龔 率 劉曉華 黃志偉 王洪偉

1 成都市勘察測繪研究院，成都市一環(huán)路北三段70號，610081

高差觀測值的權(quán)決定了水準(zhǔn)網(wǎng)內(nèi)不符值和閉合差的分配原則，對水準(zhǔn)網(wǎng)的平差計(jì)算和精度評定有重要意義［1－3］。水準(zhǔn)網(wǎng)平差的傳統(tǒng)定權(quán)方法是按水準(zhǔn)路線的距離或按測站數(shù)定權(quán)。按距離定權(quán)的前提條件是每km 的高差觀測等精度，高差觀測的偶然中誤差與距離呈正相關(guān)關(guān)系；按測站數(shù)定權(quán)的前提是每測站的高差觀測精度一致，高差觀測的偶然中誤差與測站數(shù)呈正相關(guān)關(guān)系［4－5］。但對于起伏變化劇烈的水準(zhǔn)網(wǎng)平差，不同測段間每km 或每測站高差觀測的精度是否一致是值得商榷的。

本文從高差觀測精度與地形起伏大小的關(guān)系出發(fā)，將高差觀測值分類，并分別推導(dǎo)其偶然中誤差計(jì)算公式，以此確定各類觀測值的初始權(quán)。然后將赫爾默特方差分量估計(jì)法［6］的思想引入水準(zhǔn)網(wǎng)平差計(jì)算中，以解決各類高差觀測值權(quán)的匹配問題。

1 高差的分類及定權(quán)

1.1 高差的分類

在起伏大的測區(qū)每測站高差觀測的精度較一致，在起伏小的測區(qū)每km 的高差觀測精度較一致［6］。本文按地形起伏大小將高差觀測值分為兩類，首先定義“平均起伏度”K0：

式中，N總表示水準(zhǔn)網(wǎng)中包含的測站總數(shù)，S總為水準(zhǔn)網(wǎng)所有測段路線的距離總和（單位為km）。

同理，對于任意第i測段定義“測段起伏度”Ki：

式中，Ni為第i測段包含的測站數(shù)，Si為第i測段的路線長度。

由定義可知，“平均起伏度”K0反映水準(zhǔn)網(wǎng)的總體起伏狀況，“測段起伏度”Ki則反映特定測段的局部起伏狀況。若Ki較大，則認(rèn)為第i測段起伏較大，高差觀測的偶然中誤差與測站數(shù)的正相關(guān)程度大于其與水準(zhǔn)路線距離的正相關(guān)程度，高差的權(quán)應(yīng)按測站數(shù)確定；若Ki較小，則認(rèn)為第i測段起伏較小，高差觀測的偶然中誤差與測站數(shù)的正相關(guān)程度小于其與水準(zhǔn)路線距離的正相關(guān)程度，高差的權(quán)應(yīng)按測段路線距離確定［2］。以“平均起伏度”K0作為判別值，將水準(zhǔn)網(wǎng)的高差觀測值分為兩類：高差觀測誤差主要取決于測段包含的測站數(shù)，稱為“Ki≥K0”類；高差測量誤差主要受測段的路線長度影響，稱為“Ki＜K0”類。

1.2 高差的分類定權(quán)

顧及§1.1高差分類的標(biāo)準(zhǔn)，任意測段i和j的高差權(quán)按如下方式確定［5］。

若Ki＜K0，高差的權(quán)Pi應(yīng)按水準(zhǔn)路線的距離計(jì)算：

若Kj≥K0，高差的權(quán)Pj按測站數(shù)計(jì)算：

其中，μ0為單位權(quán)中誤差，為每km 高差中數(shù)的偶然中誤差（單位為mm／km），為每測站高差中數(shù)的偶然中誤差（單位為mm／站）。和按式（5）計(jì)算：

式中，n1為“Ki＜K0”類高差觀測值的總數(shù)，n2為“Ki≥K0”類高差觀測值的總數(shù)，di為測段往返測高差誤差（單位為mm）。

2 水準(zhǔn)網(wǎng)的赫爾默特方差分量估計(jì)

2.1 方差分量估計(jì)

赫爾默特方差分量估計(jì)法是一種較為成熟的驗(yàn)后估計(jì)方法［6］，廣泛應(yīng)用于全站儀邊角網(wǎng)和三維網(wǎng)的最小二乘平差中。本文將其引入水準(zhǔn)網(wǎng)平差計(jì)算中，具體過程如下。

