高 賀，柴士超

(東北林業(yè)大學 土木工程學院，黑龍江 哈爾濱 150040)

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基于模糊數(shù)學理論的工程成本-工期研究

高 賀，柴士超

(東北林業(yè)大學 土木工程學院，黑龍江 哈爾濱 150040)

為了提高工程在不確定環(huán)境下對工程成本的控制，通過對工程成本分析，并依據(jù)工程成本與工程規(guī)模、工期的關系，建立以工程成本為目標，人工費、材料費、機械費為不確定因素影響條件的優(yōu)化模型，該模型通過模糊數(shù)學理論和方法，結(jié)合四邊形模糊數(shù)的解析方法，將廣義Lagrange乘子法與反證法相結(jié)合，得出模型最優(yōu)解的求解過程，以期為工程成本控制提供一定的借鑒。

工程造價；不確定性；梯形模糊數(shù)；廣義拉格朗日乘子法

隨著經(jīng)濟的快速發(fā)展和客觀環(huán)境的日益復雜，我國施工企業(yè)必須在項目管理中正確處理成本、工期、質(zhì)量三者的關系，運用技術(shù)、經(jīng)濟、管理等措施對“三大方向”實行有效管制，從而獲得較好的經(jīng)濟效益和社會效益。其中成本管理無疑成為施工企業(yè)最主要的任務之一。暴克琦[1]通過工程規(guī)模、工期和成本的關系建立相應的數(shù)學模型，最終得出工期的最優(yōu)解。黃松顯等[2]在不確定因素和人為因素對成本控制的影響與對策中，通過理論闡述了不確定因素下的成本管理措施。雄鷹等[3]采用蟻群算法對成本進行優(yōu)化。KENZO等[4]針對工程項目中的不確定性問題，建立了GERT網(wǎng)絡計劃模型。LUIS等[5]運用蒙特卡洛仿真方法估計工程成本與工期的可能風險。上述學者對工程成本的優(yōu)化主要集中在工程項目成本管理的概念、內(nèi)容、特點和項目成本結(jié)構(gòu)描述，或是對工程項目成本管理中成本管理一些方法的應用介紹。

筆者首先明確工程成本構(gòu)成，總結(jié)工程成本內(nèi)在規(guī)律；其次分析成本形成影響因素的定性研究；最后通過模糊數(shù)學理論建立以項目成本為目標的數(shù)學模型，并應用廣義Lagrange乘子法求最優(yōu)解，得出工期為最優(yōu)解時的成本最優(yōu)解。該模型能夠?qū)こ坛杀具M行預測，有利于及時發(fā)現(xiàn)成本管理中的問題和薄弱環(huán)節(jié)，合理控制工程進度，繼而控制工程成本。

1 工程成本分析

工程成本是指建造一個工程項目所需花費的全部費用，即從工程項目確定建設意向直至建成、竣工驗收的整個建設期間所支出的總費用。這是保證工程正常施工的資金，是建設項目投資的重要組成部分。工程成本主要包括兩部分：直接費和間接費。直接費包括人工費、材料費、機械使用費。間接費包括其他直接費和間接費。其中：人工費=用工日×日平均工資；材料費=材料耗用量×材料單價；機械使用費=機械臺班數(shù)×臺班單價；其他直接費=工程直接費×其他直接費費率；間接費=規(guī)費+企業(yè)管理費，規(guī)費=計算基數(shù)×規(guī)費費率(以直接費為計算基數(shù)),企業(yè)管理費=計算基數(shù)×企業(yè)管理費費率(以直接費為計算基數(shù))。根據(jù)工程成本的主要成分，建立以成本為目標的基本函數(shù)關系式：

C=GWX+MQX+TZX+(GW+MQ+TZ)HX+

(GW+MQ+TZ)NX+(GW+MQ+TZ)FX

(1)

式中：X為工程的建筑面積；M為每平方米耗用的工程原料；Q為材料的現(xiàn)實單元價；G為工程每平方米的工作日；W為日平均工資；T為機械的每平方米需用臺數(shù)；Z為機械的臺班成本；H為該工程的其他直接費的取費率；N為該工程規(guī)費費率的取費率；F為該工程的企業(yè)管理費費率。

羅桂平[6]通過對工程項目成本構(gòu)成與影響因素進行研究，依據(jù)工程項目成本組成中各部分成本占總成本比例為：①材料費是工程項目成本的主要組成部分，占總成本的50%以上，最高達到65%。②人工費所占比例都在12%以上。③機械成本所占比例在7%～17%之間。勞動力成本、材料成本和機械成本占總成本的85%～90%，而其他直接費和間接費占總成本的5%左右，最高不超過7%。

