（甘肅省蘭州新區(qū)永登五中730311）

淺談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生思維的培養(yǎng)

薛東梅

（甘肅省蘭州新區(qū)永登五中730311）

我們知道，高中數(shù)學(xué)學(xué)科知識的系統(tǒng)性、推理的嚴(yán)密性對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力很有好處。同時，如果我們在教學(xué)中努力踐行一題多解或是一題多變的教學(xué)方法，對培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維也不無益處。前不久，筆者有幸參加了我縣高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課教學(xué)觀摩活動，聆聽了十幾位優(yōu)秀教師的觀摩課，對他們在課堂上引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去求解，或是將一道題目變化出多種形式供學(xué)生思考，積極培養(yǎng)學(xué)生思維的教學(xué)方法留下了深刻印象?，F(xiàn)將此次觀摩活動中一些精彩之處實錄如下，以饗讀者。

一、一題多解訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維

在第一堂觀摩課上，教師板書了例題：

例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范圍。

先讓學(xué)生通過小組合作解答。很快，一學(xué)生上臺寫出了如下的解答方案：

解：由x+y=1得y=1-x，則

由于x∈[0，1]，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知

（筆者注：在這個解題過程中，該生通過變量替換的方法，將二元函數(shù)的最值問題，轉(zhuǎn)化成一元函數(shù)來解決，使解題變得簡單了，這也是我們經(jīng)常倡導(dǎo)使用的一種數(shù)學(xué)思想方法。）

當(dāng)學(xué)生以為此題已經(jīng)解決，期待教師講解新的內(nèi)容時，教師卻“賣關(guān)子”說此題還有更容易的解答方法?！耙皇て鹎永恕?，學(xué)生又進(jìn)入了熱烈的思考、討論、解答中。不一會，有幾個學(xué)生果然運用對稱換元方法，更容易地求出了最值：

解：由于x+y=1，x、y≥0，則可設(shè)

所以，當(dāng)t2=0時，x2+y2取最小值；當(dāng)時，x2+y2取最大值1。

如此一來，學(xué)生對該題的解答就有了兩種方法，而且，這不單單是兩種方法，更是兩種思路。教師為了進(jìn)一步拓展學(xué)生的思維，還可以將此題通過三角換元方法，轉(zhuǎn)化成三角恒等式變形后來解決：

解：由于x+y=1，x、y≥0，則可設(shè)

x=cos2θ，y=sin2θ其中θ∈[0，

則x2+y2=cos4θ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2－2 cos2θsin2θ cos4θ

當(dāng)cos4θ=1時，x2+y2取最小值1。

這三種方法，都是通過函數(shù)觀點來求最值，在解題的本質(zhì)上都是一樣的，只是采用了不同的換元方式而已，但一轉(zhuǎn)換，就導(dǎo)致了化簡、運算量大小不同。這種引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去求解，對一道題目從不同角度去解答，尋求多種解法，在潛移默化中有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解題思路，在無形之中發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，對提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力很有益處。此外，若是課堂上還有多余的時間，教師還可以運用基本不等式和數(shù)形結(jié)合的思想來解答此題，那樣對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力更會產(chǎn)生積極的作用。

二、一題多變訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們除了可以通過一題多解的方法訓(xùn)練學(xué)生的思維外，還可以通過將一道題目加以變化的方法，通過聯(lián)想、類比、延伸，將一道題變化出許多新的題目，來訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。恰好在第二堂觀摩課上，授課老師就借助第一堂中的那道例題，采用一題多變的方法來訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，實錄如下：

例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范圍。

針對上述例題，這位教師沒有給學(xué)生太多的思考時間，運用前面談到的對稱換元方法求出了最值后，PPT顯示了以下三個變式題，供學(xué)生思考、討論、解答。

1：已知x、y≥0且x+y=1，能求x8+y8的取值范圍嗎？x8+y6呢？x7+y7的范圍能求嗎？

2：已知a、b為非負(fù)數(shù)，M=a4+b4，a+b=1，求M的最值。

之后，教師讓學(xué)生展開討論，利用前面例題的特殊性，逐步將學(xué)生的思維引向一般化，從而得出了一般性的結(jié)論。這種將典型例題進(jìn)行充分挖掘，借助例題進(jìn)行變式教學(xué)的方式，既可以很好地鞏固基礎(chǔ)知識，又可以有效地訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，還可以使學(xué)生養(yǎng)成舉一反三、觸類旁通的習(xí)慣。對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提高，增強(qiáng)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣都是大有裨益的。

因此，在平時的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，我們不一定非要通過題海戰(zhàn)術(shù)來夯實學(xué)生的基礎(chǔ)，提高學(xué)生的成績，因為數(shù)學(xué)題是做不完的。只有采取上述的一題多解或是一題多變的方法，重在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的廣度、深度，從根本上解決問題，才能事半功倍地提高數(shù)學(xué)課的教育教學(xué)質(zhì)量。

如在課后給學(xué)生布置作業(yè)時，我們能否不再給學(xué)生布置大量的習(xí)題，讓學(xué)生負(fù)擔(dān)很重，忙于應(yīng)付。我們教師完全可以將書上的一些習(xí)題進(jìn)行有目的的演變，逐漸加深，讓學(xué)生通過前后有聯(lián)系的題目的解題，掌握一些規(guī)律。完全可以把變式題布置給學(xué)生，讓學(xué)生運用一題多解，一題多變的方式來掌握一些數(shù)學(xué)知識及解題規(guī)律。

例如，在學(xué)習(xí)了拋物線后，在習(xí)題中出現(xiàn)了以下一題：

過拋物線y2=2px焦點的一條直線和這條拋物線相交，設(shè)兩個交點縱坐標(biāo)為y1，y2，求證：y1y2=-p2。（設(shè)線段AB為過拋物線焦點的弦）

此題證明并不難，但其結(jié)論卻很有用，關(guān)鍵是運用其結(jié)論。在布置此題給學(xué)生時我們便可以有針對性地演變。如變成：

1.證明：過拋物線焦點弦兩端點的切線與拋物線的準(zhǔn)線，三點共線。

2.證明：拋物線焦點弦中點與其端點切線的交點連結(jié)線段，等于焦點弦長的一半，并且被這條拋物線平分。

3.證明：拋物線焦點弦中點與其端點切線的交點的連線，平行于拋物線的對稱軸。

另外，我們還可以讓學(xué)生自己變式，便還可能出現(xiàn)如下變式：

1.證明：拋物線的準(zhǔn)線是其焦點弦兩端點的切線的交點的軌跡。

2.證明：過拋物線焦點一端，作準(zhǔn)線的垂線，那么垂足、原點以及弦的另一端點，三點共線。

3.證明：拋物線焦點弦兩端點的切線互相垂直。

我堅信，只要我們循序漸進(jìn)，逐步訓(xùn)練，學(xué)生的思維能力就會逐步提高，解答問題的能力自然也會得到訓(xùn)練，教學(xué)效果更會好一些。總之，只要我們在平時的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，力求從培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的角度出發(fā)，想方設(shè)法地設(shè)計教學(xué)內(nèi)容，精選例題，一題多變，一題多解，相信學(xué)生的數(shù)學(xué)思維一定會得到提高的。

（責(zé)編 金東）