李耀紅，汪洪燕，劉 添，楚云云

宿州學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽宿州，234000

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一類分數(shù)階微分方程組邊值問題的正解

李耀紅，汪洪燕，劉 添，楚云云

宿州學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽宿州，234000

利用Krasnosel’skii錐不動點定理,研究了一類非線性分數(shù)階微分方程組邊值問題。將該問題轉(zhuǎn)化為等價的積分邊值問題,結(jié)合其格林函數(shù)形式和性質(zhì),構(gòu)造一個新的錐，獲得了其正解的存在性，并給出了應(yīng)用實例。

正解;邊值問題;分數(shù)階微分方程組;不動點定理

考慮一類非線性分數(shù)階微分方程組邊值問題：

(1)

1 預(yù)備知識

為方便讀者,首先列出本文中有關(guān)分數(shù)階導數(shù)和積分的定義及定理。

定義1[11]函數(shù)y:(0,∞)→的α>0階Riemann-Liouville分數(shù)階積分定義為：

定義2[11]函數(shù)y:(0,∞)→的α>0階Riemann-Liouville分數(shù)階微分定義為：

u(t)=c1tα-1+c2tα-2+…+cntα-n,ci∈，i=1,2,…,n,其中n如定義2所述。

引理2[11]若u(t)∈C(0,1)∩L(0,1)且α>0,其分數(shù)階導數(shù)屬于u(t)∈C(0,1)∩L(0,1),則

其中n如定義2所述。

下面給出分數(shù)階微分方程的格林函數(shù)及性質(zhì)。

引理3[6]令3<α≤4且y(t)∈C(0,1),則方程

(2)

的唯一解是

(3)

其中

(4)

這里G(t,s)稱作邊值問題(2)的格林函數(shù)。

注1 記Gi(t,s)為(4)中α換成αi所得到的格林函數(shù)。

引理4[6]由(4)定義的函數(shù)Gi(t,s)滿足下面的條件：

(1)Gi(t,s)=Gi(1-s,1-t),t,s∈(0,1);

(2)(αi-2)tαi-2(1-t)2s2(1-s)αi-2≤Γ(αi)Gi(t,s)≤Mis2(1-s)αi-2;

(3)Gi(t,s)>0,t,s∈(0,1);

注2 令qi(t)=tαi-2(1-t)2,ki(s)=s2(1-s)αi-2,則

(αi-2)qi(t)ki(s)≤Γ(αi)Gi(t,s)≤Miki(s)。

(1)‖Au‖≤‖u‖,?u∈P∩?Ω1;‖Au‖≥‖u‖,?u∈P∩?Ω2。

(2)‖Au‖≥‖u‖,?u∈P∩?Ω1;‖Au‖≤‖u‖,?u∈P∩?Ω2。

2 主要結(jié)果

T(u,v)=(T1(u,v),T2(u,v))

(5)

其中

(6)

(7)

引理6 若f1,f2∈C([0,1]×××)，則(u,v)為分數(shù)階邊值問題(1)的解，當且僅當(u,v)為T(u,v)=(u,v)的不動點。

證明 利用引理3，類似與文[9]引理4易證。

注3 若(u,v)滿足(1)式且u(t)>0,v(t)>0,?t∈[0,1],則稱(u,v)為(1)的正解。

引理7 算子T:K→K是全連續(xù)的。

證明 先證算子T:K→K。由于引理4知Gi(t,s)≥0,?t,s∈(0,1)且注意到fi≥0,易知Ti(u,v)(t)≥0,?t∈[0,1]。對?(u,v)∈K，由(6)(7)式，利用引理4可知：

(8)

(9)

故有

因此,算子T:K→K，直接利用Ascoli-Arzela定理，易證算子T:K→K是全連續(xù)的。

為方便，引入如下記號：

下文中令r=min{r1,r2},R=max{R1,R2},其中

定理1 若f10,f20∈[0,r)且f1∞,f2∞∈(R,+∞],則邊值問題(1)在K中至少有一個正解。

證明 從引理6知,只需證明算子T在K中至少有一個不動點。由假設(shè)f10,f20,∈[0,r),則存在u1>0和一個充分小的ε1>0使得

fi(t,u,v)≤(fi0+ε1)(u+v),i=1,2,?t∈[0,1],‖(u,v)‖≤μ1

(10)

其中fi0+ε1≤r。

即

‖T(u,v)‖=‖T1(u,v)‖+‖T2(u,v)‖≤‖(u,v)‖,?(u,v)∈?Ω1∩K

(11)

又由f1∞,f2∞∈(R,+∞],則存在l>μ1>0和一個充分小的ε2>0,使得

fi(t,u,v)≥(fi∞-ε2)(u+v),i=1,2,?t∈[0,1],u+v≥l

(12)

因此

‖Τ(u,v)‖=‖Τ1(u,v)‖+‖Τ2(u,v)‖≥‖(u,v)‖,(u,v)∈?Ω2∩Κ

(13)

例1 考慮下列非線性分數(shù)階微分方程組邊值問題(14)。

(14)

這里α1=3.5,α2=3.25,f1(t,u,v)=0.25(1+t)[(u(t)+v(t)2)+10sin(u(t))+v(t))],f2(t,u,v)=0.5(u+v)[200-195(u2(t)+v2(t)+1)-1]。直接計算可知f10=5,f20=8，f1∞=+∞,f2∞=320,利用Matlab計算軟件可得r=8.8055,R=301.8182,則定理1的條件均滿足，因此邊值問題(14)至少有一對正解。

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(責任編輯：汪材印)

10.3969/j.issn.1673-2006.2015.03.023

2014-11-13

安徽省高校自然科學研究重點項目“非線性分析在具有耦合積分邊值條件的分數(shù)階微分方程組中的應(yīng)用”(KJ2014A252)；安徽省大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃項目“分數(shù)階微分方程組模型及應(yīng)用”(201310379049)。

李耀紅(1978-),湖北武漢人,碩士,副教授,主要研究方向:非線性泛函分析。

O177.91

A

1673-2006(2015)03-0087-03