孫 培，劉 凱，楊本朝

(1.信息工程大學(xué)；2.數(shù)學(xué)工程與先進(jìn)計(jì)算國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；3.河南工程學(xué)院數(shù)理科學(xué)系)

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基于排隊(duì)論的城市交通問題分析

孫 培1,2，劉 凱3，楊本朝1,2

(1.信息工程大學(xué)；2.數(shù)學(xué)工程與先進(jìn)計(jì)算國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；3.河南工程學(xué)院數(shù)理科學(xué)系)

城市道路中，交通事故、施工占道等因素會(huì)影響道路橫截面通行能力，從而引起交通堵塞，因此，正確估算被占用的車道對(duì)城市道路通行能力的影響程度就顯得格外重要。就車道被占用的交通問題，用排隊(duì)論的方法進(jìn)行了分析，建立了數(shù)學(xué)模型，給出了通行能力與排隊(duì)長度、上游車流量等的關(guān)系，最后通過仿真驗(yàn)證了模型的正確性。

通行能力；排隊(duì)論；隊(duì)列長度；服務(wù)時(shí)間

1 引 言

由于交通事故、路邊停車、占道施工等因素，車道或道路橫斷面通行能力在單位時(shí)間內(nèi)會(huì)降低。城市道路交通密度大，連續(xù)性強(qiáng)，一條車道被占用，會(huì)影響所有車道的通行能力，即使時(shí)間短，也可能引起車輛排隊(duì)，出現(xiàn)交通堵塞。因此，正確估算車道被占用對(duì)城市道路通行能力的影響程度，將為交通管理部門正確引導(dǎo)車輛行駛、審批占道施工、設(shè)計(jì)道路渠化方案、設(shè)置路邊停車位和設(shè)置非港灣式公交車站等提供理論依據(jù)。

本文針對(duì)車道被占用的交通問題，用排隊(duì)論的方法，詳細(xì)分析了事故發(fā)生路段的車流量、服務(wù)時(shí)間、排隊(duì)長度等信息，深入研究了交通事故所影響的路段車輛排隊(duì)長度與事故橫斷面實(shí)際通行能力、事故持續(xù)時(shí)間、路段上游車流量間的關(guān)系，最后通過仿真驗(yàn)證模型的正確性。

2 模型假設(shè)與說明

(1)由于只研究交通事故占用車道對(duì)交通的影響，因此只考慮四輪及以上機(jī)動(dòng)車、電瓶車的通行情況，其他車輛不予考慮；

(2)由實(shí)際情況知，車輛進(jìn)入事發(fā)路段前，會(huì)選擇自己在下游路口要轉(zhuǎn)向的車道行駛；車輛進(jìn)入事發(fā)路段后，自動(dòng)占滿三個(gè)車道；

(3)假定所有車輛都遵守交通規(guī)則，不存在闖紅燈情況。

3 模型的準(zhǔn)備

交通量觀測時(shí)，應(yīng)采取自然車輛數(shù)計(jì)量，而在統(tǒng)計(jì)分析中，可根據(jù)需要采用自然車輛數(shù)及換算標(biāo)準(zhǔn)車當(dāng)量數(shù)計(jì)量，單位為pcu。

公路交通量換算標(biāo)準(zhǔn)車當(dāng)量數(shù)以小汽車當(dāng)量數(shù)計(jì)算。對(duì)于題目中的問題，將車輛主要分為三種車型，分別為小汽車、電瓶車和大客車，通過查閱文獻(xiàn)可得，小汽車、電瓶車和大客車的換算系數(shù)分別為1、0.5和2。于是，可以將不同車型的交通量換算為同一標(biāo)量，從而車流量的單位統(tǒng)一為pcu/h,換算公式為

標(biāo)準(zhǔn)車當(dāng)量數(shù)=小汽車數(shù)×1+電瓶車數(shù)×0.5+大客車數(shù)×2，為方便表述，下文不區(qū)分“標(biāo)準(zhǔn)車當(dāng)量數(shù)”和“車輛數(shù)”，并默認(rèn)為前者。