1）按前文所述將水準(zhǔn)網(wǎng)的高差觀測值分為兩類，并分別按式（7）定各類高差觀測值的初始權(quán)。

2）進(jìn)行預(yù)平差計(jì)算，并分別求得預(yù)平差后“Ki＜K0”類高差觀測值改正數(shù)的加權(quán)平方和與“Ki≥K0”類高差觀測值改正數(shù)的加權(quán)平方和。

3）按式（8）重新確定兩類高差觀測值的權(quán)［6］：

式中，

式中參數(shù)的具體含義見文獻(xiàn)［6］。

4）根據(jù)兩類高差觀測值的新權(quán)，再次進(jìn)行最小二乘平差，求得它們第一次估計(jì)的方差分量和，并按式（9）再次定權(quán)：

5）重復(fù)步驟2）～4），直至兩類高差觀測值的驗(yàn)后單位權(quán)方差相等為止，即滿足。

2.2 水準(zhǔn)網(wǎng)方差分量估計(jì)的應(yīng)用前提

驗(yàn)后估計(jì)法是一種基于概率統(tǒng)計(jì)學(xué)原理的算法，在進(jìn)行水準(zhǔn)網(wǎng)的方差分量估計(jì)時(shí)必須保證高差觀測值所組成的樣本空間具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，即水準(zhǔn)網(wǎng)方差估計(jì)必須滿足如下前提條件：

1）水準(zhǔn)網(wǎng)中必須包含大量具有往返測量的高差觀測值。

2）高差觀測值能構(gòu)成多個(gè)附合水準(zhǔn)路線與閉合水準(zhǔn)路線，即應(yīng)存在大量的多余觀測量。

3）水準(zhǔn)網(wǎng)內(nèi)測段間地形起伏差異較為明顯。

4）水準(zhǔn)網(wǎng)中“Ki＜K0”類與“Ki≥K0”類高差觀測值的數(shù)量差異不能太大。

5）方差分量估計(jì)側(cè)重從總體上調(diào)整各類觀測量的權(quán)，同類觀測量內(nèi)部的權(quán)比關(guān)系受初始權(quán)的，影響較大，因此初始權(quán)的確定應(yīng)力求合理。

3 算例分析

為比較本文方法與傳統(tǒng)定權(quán)方法的差異，采用C＃語言編寫水準(zhǔn)網(wǎng)平差程序，并選取某高速鐵路的二等水準(zhǔn)網(wǎng)數(shù)據(jù)（該測區(qū)包含平原和山地兩種地形，測段起伏緩陡不一），然后分別采用按距離定權(quán)（簡稱“S”）、按測站數(shù)定權(quán)（簡稱“N”）和赫爾默特方差分量估計(jì)（簡稱“Helmert”）等3種方法對算例數(shù)據(jù)進(jìn)行平差計(jì)算和精度評定。

3.1 高程平差值和高程中誤差的比較

3種定權(quán)方法高程平差值的差異情況如圖1和表1所示。

表1 算例水準(zhǔn)網(wǎng)各定權(quán)方法的高程平差值差異統(tǒng)計(jì)表Tab.1 Different level net weighting method of elevation adjustment value statistics

由圖1和表1可知，算例水準(zhǔn)網(wǎng)按測站數(shù)定權(quán)和按路線距離定權(quán)的高程平差結(jié)果差異特別顯著，其平均差異約為0.8 mm，最大差異達(dá)1.5 mm。而方差分量估計(jì)的結(jié)果總體上介于兩傳統(tǒng)方法之間。

3種定權(quán)方法中高程中誤差的差異情況如圖2和表2所示。

圖1 算例水準(zhǔn)網(wǎng)各定權(quán)方法的高程平差值差異圖Fig.1 Different level net weighting method of elevation adjustment value differences

圖2 算例水準(zhǔn)網(wǎng)各定權(quán)方法的高程中誤差對比圖Fig.2 Different level net weighting method of mean square error of elevation comparative statistics

表2 算例水準(zhǔn)網(wǎng)各定權(quán)方法的高程中誤差對比統(tǒng)計(jì)表Tab.2 Different level net weighting method of elevation adjustment value statistics

由圖2和表2可知，赫爾默特方差分量估計(jì)平差后的高程中誤差總體上處于兩傳統(tǒng)方法平差結(jié)果之間，并且方差分量估計(jì)平差后的高程中誤差總體趨勢較兩傳統(tǒng)方法緩和。

總之，方差分量估計(jì)的平差結(jié)果總體處于傳統(tǒng)定權(quán)方法平差結(jié)果之間，能在一定程度上中和傳統(tǒng)方法定權(quán)不準(zhǔn)確所致的平差結(jié)果差異，較好地反映控制網(wǎng)的實(shí)測狀況。

3.2 方差一致性檢驗(yàn)

