毛維平，李國(guó)林，粘朋雷，尹洪偉

（海軍航空工程學(xué)院，山東煙臺(tái)264001）

雙圓陣模式空間二維解相干*

毛維平，李國(guó)林，粘朋雷，尹洪偉

（海軍航空工程學(xué)院，山東煙臺(tái)264001）

提出一種相干信號(hào)二維波達(dá)方向（Direction of Arrival，DOA）估計(jì)算法——模式空間波達(dá)方向矩陣（Mode-Space DOA Matrix，MS-DOAM）法。算法基于雙圓陣，利用模式空間轉(zhuǎn)換將圓陣轉(zhuǎn)換為虛擬雙平行線陣，計(jì)算虛擬線陣陣元間的互相關(guān)信息，構(gòu)造兩個(gè)等效協(xié)方差矩陣，進(jìn)而構(gòu)造波達(dá)方向矩陣，對(duì)該波達(dá)方向矩陣特征分解，利用得到的特征值與特征矢量求得入射信號(hào)的仰角和方位角。算法無(wú)需二維搜索，實(shí)現(xiàn)估計(jì)參數(shù)自動(dòng)配對(duì)。仿真結(jié)果表明，算法在低信噪比和短快拍條件下，估計(jì)誤差低于虛擬空間平移算法。

陣列天線，均勻圓陣，波達(dá)方向，波達(dá)方向矩陣，相干

0 引言

均勻圓陣具有能共形于彈體外形、方向圖波束形狀魯棒性強(qiáng)、能提供周向方位角信息等優(yōu)點(diǎn)，使其成為彈載、機(jī)載等陣列天線信號(hào)處理的研究熱點(diǎn)。受多徑傳播、電磁干擾的影響，會(huì)產(chǎn)生大量相干或強(qiáng)相關(guān)信號(hào)，使子空間類(lèi)超分辨DOA估計(jì)算法性能下降甚至失效。

基于均勻圓陣的相干信號(hào)DOA估計(jì)算法，主要有陣元域算法［1-4］和變換域算法［5-9］兩類(lèi)。文獻(xiàn)［1-2］利用虛擬內(nèi)插技術(shù)產(chǎn)生多個(gè)均勻圓陣，依據(jù)陣列間旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系估計(jì)DOA，但需要計(jì)算內(nèi)插變換矩陣，優(yōu)化內(nèi)插誤差，增大了運(yùn)算復(fù)雜度，同時(shí)要求較高的信噪比。圓陣虛擬平移算法［3-4］，基于空間平滑原理獲得解相干性能，但虛擬平移需嚴(yán)格約束平移距離，空間平滑增大了數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的計(jì)算量。文獻(xiàn)［5-6］經(jīng)過(guò)Davies變換［7］，把均勻圓陣轉(zhuǎn)換為虛擬線陣，在模式空間中對(duì)虛擬線陣?yán)每臻g平滑算法估計(jì)相干信號(hào)DOA，但空間平滑會(huì)損失陣列孔徑，而且造成噪聲特性變化，不適用于低信噪比場(chǎng)合。文獻(xiàn)［8-9］利用模式空間虛擬線陣數(shù)據(jù)構(gòu)造Toeplitz矩陣或差分矩陣解相干，避免了空間平滑造成的噪聲特性變化和大運(yùn)算量，而且在數(shù)據(jù)量少和信噪比低時(shí)性能良好，但它們都假定入射信號(hào)在陣列平面內(nèi)，即假定仰角已知，僅估計(jì)方位角。

在彈載、機(jī)載陣列天線目標(biāo)定位過(guò)程中，接收的有用數(shù)據(jù)少，信噪比低，而且目標(biāo)可能在空間中的任何位置，不能將仰角設(shè)為定值而僅估計(jì)一維方位角，所以上述算法無(wú)法獲得較好的性能。本文的模式空間波達(dá)方向矩陣法繼承了矩陣重構(gòu)算法低信噪比與短快拍數(shù)據(jù)條件下的優(yōu)良性能。避免空間虛擬平移算法多次求解數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣和二維譜峰搜索帶來(lái)的大運(yùn)算量，與模式空間解相干算法只估計(jì)一維參數(shù)相比，能完成二維參數(shù)聯(lián)合估計(jì)。