2 成本-工期模型建立

2.1 工程成本、工期、規(guī)模分析

工程建設項目的目標主要包括進度目標、成本目標、質(zhì)量目標，這三大目標既相互對立又相互統(tǒng)一。BADU等[7]在論述進度目標、成本目標和質(zhì)量目標的關系時指出：工程項目施工速度加快，會影響到工程完成的質(zhì)量，并創(chuàng)建了線性模型來研究進度、成本和質(zhì)量之間的平衡關系。EI-RAYES等[8]論述了進度和成本的綜合優(yōu)化問題，并綜合了進度和成本的關系，提出了可行的優(yōu)化方法。HSIEH[9]在論述進度-成本-質(zhì)量的優(yōu)化模型中，提出了采用離散的工程項目模型進行求解。上述學者根據(jù)進度、成本、質(zhì)量三者之間的關系，找出了其平衡點。

圖1所示為工程成本與工期關系圖。對于一個特定的工程項目，工程總成本會隨著工期的延長先下降后上升，即工期-工程總成本函數(shù)為U形函數(shù)。由圖1可知：直接成本的費用是一條曲線，在一般情況下，直接成本會隨著工期的縮短而增加，隨著工期的延長而減少。但是，如果工期無限制地延長，也可能會引起直接成本的增加。間接成本的費用近似一條與工期成正比的直線，會隨著工期的縮短而減少，隨著工期的延長而增加。

由于工程項目成本構(gòu)成復雜，受到宏觀經(jīng)濟環(huán)境、工程自身特征、施工組織管理、天氣、施工環(huán)境和意外事故等眾多不確定因素的影響，因此為了簡化該理論模型，參考文獻[6]工程項目成本構(gòu)成與影響因素研究中引入的變量，將工程進度和工程規(guī)模作為控制變量。工程成本與施工工期的關系如式(2)所示。

圖1 工程成本與工期關系圖

C(X,D)=α+α1X/D+α2D

(2)

式中：C為工程總成本；X為工程規(guī)模；D為工程工期；α、α1、α2為常數(shù)且大于0。

2.2 道路工程成本主要影響因素不確定分析

建筑工程項目領域廣，建設周期長，耗費大量人力、物力和財力，影響因素眾多且情況復雜，致使工程造價高，即使工程成本變化幅度較小，也會導致工程造價出現(xiàn)比較大的偏差。

工程成本的不確定性主要表現(xiàn)在3個方面：①項目本身存在著不確定性；②項目規(guī)模及其消耗和占用的資源數(shù)量存在著不確定性；③項目所消耗和占用的資源價格存在不確定性。

影響工程成本不確定性的因素主要有：

(1)工期的不確定性。工期的不確定性直接導致人工費與機械使用費的不確定性。根據(jù)項目進度和成本的關系，當質(zhì)量和安全在一定的條件下，存在最佳的項目進度，項目成本是最低的。

(2)材料價格的不確定性。價格水平只對個別的間接成本費用有一定的影響，對大多數(shù)施工項目成本，特別是原材料成本并沒有顯著的影響，這主要是由于項目部在整個施工期內(nèi)，對材料價格的變動有準確的判斷并且制定了相應的措施，使得整體材料費用受物價波動的影響不大。

(3) 材料消耗量的不確定性，即生產(chǎn)率的不確定性，工程量清單計價中材料的凈用量一定，變化的是材料的損耗量。

(4)實際工程量的不確定性，例如不可預見工程量、冬雨季施工的施工附加量，以及作業(yè)空間增加的工程量，若采用工程量清單計價模式，投標報價時清單工程量己給出，此時，工程量的不確定性體現(xiàn)在綜合單價變化上。

筆者在影響工程成本不確定因素的分析中，假設質(zhì)量和安全為一定條件，通過模糊數(shù)學理論，對工程成本主要組成中的人工費、材料費、機械費進行模糊化處理，結(jié)合四邊形模糊數(shù)解析法，得出工程進度的最優(yōu)解，進而得出工程成本的最優(yōu)方案。

