趙愛冬（江蘇省南京市新城初中黃山路分校210019）

函數(shù)圖像
——連接物理和數(shù)學(xué)的橋梁

趙愛冬（江蘇省南京市新城初中黃山路分校210019）

數(shù)理不分家，利用數(shù)學(xué)函數(shù)圖像來解物理題尤其驗(yàn)證了這一點(diǎn)。數(shù)學(xué)函數(shù)圖像具有形象、直觀的特點(diǎn)，圖像中的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)上有很多點(diǎn)，能夠動態(tài)顯示物理變化的詳細(xì)過程，可以清晰表示物理實(shí)驗(yàn)過程中兩個物理量之間的變化規(guī)律，使物理問題簡化明了，數(shù)據(jù)一目了然，而且使抽象的物理概念形象化，枯燥的數(shù)據(jù)以線條呈現(xiàn)便多了一些靈動，更重要的是它能將物理學(xué)科與數(shù)學(xué)有機(jī)地結(jié)合起來，增強(qiáng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力。

物理數(shù)學(xué)函數(shù)圖像

在學(xué)習(xí)物理的過程中，我們經(jīng)常有這樣的體驗(yàn)：物理量之間是遵循一定的規(guī)律的，有些是定性的規(guī)律、有些是定量的規(guī)律，而這些規(guī)律通?？梢杂妹椟c(diǎn)法將若干組相關(guān)的物理量分別在數(shù)學(xué)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)上進(jìn)行標(biāo)注，從而畫出比較完整的函數(shù)圖像，利用圖像的視覺感知和初中學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作鋪墊進(jìn)行定性的科學(xué)推理和定量的科學(xué)推算，利用數(shù)學(xué)函數(shù)圖像解物理題的優(yōu)點(diǎn)，不僅可以直接求出或讀出某些待求物理量，還可以用來驗(yàn)證某些物理規(guī)律，測定某些物理量，分析或解決某些復(fù)雜的物理過程。

一、利用函數(shù)圖像反映物體的運(yùn)動規(guī)律

初中物理的運(yùn)動學(xué)部分相對比較簡單，一般只討論勻速直線運(yùn)動的情況，所以圖像相對也是特別便于學(xué)生觀察，屬于中考的基本題型，在教學(xué)中，只要讓學(xué)生對橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)所分別表示的物理量充分了解，再結(jié)合具體的圖線形狀，就不難迅速正確找到答案。

例題1：小明騎自行車上學(xué)，開始以正常速度勻速行駛，但行至中途自行車出了故障，只好停下來修車，車修好后，他怕耽誤上課，就比修車前加快了速度繼續(xù)勻速行駛，下面是行駛路程s（m）與時間t（min）的關(guān)系的圖像，那么符合這個同學(xué)行駛情況的圖像是（）

分析：四個圖像均是路程-時間圖像，反映的是隨時間的推移路程的變化情況。題干中的關(guān)鍵步驟是：先勻速后停止再勻速，只要認(rèn)真閱讀題目、仔細(xì)觀察圖像之后就不難得出結(jié)論：A是先勻速后停止，B是先勻速后勻速，D是先勻速后倒退再勻速，所以正確答案是C。

二、利用函數(shù)圖像了解物質(zhì)的基本屬性

初中物理對于物質(zhì)的物理屬性有其獨(dú)特的解讀方式，有時候我們借助于函數(shù)圖像來幫助學(xué)生加深理解，提升學(xué)生思考問題的深度、拓寬學(xué)生理性思維的廣度。利用函數(shù)圖像，一些物質(zhì)的物理屬性變得一目了然。

例題2：水具有反常膨脹的特性。如圖所示為水的密度在0℃～10℃范圍內(nèi)隨溫度變化的曲線。根據(jù)圖像可知，溫度等于℃時，水的密度最大；在0℃～4℃范圍內(nèi)，水具有（填“熱脹冷縮”或“熱縮冷脹”）的性質(zhì)。

分析：物質(zhì)通常具有熱脹冷縮的性質(zhì)，但也有例外，利用如圖所示圖像，我們可以形象地了解水這種常見物質(zhì)的不常見的性質(zhì)，圖像中在0℃～4℃范圍內(nèi)，水的密度隨著溫度的升高反而在增大，說明在水的質(zhì)量一定時，水的體積在縮小，導(dǎo)致水的密度在增大，而在溫度大于4℃的情況下，水的密度又變得像通常的物質(zhì)一樣，溫度越高，體積越大，密度越小。這種密度先變大又變小的過程當(dāng)中必然有一個最大值，也就是說當(dāng)溫度為4℃時，密度最大，體積最小。

