田 英,佘 陽

(1.佛山科學技術(shù)學院 機械與電氣工程學院,廣東 佛山 528000;2.廣東南車軌道交通車輛有限公司，廣東 江門 529000)

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部分狀態(tài)信息下的截尾數(shù)據(jù)分析

田 英1,佘 陽2

(1.佛山科學技術(shù)學院 機械與電氣工程學院,廣東 佛山 528000;2.廣東南車軌道交通車輛有限公司，廣東 江門 529000)

針對暗含部分狀態(tài)信息的類截尾數(shù)據(jù)在可靠性建模中的分析與處理問題，提出等失效數(shù)據(jù)法。該方法通過給類截尾數(shù)據(jù)增加一個代表的剩余壽命，使其轉(zhuǎn)換為等失效數(shù)據(jù)，代表的剩余壽命值可能是一個固定值或是與平均剩余壽命成一定比例的值，對這兩種情況分別引入中間變量表示暗含信息，由極大似然法得出最優(yōu)中間變量和分布參數(shù)，通過實例分析驗證了該方法的有效性。

類截尾數(shù)據(jù)；部分狀態(tài)信息；代表的剩余壽命；預防維修；中間變量

截尾數(shù)據(jù)在可靠性領(lǐng)域中普遍存在，其主要特征是不完整性。右截尾數(shù)據(jù)是典型的不完整數(shù)據(jù)，指在數(shù)據(jù)收集的時間窗口內(nèi)，只知道失效時間大于當前觀察到的運行時間的數(shù)據(jù)[1]，由于這種觀察是隨機的，因此這種數(shù)據(jù)除了知道系統(tǒng)的工作狀態(tài)外無任何其他狀態(tài)信息。然而，有些截尾數(shù)據(jù)卻隱含某些狀態(tài)信息，例如，預防維修活動中，元件被檢測到即將失效而進行預防替換時產(chǎn)生的截尾數(shù)據(jù)，它不是隨機右截尾數(shù)據(jù)，且不能表示元件的壽命，但卻隱含元件不久將失效的重要信息。為了把這類數(shù)據(jù)與隨機右截尾數(shù)據(jù)區(qū)分開，筆者稱其為類右截尾數(shù)據(jù)。

令t+表示截尾數(shù)據(jù)，如果t+為隨機右截尾數(shù)據(jù)時，將其試驗到失效，元件壽命可表示為t′=t++m(t+)，其中m(t+)為平均剩余壽命(mean residual life,MRL)；如果t+為類右截尾數(shù)據(jù)時，由于元件即將失效，則其實際失效時間可能遠小于t′。因此，在可靠性分析與建模中，不能忽略這些重要的狀態(tài)信息而僅簡單地把這類數(shù)據(jù)等同于隨機截尾數(shù)據(jù)或失效數(shù)據(jù)。為有效合理地應用包含部分狀態(tài)信息的截尾數(shù)據(jù)，筆者提出等失效數(shù)據(jù)法對類截尾數(shù)據(jù)進行分析，并通過實例分析來驗證該方法的合理性與有效性。

1 等失效數(shù)據(jù)法

1.1 基本思想

等失效數(shù)據(jù)法的基本思想是在類截尾數(shù)據(jù)上增加一個代表的剩余壽命(representative residual life,RRL)，把類截尾數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為等失效數(shù)據(jù)，確定RRL值包含兩種情況：①是一個固定值;②是與MRL成一定比例的值。對這兩種情況分別引入一個中間變量來表示隱含的部分狀態(tài)信息，應用極大似然法和Excel的“規(guī)劃求解”工具可快速而精確地求得中間變量和分布參數(shù)。

(1)

式中,δj表示RRL，若δj被指定，則可根據(jù)極大似然估計法來求得各模型參數(shù)。

(2)

式中: f(t)為概率分布函數(shù)；θ為其參數(shù)集。根據(jù)δj的大小，可分為兩種特殊情況：

(1) δj=0，即截尾數(shù)據(jù)被視為失效數(shù)據(jù)，這時將低估產(chǎn)品壽命。

顯然，δj值應居于兩種特殊情況之間，即：

(3)

1.2 等失效數(shù)據(jù)法1

假設維修工程師對某元件代表的剩余壽命有一個粗略參考值，元件運行到某個時間后，如果估計的剩余壽命小于該參考值，則對元件執(zhí)行預防替換；否則，元件繼續(xù)運行。設δ為一個比參考值稍小的固定值，則類截尾數(shù)據(jù)可由式(4)轉(zhuǎn)換為等失效數(shù)據(jù)：

(4)

1.3 等失效數(shù)據(jù)法2

(5)