2.3 模糊數(shù)學理論的應用

從20世紀90年代起，許多學者開展了模糊數(shù)學的應用研究，其中MORTEZA[10]在研究短缺生產(chǎn)-庫存模型時，假定全部生產(chǎn)因素為模糊數(shù)，使用一套模糊數(shù)的運算法則創(chuàng)建無欠缺生產(chǎn)-庫存模型，并用廣義Lagrange乘子法求最優(yōu)解，大大簡化了建模與求解的進程。在建筑領域，ABALFAZL等開展掙值法在模糊理論的研究，將梯形模糊數(shù)轉(zhuǎn)化為掙值法，與項目成本和進度相結(jié)合，在模糊數(shù)學理論基礎上預測項目的竣工時段。

由于在工程施工中對不確定的因素進行定量處理非常復雜，因此在難以定量處理的方面可用語言變量表示,如目標權(quán)系數(shù)可表示為“很低”、“低”、“中”、“高”、“很高”等語言變量的形式。因此按照廣義模糊數(shù)的線性取值圖將這些語言變量值的從屬函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)椴灰?guī)則四邊形模糊數(shù)。通過對模糊值的大小估計重心法，則A=(α1,α2,α3,α4)的實際大小為：

(3)

圖2 廣義模糊數(shù)線性取值圖

其中,0

2.4 工程成本模糊四邊形

根據(jù)式(1)及四邊形模糊數(shù)的運算法則，以工程模糊成本為目標的模糊四邊形為：

C=(Wbg+Qag+Zcg)(1+H+N+F)X(5)

根據(jù)式(3)重心法估計模糊數(shù)大小：

(6)

其中,Lg=(Wbg+Qag+Zcg)×(1+H+N+F)X,g=1,2,3,4。

2.5 模型的建立

基于工程造價的定義，建立以成本為目標的優(yōu)化模型，根據(jù)變量之間的線性關系、項目的規(guī)模，結(jié)合梯形模糊數(shù)的理論和方法，采用廣義拉格朗日乘子法和反證法，得到了模型的最優(yōu)解。但對工程造價與工程規(guī)模之間關系的分析，表明兩者的線性關系，并且呈遞增趨勢。因此筆者采用工程成本與工程進度兩者之間的關系建立相應的模型。聯(lián)立式(2)和式(5)，建立工程成本模糊因素-工期-工程總成本模型：

(7)

Ig=(Wbg+Qag+Zcg)(1+H+N+F)

(8)

g=1,2,3,4

在工程工期為模糊狀況下，建立最終工程模糊成本數(shù)學模型：

(9)

3 模型的求解

利用最優(yōu)乘子法的廣義拉格朗日解的約束極值問題，即：

由于有4個變量，直接求出解的具體形式非常困難，故在求解過程中，不妨假設所求問題總有解。求解過程如下：

(10)

根據(jù)廣義拉格朗日乘子法的最優(yōu)解求解方法，可得：D2-D1=0,D3-D2=0,D4-D3=0,D1>0，即當0

為了找到L(D1，D2，D3，D4，λ1，λ2，λ3)的最小值，采取求偏導的方法，對L(D1，D2，D3，D4，λ1，λ2，λ3)分別對D1，D2，D3，D4，λ1，λ2，λ3求偏導并令其導數(shù)等于零，即可得該模型的最優(yōu)解。

由式(9)可知：

(11)

式中：α,α1,α2均為常數(shù)且大于0；B為工程工期；A為工程成本主要組成因素及工程規(guī)模。

總之，以數(shù)學建模作為基本指導思想和方法論，從多元素集成成本管理系統(tǒng)的角度，充分考慮工程項目成本的主要成分，通過對項目成本與進度的關系進行適當簡化，結(jié)合廣義拉格朗日乘子法和反證法，得出該模型的最優(yōu)解。

4 算例驗證

哈爾濱市某市政工程維修一條道路。該項目合同總價為105萬元，工期約為50天，并根據(jù)該項目的施工特點編制施工組織設計，該工程的其他直接費的取費率為0.15，規(guī)費費率為0.041，企業(yè)管理費費率為0.059。

為了簡化計算該項目的最佳工期，根據(jù)哈爾濱市2005年1月1日到2013年12月31日期間開工的工程項目成本核算數(shù)據(jù)，經(jīng)過篩選后，剔除不完整數(shù)據(jù)，如尚在施工未結(jié)算的數(shù)據(jù)及拆遷類數(shù)據(jù)等。由于代表宏觀經(jīng)濟因素的PPI同樣會影響施工總成本及工程項目的材料費，因此用PPI將施工總成本與工程規(guī)模分別標準化，以剔除PPI的干擾，作為施工總成本的替代變量。利用SPSS軟件對數(shù)據(jù)進行多元線性回歸檢驗，得出α1=28.932；α2=2 104 277.216；通過Matlab對式(2)進行擬合，得出α=5.321×109。

