施春玲 ，王逸勤 ，陳育櫟

(1. 福州大學(xué)至誠學(xué)院,福建 福州 350002； 2. 福建教育學(xué)院,福建 福州 350002)

一類反饋控制捕食-食餌系統(tǒng)平衡點(diǎn)的全局吸引

施春玲1，王逸勤2，陳育櫟1

(1. 福州大學(xué)至誠學(xué)院,福建 福州 350002； 2. 福建教育學(xué)院,福建 福州 350002)

研究一類多時(shí)滯Lotka-Volterra捕食-食餌系統(tǒng),通過構(gòu)造多個(gè)Lyapunov函數(shù),建立捕食-食餌系統(tǒng)正平衡點(diǎn)的全局吸引的充分性條件. 并進(jìn)一步證明了當(dāng)食餌種群絕滅,有其它食物來源的捕食者也能穩(wěn)定在某個(gè)值.

捕食-食餌系統(tǒng)； 平衡點(diǎn)； 時(shí)滯； 全局吸引

1 引言及預(yù)備知識(shí)

考慮以下Lotka-Volterra捕食-食餌系統(tǒng):

其中：x(t)，y(t)分別表示食餌，捕食者在時(shí)刻t的種群密度;r1>0，r2>0分別表示食餌的內(nèi)稟增長率和捕食者有其他食物來源的內(nèi)稟生長率;aii>0，(i=1，2)表示種內(nèi)作用系數(shù);aij>0，(i≠j=1，2)表示種間作用系數(shù)，τ1>0，τ2>0分別表示追捕時(shí)間和捕食者的成熟期.

對于系統(tǒng)(1)，當(dāng)r2<0時(shí)，表示捕食者沒有其他食物，以食餌為唯一的食物來源，文獻(xiàn)[1]討論了正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及局部Holf分支，在此基礎(chǔ)上用等變拓?fù)淅碚摻⒁话愕姆汉⒎址匠痰娜址种? 還有許多學(xué)者[2-7]對系統(tǒng)(1)或者其特殊形式解的持久性、周期性、或是Holf分支等做了大量工作. 但對系統(tǒng)(1)正平衡點(diǎn)和邊界平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的研究至今尚未見報(bào)道，于是我們假設(shè)τ=max{τ1，τ2}，φ(θ)，φ(θ)在[-τ，0]上是連續(xù)函數(shù)，系統(tǒng)(1)滿足初始條件

假設(shè):

有以下引理：

引理1 若條件(H1)成立，容易得到系統(tǒng)(1)有唯一個(gè)正的平衡點(diǎn)(x*，y*)，其中，

2 主要結(jié)論

定理1 若條件(H1)和(H2)成立，則系統(tǒng)(1)的唯一正平衡點(diǎn)(x*，y*)是全局漸近穩(wěn)定的.

證明 作Lyapunov函數(shù)

所以由系統(tǒng)(1)得到，

所以

定義V(t)=V1(t)+V2(t). 由式(6)和(7)得：

所以從式(8)容易得到

初始條件(2)和引理2意味著存在一個(gè)M>0，對所有的t∈R，0

所以V(T)有界. 因此由式(10)得知:

證明 條件(H3)成立，所以總存在常數(shù)α>0，β>0使得

所以存在常數(shù)ε>0，使得

令

兩邊同時(shí)求導(dǎo)

因此，由式(13)、(14)和a11α+βa21>0 ，得到W′(t)≤-εW(t).從0 到t進(jìn)行積分，得到

同定理1的證明，存在M>0使得0

另一方面，

綜合式(15)和(17)，可以得到

M-βexp(-βa21Mτ2-αa12Mτ1)xα(t)≤W(t)≤W(0)exp(-εt)

所以

xα(t)≤Mβexp(βa21Mτ2+αa12Mτ1)W(0)exp(-εt)

即

所以

與定理1的證明類似，存在M>0使得0

定義M(t)=M1(t)+M2(t). 由式(20)和(21)得：

從T→t對式(22)兩邊同時(shí)積分，

3 數(shù)值模擬

例1 考慮以下時(shí)滯的捕食-食餌系統(tǒng)

例2 若捕食-食餌系統(tǒng)系數(shù)滿足

圖1 全局漸近穩(wěn)定動(dòng)力學(xué)行為

圖2 食餌種群絕滅的動(dòng)力行為

[1] 宋永利，韓茂安，魏俊杰.多時(shí)滯捕食-食餌系統(tǒng)正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及全局Hopf分支[J].數(shù)學(xué)年刊，2004，25A(6): 783-790.

[2] 王東達(dá)，孫紀(jì)方，沈景清. 具時(shí)遲Volterra方程的周期解分歧現(xiàn)象[J]. 數(shù)學(xué)年刊，2001，22A(6): 773-782.

[3]ShiCL，LiZ，ChenFD.ExtinctioninnonautonomousLotka-Volterracompetitivesystemwithinfinitedelayandfeedbackcontrols[J].NonlinearAnalRealWorldAppl，2012，13: 2 214-2 226.

[4]LiZ，HanMA，ChenFD.InfluenceoffeedbackcontrolsonanautonomousLotka-VolterraCompetitivesystemwithinfinitedelays[J].NonlinearAnalRealWorldAppl，2013，14: 402-413.

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[6]HeX.Stabilityanddelaysinapredator-preysystems[J].JMathAnalAppl，1996，108: 355-370.

[7]ChenLJ，ChenFD.GlobalstabilityofaLeslie-Gowerpredator-preymodelwithfeedbackcontrols[J].ApplMathLett，2009，22: 1 330-1 334.

[8]GopalsamyK.Stabilityandoscillationsindelaydifferentialequationsofpopulationdynamics[M].Dordrecht:KluwerAcsdemic，1992.

(責(zé)任編輯： 鄭美鶯)

Global attractivity of the equilibrium point in a predator-prey system with several delays

SHI Chunling1,WANG Yiqin2,CHEN Yuli1

(1. Zhicheng College,Fuzhou University,Fuzhou,Fujian 350002,China；2. Fujian Institute of Education,Fuzhou,Fujian 350002,China)

We study a Lotka-Volterra predator-prey system with several delays. By using the method of multiple Lyapunov functionals,we obtain the sufficient conditions that the positive equilibrium point of predator-prey system is the global stability. Furthermore,under other conditions we establish that the prey is tending to zero while the predator who has other foods will stabilize at a certain solution of a logistic differential equation.

predator-prey system； equilibrium point； delay； global attractivity

2013-06-18

施春玲(1979-),副教授,主要從事常微分方程及生物數(shù)學(xué)方向研究，clshi000@163.com

福建省教育廳科技資助項(xiàng)目(JA13361)；福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015J01012)

10.7631/issn.1000-2243.2015.05.0582

1000-2243(2015)05-0582-05

O175.14

A