三、運(yùn)用函數(shù)圖像描述物理量之間的關(guān)系

運(yùn)用數(shù)學(xué)函數(shù)圖像可以體現(xiàn)物理學(xué)中的一些研究方法的精髓，比如控制變量法，當(dāng)某個物理量一定時，用數(shù)學(xué)函數(shù)圖像可以直接看出另兩個物理量之間的關(guān)系，是成正比或反比。這是數(shù)學(xué)在物理中的重要應(yīng)用，弄清兩個坐標(biāo)軸各代表什么物理量，從圖像所反映的圖形形狀來確定兩個物理量之間的關(guān)系。

例題3：兩定值電阻A、B中的電流與電壓關(guān)系如圖所示，現(xiàn)在將A和B串聯(lián)后接在電壓為3V的電源兩端，下列分析正確的是（）

A．A的電流大于B的電流

B．A的電阻值大于B的電阻值

C．A兩端的電壓大于B兩端的電壓

D．A消耗的電功率小于B消耗的電功率

分析：如圖所示，無論電阻A還是電阻B，電流隨電壓變化的圖像均為正比例函數(shù)，電壓與電流的比值始終不變，其比值等于該電阻的阻值

A：兩電阻串聯(lián)，電流相等，所以A錯誤

B：A的電阻為5Ω，B的電阻為10Ω，所以B錯誤

C：根據(jù)串聯(lián)分壓的特點(diǎn)，電阻越大，所分得電壓越大，所以C也是錯誤的

D：根據(jù)電功率計算公式P=UI，可知電流相同，甲兩端電壓較小，所以D是正確的

在探究歐姆定律時，我們分兩個步驟進(jìn)行，一個是在導(dǎo)體電阻不變的情況下，研究通過導(dǎo)體的電流與導(dǎo)體兩端電壓的關(guān)系：另一個是在導(dǎo)體兩端電壓不變的情況下，研究通過導(dǎo)體的電流與導(dǎo)體電阻的關(guān)系。通過圖像來解決類似的問題，形象直觀，一目了然，方便快速地找到物理量之間正比或者反比的關(guān)系。

利用例題3可以將選擇題改編為填空題：兩定值電阻A、B中的電流與電壓關(guān)系如圖所示，現(xiàn)在將A和B串聯(lián)后接在電壓為3V的電源兩端，則此時電路中的電流為________A，A和B消耗的電功率之比為_______。

分析：如圖所示，用圖像來解題，關(guān)鍵是看物理量之間的關(guān)系，由于兩個電阻是串聯(lián)，所以電流相等，那么當(dāng)電流為0.2A時，A電阻和B電阻兩端的電壓分別為1V和2V，相加為電源電壓，所以電路中的電流只能是0.2A；由于從圖像中可知AB電阻之比為1∶2，所以功率之比為1∶2。

類似這樣描述物理量之間關(guān)系的還有燃料完全燃燒放出熱量與燃料質(zhì)量的關(guān)系；物體所受浮力與液體密度和浸在液體中體積的關(guān)系；同種物質(zhì)質(zhì)量與體積的關(guān)系；路程與時間、速度的關(guān)系等，都可以用函數(shù)圖像找出相關(guān)物理量之間的函數(shù)關(guān)系。

四、巧用函數(shù)圖像進(jìn)行動態(tài)電路的相關(guān)計算

動態(tài)電路的計算是初中電學(xué)的難點(diǎn)，受學(xué)生計算能力、應(yīng)變能力、綜合分析能力等的限制，學(xué)生在進(jìn)行動態(tài)電路的相關(guān)計算時往往覺得自信心不足，各種變量糾結(jié)在一起，很難理出頭緒，在考慮哪些物理量是定值，哪些物理量是變化的，又遵循怎樣的變化規(guī)律這些問題時不容易考慮全面，經(jīng)常會忽略一些重要的條件，導(dǎo)致失誤。

例題4：如圖所示是電阻甲和乙的U-I圖像，下列說法中不正確的是

A．當(dāng)電路中電流為0.5A時，甲乙電阻兩端電壓相同

B．當(dāng)電路中電流增大時，電阻甲電阻不變，電阻乙電阻變大

C．甲、乙串聯(lián)在電路中，當(dāng)電路電流為0.2A時，電源電壓為3V

D．甲、乙并聯(lián)在電路中，當(dāng)電源電壓為2V時，電路總功率為1.2W

分析：甲圖像是一條直線，表示電阻甲是一個定值電阻，而乙圖像是一條曲線，表示電阻乙是一個變化的電阻，利用圖像中已經(jīng)有的一些數(shù)據(jù)進(jìn)行簡單的計算，如對于兩條圖線的交點(diǎn)的理解，電路中電流相同時的數(shù)據(jù)處理和電壓相同時的數(shù)據(jù)處理，我們發(fā)現(xiàn)ACD都是正確的，僅僅B是無法直接判斷的，我們可以用排斥法進(jìn)行選擇。