1 陣列結(jié)構(gòu)與信號(hào)模型

設(shè)M個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶點(diǎn)源信號(hào)si（t）（i=1，2，…，M）輻射到圖1所示陣元數(shù)均為N的兩個(gè)各向同性且均勻分布的半徑為R的圓形陣列上，不考慮幅相、互耦等誤差影響。（θi，φi）表示第i個(gè)信號(hào)源的來(lái)波方位角和仰角，設(shè)噪聲為加性高斯白噪聲，陣元間噪聲彼此獨(dú)立，且與信號(hào)不相關(guān)。

以子陣1的圓心為參考點(diǎn)，則子陣1的第k個(gè)陣元的輸出信號(hào)表示為：

式中，k=0，1，…，N-1；n1k（t）為子陣1第k個(gè)陣元接收的噪聲；則N個(gè)陣元輸出的矢量形式為：

圖1 雙均勻圓形陣列結(jié)構(gòu)

同理可得，子陣2的N個(gè)陣元輸出為：

利用Davies模式空間轉(zhuǎn)換法［7］，分別將式（2）和式（3）兩個(gè)子圓陣的接收數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為虛擬雙平行線陣的接收數(shù)據(jù)可得：

由式（4）和式（5）可知，兩個(gè)子圓陣相對(duì)于在軸形成的旋轉(zhuǎn)因子Φ（φ）與圓陣的可激發(fā)相位模式數(shù)以及陣元數(shù)均無(wú)關(guān)，所以經(jīng)模式空間轉(zhuǎn)換后，旋轉(zhuǎn)關(guān)系依然存在。

2 算法描述

2.1 構(gòu)造解相干等效協(xié)方差矩陣

定義兩個(gè)互相關(guān)運(yùn)算：

其中，m=-K，…，0，…，K；（·）*表示共軛算子。依據(jù)各陣元噪聲之間、噪聲與信號(hào)之間獨(dú)立性假設(shè)，將式（6）展開(kāi)可得：

同理，式（7）可寫(xiě)為：

其中，bm+K+1（θ，φ）表示B（θ，φ）的第m+K+1行；2表示第一個(gè)虛擬子線陣中心陣元的噪聲功率；；（·）H為共軛轉(zhuǎn)置算子；

利用式（8）和式（9）計(jì)算的數(shù)據(jù)構(gòu)造兩個(gè)等效協(xié)方差矩陣Rxx和Ryx如下：

式（12）與式（8）的不同之處為J-m*（-βi）J0（-βi）和Jm（-βi）J0*（-βi）。由于J-m（-βi）=（-1）mJm（-βi），則對(duì)式（4）或式（5）中的模式空間變換矩陣T進(jìn)行修正

同樣，求得修正的互相關(guān)信息r'xx（m）和r'yx（m），并以式（10）和式（11）的形式構(gòu)造矩陣，假設(shè)構(gòu)造的矩陣以R'xx和R'yx表示。此時(shí)，r'xx（m）=（r'xx（-m））*、r'yx（m）=（r'yx（-m））*，所以經(jīng)過(guò)修正后重構(gòu)的矩陣是厄米特矩陣。定義新的陣列流形矩陣B1（θ，φ）：

其中，⊙表示Hadamard積。式（15）表明，對(duì)（θi，φi）的二維估計(jì)，實(shí)際可以分為兩個(gè)一維估計(jì)，前提是能獨(dú)立地估計(jì)出φi，即式中的βi，這就是引入第二個(gè)子陣（即雙圓陣）的原因，運(yùn)用波達(dá)方向矩陣法［10］可實(shí)現(xiàn)φi的獨(dú)立估計(jì)。

現(xiàn)假設(shè)φi已成功估計(jì)，即J（φ）已知，對(duì)式（15）再作變換

J-1（φ）表示矩陣J（φ）各元素取倒數(shù)。參見(jiàn)文獻(xiàn)［11］，可以證明

式（17）中，I（K+1）×（K+1）是（K+1）×（K+1）階單位陣。以式（17）為例，說(shuō)明式（17）和式（18）能對(duì)相干信號(hào)完全解相干。當(dāng)i≠j時(shí)，φi≠φj，而且φi∈［0，π/2］，由文獻(xiàn)［12］第一類(lèi)bessel函數(shù)性質(zhì)可知，即使Jm（-βi）=Jm（-βj）成立，也有Jn（-βi）≠Jn（-βj），m≠n，所以J（φ）是列滿秩的。同樣，θi≠θj時(shí)，B（θ）列滿秩。由式（9）中的S可以得出，當(dāng)信號(hào)源相干時(shí)，對(duì)角線元素為所有相干信號(hào)功率的疊加，當(dāng)信號(hào)源不相關(guān)時(shí)，對(duì)角線元素為對(duì)應(yīng)信號(hào)的功率。由于信號(hào)不為零，則S為滿秩對(duì)角陣，只與入射信號(hào)個(gè)數(shù)有關(guān)，不受信號(hào)相干與否的影響，所以式（17）和式（18）能對(duì)相干信號(hào)完全解相干。