2 實例分析

2.1 數(shù)據(jù)背景

筆者所用數(shù)據(jù)引自文獻[4]，如表1所示，表示在3種不同氣壓z下壓力表的壽命時間t，包括元件失效替換時間和預防替換時間(帶“+”號值)，從表1可以看出，氣壓越高元件壽命越短。

表1 相應氣壓下壓力表的壽命

在進行可靠性分析建模時，文獻[4-5]均假定預防替換恰好是在元件即將要失效時進行的，因此都是把預防替換的截尾數(shù)據(jù)當成失效數(shù)據(jù)處理，顯然這將低估元件的壽命，筆者將使用等失效數(shù)據(jù)法重新分析這些數(shù)據(jù)。

2.2 分布模型

表1的數(shù)據(jù)中包含協(xié)變量z，令zi=2+i(i=1,2,3)表示3種氣壓，Ti為氣壓zi下的元件壽命。為了方便分析，假定T1,k1T2,k2T3為獨立同分布的隨機變量，其中k1,k2為待估“加速因子”，滿足1

(1)Ti均服從同一類分布。

(2)Ti各分布函數(shù)中形狀參數(shù)一致，尺度參數(shù)不一致。

(3)對于等失效數(shù)據(jù)法1，令δ=δ(z1)，有：

δ(zi)=δ(z1)/ki-1,1≤i≤3,k0=1

(6)

為了確定元件合理的壽命分布，視類截尾數(shù)據(jù)為失效數(shù)據(jù)，則壓力表失效數(shù)據(jù)的對數(shù)似然函數(shù)可表示為：

(7)

在元件可靠性分析中，威布爾分布、伽馬分布、正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布應用十分廣泛，故選擇它們作為備選的壽命分布模型[6]。根據(jù)各分布函數(shù)的特性可知，威布爾分布和伽馬分布的形狀參數(shù)β獨立于z，但是尺度參數(shù)η的大小與z有關(guān)；正態(tài)分布中ρ=μ/σ獨立于z，但μ的大小與z有關(guān)；對數(shù)正態(tài)分布的σl獨立于z，但μl的大小與z有關(guān)。因此，對于4類分布模型，式(7)包含了4個獨立參數(shù)。

通過Excel的“規(guī)劃求解”工具使ln(L)值最大，可得到各分布模型的參數(shù)值，如表2所示，根據(jù)似然函數(shù)值ln(L)的大小，可知對數(shù)正態(tài)分布模型是最佳的擬合模型。

表2 各模型的分布參數(shù)

2.3 對數(shù)正態(tài)分布的特性

設隨機變量t服從對數(shù)正態(tài)分布，其對數(shù)均值為μl，對數(shù)標準差為σl，則對數(shù)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)可表示為：

F(t)=Φ[ln(t);μl,σl]

(8)

令：

(9)

由式(9)可以看出，1/σl類似于威布爾分布的形狀參數(shù)β，eμl類似于威布爾分布的尺度參數(shù)η。因此，假定1/σl和μl分別為對數(shù)正態(tài)分布的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)。則對數(shù)正態(tài)分布的均值和標準偏差分別可表示為[7]：

(10)

其平均剩余壽命為：

(11)

式中：Φ(w;σl,1)為平均值為σl，標準差為1的正態(tài)分布函數(shù)；R(t)為可靠性函數(shù)。

由于氣壓zi下的平均壽命μi(1≤i≤3)與“加速因子”的關(guān)系為μ1/μ2=k1，μ1/μ3=k2，則對數(shù)正態(tài)分布暗含如下關(guān)系：

μl,2=μl-ln(k1),μl,3=μl-ln(k2)

(12)

2.4 兩種特殊情況的分析

δj包含兩種特殊情況，即把類截尾數(shù)據(jù)當成失效數(shù)據(jù)或當成隨機截尾數(shù)據(jù)。兩種情況均可用極大似然法估計參數(shù)。情況(1)可根據(jù)式(7)直接由密度函數(shù)得到似然函數(shù)，而情況(2)中截尾數(shù)據(jù)的似然函數(shù)則是可靠性函數(shù)，即：

(13)

兩種情況下的參數(shù)特性值如表3所示，其中μi(1≤i≤3)為氣壓zi下壓力表的平均壽命，兩種結(jié)果對比可知兩者形狀參數(shù)一致，只是平均壽命不同，但相差不大，這說明該實例樣本的截尾度不大。

表3 關(guān)于函數(shù)z的參數(shù)特性值

2.5 等失效數(shù)據(jù)法分析

根據(jù)兩種等失效數(shù)據(jù)法可求得參數(shù)特性值如表4所示。其中pi(1≤i≤3)為氣壓zi下RRL與MRL的比值，δ1為氣壓z1下的RRL。方法1中δ1是中間變量，方法2中p=pi是中間變量。

