張 華（河北省秦皇島市山海關(guān)第一中學(xué)066200）

淺談如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中通過解題發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

張 華（河北省秦皇島市山海關(guān)第一中學(xué)066200）

數(shù)學(xué)解題在學(xué)習(xí)高度抽象與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)理論中，起到了理論聯(lián)系實(shí)際的作用，通過數(shù)學(xué)解題可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)散、與收斂；培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想思維、邏輯思維與歸納思維；優(yōu)化學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)，提升思維品質(zhì)。本文主要從下幾個(gè)方面闡述了如何通過數(shù)學(xué)解題發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維：一、精心選擇習(xí)題進(jìn)行解題教學(xué)；二、注重審題和解題思路的探索過程，培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想思維與邏輯思維；三、注重“一題多解”“一題多變”“多解歸一”，優(yōu)化學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維；四、強(qiáng)化學(xué)生的解題反思，優(yōu)化學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)，提升思維品質(zhì)。

數(shù)學(xué)解題數(shù)學(xué)思維

解題是中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要活動(dòng)，合理的數(shù)學(xué)解題活動(dòng)有助于加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解與鞏固，有助于形成和完善合理的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而提高學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)能力。然而，解題是學(xué)好數(shù)學(xué)的必要條件，但絕對(duì)不是充分條件。解題的數(shù)量與學(xué)習(xí)的質(zhì)量不成正比，與成績(jī)也不是絕對(duì)的相關(guān)，有時(shí)甚至起反作用。那么，如何在教學(xué)過程中開展解題活動(dòng)，既能發(fā)揮解題的巨大作用，又能避免解題帶來的消極影響呢？下面是我以一個(gè)題目的解題教學(xué)為例，介紹一下我在教學(xué)實(shí)踐中積累的一些不成熟的做法。

題目：在銳角△ABC中內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c。已知A=60°，a=6，b+c=8求△ABC的面積。

首先，精心選擇習(xí)題進(jìn)行解題教學(xué)。

解題的數(shù)量與學(xué)習(xí)的質(zhì)量并不成正比，課堂中的習(xí)題量過大，將會(huì)使學(xué)生忙于應(yīng)付，而無暇分析、總結(jié)解題方法和題目中涉及的知識(shí)點(diǎn)，以及許多題目中存在的本質(zhì)思想，并不利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的消化吸收。因此，在解題教學(xué)中要精心選擇題目讓學(xué)生進(jìn)行解答，只有精心選擇的問題，才能夠起到事半功倍的效果。

上面的題目是2013年浙江（文）第18題的第二問，該題目既可以利用正弦定理也可以利用余弦定理進(jìn)行求解，而且，通過對(duì)題目的合理變式，可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解三角形的本質(zhì)。因此，在解三角形的教學(xué)中我選擇了這個(gè)題目進(jìn)行教學(xué)。

其次，注重審題和解題思路的探索過程，培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想思維與邏輯思維。

審題是解題的開始，認(rèn)真、仔細(xì)的審題，能夠有效地挖掘題目中蘊(yùn)涵的信息，提高解題的正確率和速度。尋找解題思路是解題活動(dòng)中關(guān)鍵的一步，它直接關(guān)系到能否完成解題活動(dòng)。通過審題和解題思路的探索，建立起已知、未知與已掌握知識(shí)之間的連接，發(fā)現(xiàn)解題途徑，提高解題能力。引導(dǎo)學(xué)生探索解題思路有利于培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想思維與邏輯思維。那么，我們應(yīng)該如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行審題和探索解題思路呢？我進(jìn)行了以下兩點(diǎn)的嘗試，取得了很好的效果。

一、引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目中顯見的信息和隱藏的信息有哪些？

如：題目中顯見的信息為已知的三個(gè)條件。

隱含的信息為：1.cosA＞0，cosB＞0，cosC＞0；

2.A+B＞90°，A+C＞90°則30°＜B＜90°，30°＜C＜90°。

二、引導(dǎo)學(xué)生思考題目中的信息能夠給我們帶來哪些聯(lián)想？

1.【題目】中的A=60°，a=6會(huì)讓我們聯(lián)想到解三角形的余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，將A= 60°，a=6代入，可得到一個(gè)關(guān)于b，c的方程，再結(jié)合已知條件b+c=8，利用方程思想可解得b，c，從而此三角形可解，自然可求得S△ABC。

