張艷紅，劉永明

(1. 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350116;2. 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海 200062)

反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)全局解的一致有界性和收斂性

張艷紅1，劉永明2

(1. 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350116;2. 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海 200062)

利用Gagliardo-Nirenberg不等式估計(jì)拋物型系統(tǒng)(P)的解不依賴時(shí)間的H1范數(shù)有界，從而得到系統(tǒng)的全局解及其一致有界性，最后得解的收斂性.

反應(yīng)擴(kuò)散; 全局解; 一致有界性; 收斂性

0 引言

考慮以下的拋物型系統(tǒng):

1 預(yù)備知識(shí)

引理1[2]若函數(shù)f∈H1([0,1]),則存在常數(shù)c>0,使得

其中:

證明參見文[8]的定理10.1

推論1 若函數(shù)u∈H1([0,1]),則存在正常數(shù)c,c*,c**,使得

證明 取n=1,m=1,j=0,r=2,q=1,滿足定理2的條件(2),即得(3)和(4)式. 取n=1,m=1,j=0,r=2,q=2,滿足定理2的條件(1),即得(5)和(6)式.

注 由式(6)就有

引理2 對(duì)每一函數(shù)u∈H2([0,1]),且ux(0)=ux(1)=0,則有

對(duì)每一函數(shù)u∈H3([0,1]),且ux(0)=ux(1)=0,則有

證明 利用給定的邊界條件和H?lder不等式有

即得(8)式成立. 從(8)式有,

即得(9)式成立.

在不等式兩邊同乘以ec4t,再在(t0,t)上對(duì)兩邊同求積分得:

則

2 主要結(jié)果

2.1 全局解的存在性及其一致有界性

M=M(m0,Ei,ai,bi,ci,di,αij)>0

M*=M*(m0,Ei,ai,bi,ci,di,αij)>0 (i,j=1,2,3),(t>0)

max{u(x,t),v(x,t),w(x,t):(x,t)∈[0,1]×(0,+∞)}≤M*

故對(duì)每一t>0有

第一步 在(P)的第三式兩邊同乘以w,再在[0,1]上求積分得

故對(duì)每一t>0有

第二步 在(P)的第一式兩邊同乘以u(píng),再在[0,1]上求積分得

由式(1),(10)得

所以

類似地,也有

在式(P)的第三式兩邊同乘以-wxx,再在[0,1]上求積分得

其中:

所以

式(12)+(13)+(14)得

對(duì)充分小的ε,由式(3)和(8)得

故對(duì)每一t>0 有

第三步在式(P)的第一式兩邊同乘以-uxx,再在[0,1]上求積分得

其中:

根據(jù)式(4)

所以,

對(duì)式(P)的第三式求x的二階導(dǎo)數(shù),再兩邊同乘以wxx,而后在[0,1]上求積分得

其中:

所以,

由式(16)+(17)+(18)得

對(duì)充分小的ε,由式(8)和(9)得,

故對(duì)每一t>0,有

2.2 全局解的收斂性

定理4 設(shè)u0,v0,w0∈H2([0,1]),且系統(tǒng)(P)滿足條件:

①a1c2d3+a2c3d1+a3c1d2>a1c3d2+a2c1d3+a3c2d1

a1b3d2+a2b1d3+a3b2d1>a1b2d3+a2b3d1+a3b1d2

a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2>a1b3c2+a2b1c3+a3b2c1

b1c2d3+b2c3d1+b3c1d2>b1c3d2+b2c1d3+b3c2d1

其中：

fi=ai-biu-civ-diw，且

則

由條件(2),存在如下δi,

式(20)被積函數(shù)的其他項(xiàng)也有類似上式成立,并與上式相加得

由條件(3),則有

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(責(zé)任編輯： 林曉)

Uniform boundedness and convergence of global solutions to reaction-diffusion system

ZHANG Yanhong1,LIU Yongming2

(1. College of Mathematics and Computer Science,Fuzhou University,Fuzhou,Fujian 350116,China;2. School of Science & Engineering ,East China Normal University,Shanghai 200062，China)

Applying Gagliardo-Nirenberg type inequalities,we estimate the boundness ofH1-norm to the solutions which independ on time. Thus we establish global solutions to (P) and their uniform boundness,finally we prove the convergence with some more certain conditions.

reaction-diffusion; global solutions; uniform boundness; convergence

2013-06-19

張艷紅(1976-),副教授，主要從事微分方程研究，732143017@qq.com

福州大學(xué)科技發(fā)展基金資助項(xiàng)目(001314)

10.7631/issn.1000-2243.2015.05.0587

1000-2243(2015)05-0587-07

O175

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