方差一致性檢驗(yàn)是判定平差隨機(jī)模型正確性的一個(gè)重要依據(jù)，是對平差定權(quán)方法正誤判定的重要依據(jù)［8］。本文對3種定權(quán)方法的驗(yàn)后單位權(quán)方差在顯著性水平α＝0.05下進(jìn)行方差一致性檢驗(yàn)，結(jié)果如表3所示。

由表3可知，按測站數(shù)定權(quán)和按水準(zhǔn)路線距離定權(quán)的兩種傳統(tǒng)方法均不能通過檢驗(yàn)，而方差分量估計(jì)的定權(quán)方法卻能通過檢驗(yàn)。由此可以說明，本文所提方法對測段的起伏狀況具有良好的適應(yīng)性，能更為準(zhǔn)確地表達(dá)各高差觀測值的實(shí)測精度。

表3 不同定權(quán)方法方差一致性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)表Tab.3 Different weighting method variance consistency check statistics

4 結(jié) 語

水準(zhǔn)網(wǎng)平差中，傳統(tǒng)的定權(quán)方法過度理想化高差觀測精度與測站數(shù)或路線距離的關(guān)系，對整網(wǎng)僅采用按測站數(shù)或按路線距離定權(quán)，常使地形起伏差異較大的水準(zhǔn)網(wǎng)平差不能得到理想的成果。本文提出的基于測段起伏狀況分類的赫爾默特方差分量估計(jì)法比水準(zhǔn)網(wǎng)平差的傳統(tǒng)定權(quán)方法更能反映整個(gè)水準(zhǔn)網(wǎng)的實(shí)測精度，為復(fù)雜地區(qū)大型水準(zhǔn)控制網(wǎng)的平差計(jì)算和精度評定提供更為合理的定權(quán)方案，值得進(jìn)一步深入研究。

［1］周永明，黃立人.定權(quán)誤差對平差結(jié)果的影響［J］.地殼形變與地震，1987，7（1）：35－43（Zhou Yongming，Huang Liren.Influence of the Weight Error of Observations on Adjustment Results［J］.Crustal Deformation and Earthquake，1987，7（1）：35－43）

［2］梁振英.關(guān)于水準(zhǔn)網(wǎng)平差中權(quán)的估算問題的探討［J］.測繪學(xué)報(bào)，1983，12（1）：56－66（Liang Zhenying.The Discussion on Weight Estimation in the Adjustment of Leveling Network［J］.Acta Geodetica et Cartographica Sinica，1983，12（1）：56－66）

［3］陳健.水準(zhǔn)網(wǎng)平差中權(quán)的設(shè)定問題［J］.武漢測繪學(xué)院學(xué)報(bào)，1980（2）：12－23（Chen Jian.On the Mode of Weighting in Leveling Nets Adjustment［J］.Journal of Wuhan University of Surveying and Mapping，1980（2）：12－23）

［4］薄志鵬.一等水準(zhǔn)測量的實(shí)有精度和權(quán)的確定［J］.武漢測繪學(xué)院學(xué)報(bào)，1983（2）：1－15（Bo Zhipeng.The Determination of First Order Leveling Measurement of Actual Accuracy and Weighting［J］.Journal of Wuhan University of Surveying and Mapping，1983（2）：1－15）

［5］龔率.工程控制網(wǎng)平差的定權(quán)方法研究及其軟件研制［D］.成都：西南交通大學(xué)，2013（Gong Shuai.Study on Weighting Methods and Software Development in the Adjustment of Engineering Control Network［D］.Chengdu：Southwest Jiaotong University，2013）

［6］崔希璋，於宗儔，陶本藻，等.廣義測量平差［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2009（Cui Xizhang，Yu Zongchou，Tao Benzao，et al.Generalized Surveying Adjustment［M］.Wuhan：Wuhan University Press，2009）

［7］武漢大學(xué)測繪學(xué)院測量平差學(xué)科組.誤差理論與測量平差基礎(chǔ)［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2009（Subject Group of Surveying Adjustment，School of Geodesy and Geomatics，Wuhan University.Errors Theory and Fundation of Surveying Adjustment［M］.Wuhan：Wuhan University Press，2009）

［8］劉長建，馬高峰.Helmert方差分量估計(jì)結(jié)果的方差一致性檢驗(yàn) 實(shí) 質(zhì)［J］.測繪學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，19（2）：96－98（Liu Changjian，Ma Gaofeng.The Essence of Test for Uniform Variance of Variance Component Estimation of Helmert Type［J］.Journal of Institute of Surveying and Mapping，2002，19（2）：96－98）