4 模型建立與求解

下面我們構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，分析監(jiān)控錄像中事故發(fā)生路段車輛排隊(duì)長度與事故橫斷面實(shí)際通行能力、事故持續(xù)時(shí)間、路段上游車流量間的關(guān)系。首先，由以上的分析知，到達(dá)事發(fā)路段的車流量呈現(xiàn)一定的周期性，所以車流的到達(dá)時(shí)間間隔服從一般分布；其次，一輛車通過事故橫截面的時(shí)間即為服務(wù)時(shí)間，服務(wù)時(shí)間也服從一般分布；最后，事故發(fā)生前的道路為雙向六車道，發(fā)生事故后，單向只有一個(gè)車道可以通行，相當(dāng)于一個(gè)服務(wù)臺(tái)，因此，由排隊(duì)論的知識(shí)，此問題是G/G/1排隊(duì)模型。

4.1 車輛到達(dá)時(shí)間間隔分析

從監(jiān)控錄像中可以看出來，t時(shí)刻到達(dá)事發(fā)路段的車流量數(shù)n(t)由三部分構(gòu)成：從上游路口右轉(zhuǎn)的車流量數(shù)n1(t)，從小區(qū)出來的車流量數(shù)n2(t)，從上游路口直行進(jìn)入事發(fā)路段的車流量數(shù)n3(t)，從而n(t)=n1(t)+n2(t)+n3(t)。從小區(qū)出來和從上游路口右轉(zhuǎn)的車不受紅綠燈限制，所以到達(dá)時(shí)間間隔服從泊松分布，設(shè)其參數(shù)分別為λ1和λ2，Pn(t)為在時(shí)間段[0,t]內(nèi)到達(dá)n輛車的概率，則

從上游直行的車受上游路口紅綠燈影響，所以在一個(gè)紅綠燈周期內(nèi)，到達(dá)時(shí)間間隔服從均勻分布，即每個(gè)周期內(nèi)直行進(jìn)入事發(fā)路段的車流量是相等的。從黃燈時(shí)，未通過停止線的車就不能行進(jìn)了，所以每個(gè)周期內(nèi)車輛通行時(shí)間為綠燈時(shí)間+綠閃時(shí)間=27s，故

4.2 車輛服務(wù)時(shí)間分析

排隊(duì)論中，服務(wù)時(shí)間定義為在忙期內(nèi)相繼離開系統(tǒng)的兩個(gè)顧客的時(shí)間間隔，對(duì)應(yīng)到本問題中，服務(wù)時(shí)間應(yīng)為兩輛相繼通過事故橫截面的時(shí)間差，即一輛標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)量的車通過事故橫截面的平均時(shí)間。由監(jiān)控可以看出，不同的時(shí)刻，服務(wù)時(shí)間不同，當(dāng)車流量較小時(shí)，車輛通過事故橫截面的時(shí)間短；當(dāng)車流量大時(shí)，車輛通過橫截面時(shí)間長。令T(t)代表t時(shí)刻的服務(wù)時(shí)間。

觀察監(jiān)控錄像可知，當(dāng)未堵車時(shí)，車輛都從右車道(即未被占領(lǐng)的車道)通過，車輛通過事故橫截面的時(shí)間與事故發(fā)生前基本一樣；堵車時(shí)，隨著車流密度的增加，車輛會(huì)均勻地占滿三個(gè)車道，然后加塞通過未被占的車道，導(dǎo)致服務(wù)時(shí)間變長。

設(shè)車輛數(shù)較少未持續(xù)堵車時(shí)，右車道標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)量的車通過事故橫截面的平均時(shí)間為t0；當(dāng)發(fā)生持續(xù)堵車時(shí)，其他兩個(gè)車道的車輛要通過加塞通過右車道，令Δt代表從中間車道加塞至右車道使得服務(wù)時(shí)間的增加值，Δt1代表從左車道加塞至中間車道使得服務(wù)時(shí)間的增加值，所以從中間車道經(jīng)過事故橫截面的時(shí)間為t0+Δt，從左車道經(jīng)過事故橫截面的時(shí)間為t0+Δt+Δt1。設(shè)t時(shí)刻總車輛數(shù)為B，再由問題中各車道車輛的比例知，所有車輛經(jīng)過事故橫截面的時(shí)間t總=0.21Bt0+0.44B(t0+Δt)+0.35B(t0+Δt+Δt1)，所以服務(wù)時(shí)間的平均值為