將項目成本的主要組成費用換算為均值。①人工費。810個工作日，其日平均工資為120元/日。②材料費。材料的耗用量為110噸，其材料平均價格為5 000元/噸。③機械費。臺班數(shù)為150個工作日，其日平均臺班工資為1 300元/日。為了簡化計算該項目的最佳工期，根據(jù)式(4)，使用一個通用的語言規(guī)則轉(zhuǎn)移數(shù)據(jù)，梯形模糊數(shù)為：“比X更大或更小”=(0.9X，0.95X，1.05X，1.1X)?！按蠹sX”=(0.95X，X，X，1.05X)。

根據(jù)工程項目的特性對該項目的人工費、材料費、機械費、間接費進行評判得出：人工費的不確定性為“大約X”=(9.234，9.72，9.72，10.206)；材料費的不確定性為“比X更大或者更小”=(49.50，52.25，57.75，60.50)；機械費的不確定性為“比X更大或者更小”=(17.550，18.525，20.475，21.450)。根據(jù)式(8)得出A=37.689；由式(11)可知該工程的最佳工期為44.832天。

5 結(jié)論

在實際工程施工環(huán)境中，施工工期、材料價格、材料消耗量及實際工程量的不確定性構(gòu)成了工程成本的不確定性，從而導致工程成本的預算與工程實際成本會出現(xiàn)較大的偏差。通過基于模糊數(shù)學理論對工程成本分析，根據(jù)道路工程成本、工程規(guī)模和工程工期的關系，建立了以工程成本為目標的理論數(shù)學模型,并將該理論數(shù)學模型與工程成本基本函數(shù)關系相結(jié)合，將其因素模糊化，得出最終工程成本模型。在模糊化的工程成本模型基礎上，依據(jù)廣義模糊數(shù)的運算與廣義Lagrange乘子法，得出在已知的工程規(guī)模下工程項目工期的最優(yōu)解。

[1] 暴克琦．工程規(guī)模、工期與施工總成本：基于某大型國有施工企業(yè)工程項目成本數(shù)據(jù)的實證研究[D]．成都：西南財經(jīng)大學，2012.

[2] 黃松顯，黃軍周．不確定因素和人為因素對成本控制的影響與對策[J]．中州煤炭，2010(10):141-142.

[3] 雄鷹，匡亞萍．基于蟻群算法的施工項目工期-成本優(yōu)化[J]．系統(tǒng)工程理論與實踐，2007(3):105-111.

[4]KENZOK，NOBUYUKIN.EfficientMonteCarlosimulationmethodofGERT-typenetworkforprojectmanagement[J].Computers&IndustrialEngineering，2002，42(2-4):521-531.

[5]LUISFA,DAVIDBA,ANGELIQUESH,etal.Riskplanningandmanagementforthepanamacanalexpansionprogram[J].JournalofConstructionEngineeringandManagement,2011,137(10):111-113.

[6] 羅桂平．工程項目成本構(gòu)成與影響因素研究:基于工程項目成本的數(shù)據(jù)挖掘[D]．成都：西南財經(jīng)大學，2011.

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GAO He:Assoc. Prof.; School of Civil Engineering, Northeast Forestry University, Harbin 150040, China.

[編輯：王志全]

Project Cost and Time Limit Based on Fuzzy Mathematics Theory

GAOHe,CHAIShichao

In order to improve the control on engineering cost of project in uncertain environment, the project cost was analyzed; and an optimization model was established based on the relationship of project cost and project scale and construction period while engineering cost was taken as the goal. The uncertainty conditions included labor fee, materials fee and machinery fee. The fuzzy mathematics theory and method, combining with trapezoid fuzzy number analysis method were used in the model. The generalized Lagrange multiplier method was combined with reduction to absurdity to obtain the solving process of optimal solution. It provides cost control reference for construction enterprise.

engineering cost; uncertainty; trapezoidal fuzzy number; generalized Lagrange multiplier method

2015-05-14.

高賀(1974-)，男，黑龍江龍江人，東北林業(yè)大學土木工程學院副教授.

黑龍江省交通廳科研基金資助項目(MJ20110034).

2095-3852(2015)06-0786-04

A

TU723

10.3963/j.issn.2095-3852.2015.06.027