2.2 運(yùn)算復(fù)雜度分析與算法總結(jié)

本文算法利用矩陣重構(gòu)理論并引入波達(dá)方向矩陣法來(lái)降低運(yùn)算量，多次求協(xié)方差矩陣和二維譜峰搜索帶來(lái)的巨大運(yùn)算量。根據(jù)算法流程，本文算法運(yùn)算量主要由3部分組成：模式空間變換、重構(gòu)矩陣以及波達(dá)方向矩陣法。設(shè)快拍數(shù)為n，K，（K＜N/2）為可激發(fā)的最大相位模式數(shù)，則運(yùn)算復(fù)雜度為O（2n×2K×（N2+1）+3K3）。空間虛擬平移算法運(yùn)算量由計(jì)算解相干協(xié)方差矩陣、特征分解和譜峰搜索3部分構(gòu)成，設(shè)譜峰搜索精度為σ，運(yùn)算復(fù)雜度為O（n×M×N2+N3+360×91×1/σ×N2）。綜上可知本文算法運(yùn)算量小。將本文算法具體步驟歸納如下：

步驟1：將雙圓陣接收的數(shù)據(jù)矢量X（t）、Y（t）依據(jù)式（4）和式（5）轉(zhuǎn)換為模式空間虛擬線陣數(shù)據(jù)；

步驟2：參照式（6）和式（7）的方法，計(jì)算修正的互相關(guān)信息r'xx（m）和r'yx（m）；

步驟3：根據(jù)式（10）和式（11）構(gòu)造修正的等效協(xié)方差矩陣R'xx、R'yx；

步驟4：依據(jù)文獻(xiàn)［10］的波達(dá)方向矩陣法估計(jì)二維來(lái)波方向。

3 數(shù)值仿真與分析

為驗(yàn)證本文方法的有效性，進(jìn)行如下3個(gè)仿真試驗(yàn)。仿真1驗(yàn)證算法的可行性，仿真2和仿真3試驗(yàn)算法性能對(duì)信噪比和快拍數(shù)的敏感程度，并與圓陣空間虛擬平移（UCA-VSS）算法［4］作比較。

仿真1驗(yàn)證算法的可行性。假設(shè)每個(gè)子圓陣陣元個(gè)數(shù)均為15，激勵(lì)模式數(shù)取6，4個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)等功率相干信號(hào)分別從（330°，30°）、（245°，65°）、（140°，40°）、（100°，80°）方向入射到陣列上。固定快拍數(shù)為500次，5 dB、10 dB、20 dB信噪比條件下以及固定信噪比為10 dB，快拍數(shù)為200次、500次、1 000次時(shí)的DOA估計(jì)值如表1所示。表1表明，本文算法能估計(jì)信號(hào)相干時(shí)的二維DOA。

表1 MS-DOAM的二維DOA估計(jì)值（單位：度（°））

仿真2驗(yàn)證算法對(duì)信噪比的敏感程度。仿真模型和入射信號(hào)同仿真1，快拍數(shù)固定為500次，從0到20 dB，步進(jìn)步長(zhǎng)為1 dB，在不同信噪比下分別進(jìn)行200次獨(dú)立仿真實(shí)驗(yàn)，得到本文算法（MS-DOAM）和空間虛擬平移（UCA-VSS）算法方位角與仰角的DOA估計(jì)均方誤差隨信噪比變化情況如圖2和圖3所示。定義DOA估計(jì)均方根誤差（root mean square error，RMSE）如下：

