(fù)希爾伯特空間H表示。一個(gè)量子態(tài)可以表示成一個(gè)跡為1的正算子ρ.用B(H)表示所有有界線性算子的全體,T(H)表示所有跡類算子的全體。跡范數(shù)定義為

如果ρ2=ρ,則ρ為純態(tài);如果ρ2≠ρ,則ρ為混合態(tài)。用S(H)表示復(fù)希爾伯特空間H上所有態(tài)的全體。通過量子糾錯(cuò)可以避免在量子信息傳輸過程中噪聲和其它不必要的干擾。量子糾錯(cuò)理論發(fā)展成了類似于噪聲信道的經(jīng)典編碼[2-4,7-9]并且一些研究人員開發(fā)出了優(yōu)化的量子糾錯(cuò)理論[5-6,10-12]。

量子信道ε:T(H)→T(H)是一個(gè)完全正的保跡線性映射。在文獻(xiàn)[13]中討論了無限維系統(tǒng)的量子信道表示量子信道ε的算子和表示為

1 主要結(jié)論和證明

設(shè)C是復(fù)希爾伯特空間H的子集, 并且P是H到C上的正交投影, 如果存在一個(gè)量子信道R:T(H) →T(H) 使得

R°ε(ρ)=ρ.

對(duì)所有滿足ρ=PρP的ρ∈T(H)都成立,則C是信道ε上的一個(gè)量子糾錯(cuò)碼(QECC)。下面的定理是主要結(jié)論。

PEi?EjP=αijP.

式中,D=(αij)∈T(l2)是一個(gè)密度算子。

由上述定理,得到下面推論。Mn代表n階矩陣。

PEi?EjP=αijP.

式中:D=(αij)是一個(gè)正矩陣。

為證明定理1,需要下面引理。

則

1)Φ是正的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有|ψ〉∈Η,存在壓縮矩陣Ω=(ωji(|ψ〉))j,i使得

C|ψ〉=Ω(|ψ〉)A|ψ〉 ;

2)Φ是完全正的當(dāng)且僅當(dāng)存在壓縮矩陣Ω=(ωji)j,i∈Β(l2)使得

C=ΩΑ.

式中：A=(A1,A2,…,An,…)T;C=(C1,C2,…,Cn,…)T;ΩΑ=(ωjiI)A=(Ω?I)A.

引理2的證明 定義Φ=Φ1-Φ2,Ψ=Φ2-Φ1。顯然Φ和Ψ是從T(H)到T(K)的線性映射。 我們知道T(H)的對(duì)偶空間是B(H),用Φ*和Ψ*∶B(K)→B(H)分別表示Φ和Ψ的共軛, 則對(duì)任意X∈B(K)

如果Φ1=Φ2, 那么Φ*=0,Ψ*=0, 這說明Φ*和Ψ*是從B(K)到B(H)的完全正的線性映射。 所以存在壓縮算子Ω=(ωij)和Γ=(γji)使得Α=ΩΒ,Β=ΓΑ.

通過引理1,存在復(fù)數(shù)βkj使得

RkEjP=βkjP

對(duì)所有1≤j≤∞,1≤k≤∞都成立。注意

(αijp)=D?P.

因此D≥0.

通過替換

由算子的極分解,存在算子Uk使得

對(duì)任意滿足ρ=PρP的ρ,

所以,C是ε的量子糾錯(cuò)碼。證明完成。

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(編輯：劉笑達(dá))

Theory of Quantum Error-Correction in Infinite-Dimensional Quantum System

WANG Li ，SUN Fanguo，HE Kan

(CollegeofMathematics，TaiyuanUniversityofTechnology，Taiyuan030024，China)

Information is often affected by noise during transmission. In order to avoid the effect of noise,it is needed to correct the quantum information.The current quantum error-correction theory gives the sufficient and necessary conditions for the error-correction of quantum channel in finite dimensional quantum systems. In this paper,the quantum error-correction theory in infinite dimensional quantum systems was studied,and the necessary and sufficient conditions were given for the error-correction of quantum channel with finite dimensional error correcting codes.

quantum channel;quantum error-correction;infinite dimensional quantum systems

1007-9432(2015)04-0480-03

2015-01-10

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助：糾纏破壞信道和量子測(cè)量的代數(shù)結(jié)構(gòu)和幾何特征(11201329)

王麗(1980-)，女，山西運(yùn)城人，博士，主要從事算子代數(shù)與量子力學(xué)研究，(Tel)15035115553

賀衎，男，副教授，(Tel)13803496971

O177.1

A

10.16355/j.cnki.issn1007-9432tyut.2015.04.024