為了簡化模型，可認(rèn)為Δt=Δt1，故T=t0+1.14Δt。

4.3 排隊(duì)長度分析

在沒有發(fā)生持續(xù)堵車時(shí)，我們研究t時(shí)刻道路的實(shí)際同行能力Q(t)、車輛速度v(t)與車流量Ls(t)的關(guān)系。我們?nèi)”O(jiān)控中堵車的路段長度120m為單位長度，則t時(shí)刻120m內(nèi)的車輛數(shù)Ls(t)即為t時(shí)刻事故路段單位長度的車輛密度，所以，由物理學(xué)基本知識(shí)，有

Q(t)=v(t)·Ls(t)

(1)

由實(shí)際生活中的經(jīng)驗(yàn)知，速度和密度之間存在密切關(guān)系，當(dāng)?shù)缆飞宪囕v增多，車流密度加大時(shí)，司機(jī)就被迫降低車速。1935年，Greenshields通過大量觀測和統(tǒng)計(jì)分析，得出了車速與密度之間的一個(gè)線性模型

v(t)=vf(1-Ls(t)/Lj)

(2)

其中vf是車流量為0時(shí)的車速，即理論上的最高車速，一般取60 km/h;Lj是速度為0時(shí)的密度，稱為阻塞密度，一般城市道路的阻塞密度為110輛/km,即133輛/120 m。

將(2)式代入(1)式中，得到t時(shí)刻道路的實(shí)際通行能力與隊(duì)長的關(guān)系

圖1 實(shí)際通行能力與時(shí)間的關(guān)系

5 問題的仿真

我們依據(jù)監(jiān)控錄像，對(duì)此問題進(jìn)行仿真，步驟如下。

第一步，從監(jiān)控中統(tǒng)計(jì)一些數(shù)據(jù)信息，例如道路長度M=240 m,事故持續(xù)時(shí)間T=18 min,車輛進(jìn)入事發(fā)路段的平均速度v=8.5 m/s，兩輛車車頭的距離6.22 m。

第二步，將車輛轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)量的車，并產(chǎn)生泊松隨機(jī)數(shù)。把這些泊松隨機(jī)數(shù)設(shè)置成車輛右拐泊松參數(shù)和車輛進(jìn)出小區(qū)參數(shù)。

第三步，生成均勻分布，安排直行車輛；有第二步產(chǎn)生的參數(shù)安排右拐車輛和進(jìn)出小區(qū)車輛。

第四步，以10 s為間隔進(jìn)行仿真，中間加入車輛加塞信息作為擾動(dòng)。

第五步，輸出仿真結(jié)果，如圖2所示。

圖2 仿真結(jié)果

從圖2可以看出，車輛排隊(duì)長度也呈現(xiàn)上下浮動(dòng)，以60 s為一周期，車隊(duì)都呈現(xiàn)先增加后減少的趨勢(shì)，體現(xiàn)了上游紅綠燈的周期性，排隊(duì)的最長長度在123 m左右，與真實(shí)情況符合地較好。

6 結(jié)束語

本文用排隊(duì)論的方法，分析了車道被占用時(shí)對(duì)城市道路通行能力的影響程度，深入研究了交通事故所影響的路段的車輛排隊(duì)長度與事故橫斷面實(shí)際通行能力、事故持續(xù)時(shí)間、路段上游車流量間的關(guān)系，并通過仿真驗(yàn)證了模型的正確性，與實(shí)際情況相吻合。將本文中的模型和結(jié)論進(jìn)行適當(dāng)推廣，可以用于研究高速公路等不同交通環(huán)境下因交通事故、路邊停車、占道施工等因素，導(dǎo)致車道或道路橫斷面通行能力在單位時(shí)間內(nèi)降低的現(xiàn)象，并為采取有效措施解決這些問題提供參考。

[1] 城市道路工程設(shè)計(jì)規(guī)范[EB/OL]. http://wenku.baidu.com/view/d923118acc22bcd126ff0ccb.html.

[2] 邵敏華，邵顯智，孫立軍. 對(duì)城市道路通行能力定義方法的探討[J].交通與計(jì)算機(jī)，2005，6(23):68-71.

[3] 姜啟源，等.《數(shù)學(xué)模型》(第四版)[M].北京：高等教育出版社，1987.

[4] 韓中庚.《數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用》(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2008.

2015-02-11

孫培(1982-)，女，河南平頂山人，講師，研究方向：數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用。

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1008-3383(2015)11-0173-02