其中，θi為入射信號(hào)i（i=1，2，3，4）的實(shí)際方位角；ij為入射信號(hào)i方位角的第j次估計(jì)值；n為重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)，仰角估計(jì)的均方根誤差定義同理。從圖2、圖3中可以看出，在低信噪比時(shí)，MS-DOAM算法要優(yōu)于UCA-VSS算法，隨著信噪比（SNR）的提高，方位角和仰角估計(jì)性能也逐漸提高，當(dāng)信噪比大于15 dB時(shí)，兩者性能相當(dāng)。這是由于MS-DOAM屬于矩陣重構(gòu)類(lèi)算法，在低信噪比條件下，即具有較好的估計(jì)性能，而空間平滑算法適用于高信噪比場(chǎng)合。值得注意的是，UCA-VSS算法通過(guò)陣列平移解相干，所以空間虛擬平移過(guò)程不造成孔徑損失，而MS-DOAM算法，利用波達(dá)方向矩陣法來(lái)實(shí)現(xiàn)方位角和仰角獨(dú)立估計(jì)，增加了一個(gè)子圓陣，有陣列孔徑損失。

圖2 方位角均方根誤差隨信噪比變化的曲線

圖3 仰角均方根誤差隨信噪比變化的曲線

仿真3驗(yàn)證算法對(duì)快拍數(shù)的敏感程度。仿真模型和入射信號(hào)同仿真1，信噪比固定為10 dB，快拍數(shù)從50次到1 000次，以50次為步進(jìn)步長(zhǎng)，在不同快拍數(shù)時(shí)分別進(jìn)行200次獨(dú)立仿真實(shí)驗(yàn)，均方根誤差定義如仿真2，仿真結(jié)果如下頁(yè)圖4、圖5所示。隨著快拍數(shù)的增加，兩類(lèi)算法估計(jì)均方根誤差逐漸減小，當(dāng)快拍數(shù)大于500次以上時(shí)，其估計(jì)性能基本趨于穩(wěn)定。但即使數(shù)據(jù)快拍大于500次，MS-DOAM算法依舊優(yōu)于UCA-VSS算法，其原因是MS-DOAM算法構(gòu)造的協(xié)方差矩陣，主對(duì)角線上每個(gè)元素的噪聲分量都是參考陣元的噪聲功率，而UCA-VSS算法利用平滑后數(shù)據(jù)求得協(xié)方差矩陣，其主對(duì)角線各元素噪聲分量是各自陣元的噪聲功率，所以MS-DOAM算法能抑制噪聲功率的發(fā)散性。

圖4 方位角均方根誤差隨快拍數(shù)變化的曲線

圖5 仰角均方根誤差隨快拍數(shù)變化的曲線

4 結(jié)論

本文針對(duì)相干信號(hào)波達(dá)方向估計(jì)問(wèn)題，提出雙圓陣模式空間矩陣重構(gòu)解相干的波達(dá)方向矩陣算法。文中將波達(dá)方向矩陣法引入均勻圓陣，僅用一次特征分解，實(shí)現(xiàn)二維波達(dá)方向參數(shù)分離估計(jì)，估計(jì)參數(shù)自動(dòng)配對(duì)，避免二維譜峰搜索。算法具有良好的解相干性能，在低信噪比和少量快拍數(shù)據(jù)條件下，其性能優(yōu)于虛擬空間平移解相干算法。文中給出的仿真算例驗(yàn)證了算法的有效性。

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Two-dimensional De-coherent Mode-space Method Based on UCA

MAO Wei-ping，LI Guo-lin，NIAN Peng-lei，YIN Hong-wei
（Naval Aeronautics and Astronautics University，Yantai 264001，China）

A two-dimensional direction of arrival（DOA）estimation algorithm of coherent signals，called Mode-Space DOA Matrix（MS-DOAM）algorithm，is proposed.The algorithm uses mode-space excitation to transform the UCAs into virtual parallel linear arrays.Then，two equivalent covariance matrices are reconstructed by using cross-correlation information of array elements.A new DOA matrix is reconstructed besed on the two matrices.Eigenvalues and eigenvectors are acquired by performing eigenvalue decomposition of the DOA matrix.According to the eigenvalues and eigenvectors with elevation and azimuth information，the DOA of coherent signals could be estimated.The algorithm requires no parameter alignment and 2-D spectrum peak searching.Computer simulation confirms that the proposed algorithm achieved better performance than UCA-VSS algorithm under scenarios of low SNR and deficient snapshots.

antenna array，uniform circular array，direction of arrival，DOA matrix，coherent

TN911.7

A

1002-0640（2015）01-0019-05

2013-11-15

：2014-02-20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61102165）

毛維平（1986-），男，四川彭山人，博士研究生。研究方向：陣列信號(hào)處理。