表4 等失效數(shù)據(jù)法的參數(shù)特性值

由表4結(jié)果可得出如下結(jié)論：

(1)兩種方法均滿足pi∈(0,1)，表明存在最優(yōu)中間變量，且其提供了關(guān)于RRL的信息。

(2)由對數(shù)似然值ln(L)的大小可知等失效數(shù)據(jù)方法2優(yōu)于方法1。

(3)兩種方法的結(jié)果相吻合。

2.6 兩種參數(shù)估計法的對比分析

當截尾數(shù)據(jù)被視為隨機截尾數(shù)據(jù)時，可用兩種方法進行參數(shù)估計，第一種是當p=1時，求式(2)的極大對數(shù)似然函數(shù)，即EM算法，第二種是極大似然法(maximum likelihood method,ML算法)，此時截尾數(shù)據(jù)子集的似然函數(shù)是可靠性函數(shù)，見式(13)。表5為兩種方法所得參數(shù)，結(jié)果表明，形狀參數(shù)完全不同，且ML算法所得壽命估值大于EM算法，這可能是對數(shù)正態(tài)分布有重右尾性質(zhì)的緣故。

表5 兩種估計方法的參數(shù)特性值

圖1為3種情況下的密度函數(shù)曲線，曲線1為類截尾數(shù)據(jù)被視為失效數(shù)據(jù);曲線2為類截尾數(shù)據(jù)被當成隨機截尾數(shù)據(jù)，且參數(shù)估計是用極大似然法;曲線3為根據(jù)等失效數(shù)據(jù)法2,當p=0.446 5時所得。

圖1 3種情形下的密度函數(shù)曲線

由圖1可知，等失效數(shù)據(jù)法所得概率密度函數(shù)曲線居于兩種特殊情況之間。

3 結(jié)論

筆者定義了類截尾數(shù)據(jù)，引入了代表的剩余壽命RRL來處理可靠性建模中的類截尾數(shù)據(jù)，并提出了兩種確定RRL的等失效數(shù)據(jù)法，一種是以一個固定值作為RRL，另一種是以與平均剩余壽命MRL成一定比例的值作為RRL。筆者通過實例分析了這兩種方法，并由對數(shù)似然值可知方法2優(yōu)于方法1，兩種方法均引入一個中間變量表示數(shù)據(jù)隱含的狀態(tài)信息，實例證實了存在最優(yōu)中間變量，且通過分析發(fā)現(xiàn)：①由預防維修產(chǎn)生的截尾數(shù)據(jù)被視為失效數(shù)據(jù)或隨機截尾數(shù)據(jù)時，將低估或高估產(chǎn)品壽命。②由EM算法所得的參數(shù)估計結(jié)果可能與ML算法所得結(jié)果不同。

[1] 蔣仁言.威布爾模型族:特性、參數(shù)估計和應用[M].北京：科學出版社，1998: 8-20.

[2] DEMPSTER A P, LAIRD N M, RUBIN D B. Maximum likelihood from incomplete data via the EM algorithm [J]. J R Stat Soc, 1977,39(B1):1-37.

[3] JIANG R, JARDINE A K S. Composite scale modeling in the presence of censored data[J]. Reliability Engineering and System Safety,2006(91):756-764.

[4] LOVE C E, GUO R. Using proportional hazard modeling in plant maintenance [J]. Quality & Reliability Engineering International, 1991(7):7-17.

[5] JIANG R, JARDINE A K S. Health state evaluation of an item: a general framework and graphical representation[J]. Reliability Engineering and System Safety, 2008(93):89-99.

[6] JIANG R. A trade off BXlife and its applications[J]. Reliability Engineering and System Safety, 2013(113):1-6.

[7] WANG W B. An overview of the recent advances in delay-time-based maintenance modeling [J]. Reliability Engineering & System Safety,2012(106):165-178.

TIAN Ying:Experimentalist; School of Mechanical & Electrical Engineering, Foshan University, Foshan 528000, China.

[編輯：王志全]

Analysis of Censored Data with Partial Condition Information

TIANYing,SHEYang

An equivalent failure data approach was presented to analyze the quasi-censored data which implicitly contain the condition information in reliability modeling. The approach transformed a censored observation into an equivalent failure observation by adding a representative residual life to the censored observation. The representative residual life can be a fixed quantity or proportional to the mean residual life. In each case, an intermediate variable which represents the condition information was introduced. The intermediate variable and distribution parameters were simultaneously estimated using the maximum likelihood method. The effectiveness of the approach was illustrated by a real-world example.

Quasi-censored data; partial condition information; representative residual life; preventive maintenance; intermediate variable

2015-03-10.

田英(1986-)，女，湖南婁底人，佛山科學技術(shù)學院機械與電氣工程學院實驗師.

2095-3852(2015)05-0598-04

A

O211.9；TB114.3

10.3963/j.issn.2095-3852.2015.05.016