但是如果學(xué)生掌握了對于這種圖像題的另外一種處理方法，則在完成這道題時則更加確信無疑，這種方法就是賦值法：當(dāng)電路中電流為0.1A時，乙電阻阻值為15Ω；當(dāng)電路中電流為0.2A時，乙電阻阻值為10Ω；當(dāng)電路中電流為0.4A時，乙電阻阻值約為6Ω，所以當(dāng)電路中電流增大時，乙電阻的阻值是變小的，這樣從另一個角度驗(yàn)證了選擇的正確性。

五、函數(shù)圖像在物理解題中有許多優(yōu)點(diǎn)

所以，我們在教學(xué)過程中要著重從以下方向?qū)W(xué)生進(jìn)行方法的指導(dǎo)。

（一）明了圖像中橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)所對應(yīng)的物理量的特殊含義

必須先搞清楚縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)所代表的物理量的名稱單位，然后明確要描述的這兩個物理量之間的邏輯關(guān)系，最后從物理意義上去認(rèn)識圖像。從圖像的形狀和變化規(guī)律總結(jié)物理過程的特征，通過物理方法的訓(xùn)練，使學(xué)生能正確利用圖像解決問題，從數(shù)學(xué)的角度去理解物理問題，比較符合學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣，畢竟學(xué)生從小學(xué)開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，已經(jīng)有了相當(dāng)?shù)幕A(chǔ)，而且教學(xué)中的先入為主在教學(xué)中是很正常的種現(xiàn)象。所以巧妙運(yùn)用學(xué)生在數(shù)學(xué)中的優(yōu)勢來順應(yīng)物理教學(xué)的要求，可謂順勢而為，事半功倍。

（二）巧妙利用圖像中的數(shù)據(jù)，讓數(shù)據(jù)說話

在教學(xué)過程中，教師是非常垂青于數(shù)據(jù)的，而學(xué)生也尤其對數(shù)據(jù)情有獨(dú)鐘，由于圖像題中橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)上含有若干組數(shù)據(jù)，如何將這若干組數(shù)據(jù)進(jìn)行有效查找和正確計算，利用學(xué)過的物理知識或者與其他學(xué)科知識的整合，從中發(fā)現(xiàn)物理量之間的變化規(guī)律，成為利用圖像解物理題的關(guān)鍵所在。在利用數(shù)據(jù)進(jìn)行計算時，一般有三種情況，一種是通過計算，發(fā)現(xiàn)利用橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)所反映出來的物理量一個定值，也就是說圖線一條直線，是數(shù)學(xué)中的正比例函數(shù)；還有一種是計算出來的物理量是遵循一定的規(guī)律變化，二次函數(shù)圖像或者是反比例函數(shù)圖像，增大或者減小都是與相應(yīng)的物理知識能夠有機(jī)聯(lián)系的；第三種則是不規(guī)則的圖線形狀，往往與物質(zhì)的狀態(tài)、溫度等有著不可分割的關(guān)系。

（三）熟練運(yùn)用圖像解析法，舉一反三、觸類旁通

圖像解析法是有規(guī)律可循的，對其本質(zhì)有了深入的理解之后，可以起到舉一反三、觸類旁通的作用，類似的題型往往一看就會，不需要多花時間，只在細(xì)心地找到切入點(diǎn)，將這個點(diǎn)所對應(yīng)的兩個物理量進(jìn)行處理，相應(yīng)的物理公式和基本概念運(yùn)用得當(dāng)，就可以快捷準(zhǔn)確地找到正確答案。在平時的教學(xué)訓(xùn)練中，教師要經(jīng)常收集一些有關(guān)圖像的題目讓學(xué)生加以訓(xùn)練，文字題容易讓學(xué)生產(chǎn)生疲勞的感覺，視覺上比較單一，一行又一行的字沒有什么變化，如果能夠適度插入一些動態(tài)的圖像題，讓學(xué)生眼前一亮，精神為之振奮，學(xué)生如果能夠深刻體會到圖像法解題的妙處，那么學(xué)習(xí)的興趣和解題的自信心則會大增，這比任何靈丹妙藥都有用。

總之，運(yùn)用函數(shù)圖像解物理問題是深受學(xué)生喜歡的一種解題模式，在物理課上教師用數(shù)學(xué)方法來解決物理問題時，學(xué)生經(jīng)常會嗔笑道：“這你也懂！”，數(shù)學(xué)教師在講題時涉及物理知識，學(xué)生也會插言道“物理老師剛剛講過！”可見數(shù)理結(jié)合的方式已經(jīng)成為學(xué)生喜聞樂見的一種教學(xué)慣式，函數(shù)圖像法作為解決物理問題的一種重要手段，要求教師在平時的教學(xué)中善于培養(yǎng)學(xué)生識圖、建圖、用圖的能力，努力提高學(xué)生的讀圖能力、查找數(shù)據(jù)的能力、歸納總結(jié)的能力、計算推理的能力和邏輯思維的能力。

劉炳昇，李容.《物理》義務(wù)教育教科書[M].江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2013（6）.

（責(zé)編 趙建榮）