在審題與探索思路的過程中不僅滲透了方程思想的應(yīng)用，而且培養(yǎng)了學(xué)生的聯(lián)想思維和邏輯思維。

再次，注重“一題多解”“一題多變”“多解歸一”，發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，優(yōu)化學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

對(duì)于同一個(gè)題目，教師有意識(shí)地激發(fā)學(xué)生從不同的角度、不同的結(jié)構(gòu)形式去思考，用不同的思路去解答同一個(gè)問題，可以提高學(xué)生思維的創(chuàng)造性、靈活性，使學(xué)生在積極主動(dòng)的狀態(tài)下探索，為學(xué)生的思維發(fā)散提供情景、條件和機(jī)會(huì)。

對(duì)于上面的【題目】，學(xué)生通過審題分析，給出了如下的兩種方法:

方法1：在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA有b2+c2-bc=36①，

在授課時(shí)，學(xué)生都覺得思路易理解但是過程太繁瑣，于是，有了下面的改進(jìn)方法。

將這兩種方法進(jìn)行對(duì)比，可以明顯看出，方法二中利用了“整體思想”只需求出bc即可，而不需要分別求出b，c的值。而且，在計(jì)算過程中，分析到了b2+c2與b+c的關(guān)系：b2+c2=（b+c）2-2bc，然后將b+c整體代入進(jìn)行求解，大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算量。

學(xué)生對(duì)于這幾種方法表示認(rèn)同，但是，在學(xué)生的腦海里這些知識(shí)仍然是零散的，這時(shí)，進(jìn)行“多解歸一”的啟發(fā)和引導(dǎo)就顯得非常必要。

對(duì)于第一種方法，是將已知條件轉(zhuǎn)換為關(guān)于b，c的方程，再進(jìn)一步求出面積。本題也可以借助于正弦定理和方程思想求解。這兩種方法均體現(xiàn)了方程思想。而且，從解答的結(jié)果分析，我們可以求出這個(gè)三角形的b，c，∠B，∠C，S△ABC，即此三角形可解。在教學(xué)過程中，我進(jìn)行了如下追問：“若將結(jié)論與b+c=8互換，其他條件不變，能否求解呢？”學(xué)生快速地給出了答案。我繼續(xù)追問：“若用A=60°與結(jié)論對(duì)調(diào)呢？”，“若用a=6與結(jié)論對(duì)調(diào)呢？”這時(shí)學(xué)生很快意識(shí)到了問題的本質(zhì)，對(duì)于一個(gè)三角形，若已知三個(gè)不同的條件（至少一個(gè)條件指向邊），則此三角形可解。學(xué)生都為這一發(fā)現(xiàn)而興奮，學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)也同時(shí)得到了優(yōu)化。但是，如果我們?cè)谶@里淺嘗輒止，那么，這個(gè)題目的作用還沒有完全發(fā)揮出來，有種“不夠勁兒”的感覺。于是我又進(jìn)行了下面的追問：“如果我將條件中的b+c=8去掉，那么三角形還能解么？”，答案當(dāng)然是否定的，這時(shí)三角形不唯一。我繼續(xù)追問：“那么，我們能否求出三角形面積的最大值呢？”（這時(shí)，我們就將這個(gè)問題變式為了2013新課標(biāo)Ⅱ（理）第17題第2問的高考題）。

學(xué)生通過認(rèn)真思考和小組合作，給出了如下作答：

我繼續(xù)追問：若保留條件能否求出的最大值呢？（就轉(zhuǎn)化為了2009年福建（理）第18題第2問的類型）學(xué)生的思維被完全激活了，很快就給出了答案。

通過對(duì)題目的變式，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一個(gè)三角形來說，如果我們只知道三角形的兩個(gè)條件，那么這樣的三角形是不確定的，我們只能得到三角形的部分信息。

由此可見，在整個(gè)過程中采用“一題多解”“一題多變”“多解歸一”的教學(xué)不僅使學(xué)生認(rèn)識(shí)到了如何利用正弦定理和余弦定理解三角形，而且，在解題的過程中，發(fā)現(xiàn)了問題的本質(zhì)。這對(duì)于優(yōu)化學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高思維的靈活性，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，有重要的意義，可以使學(xué)生的思維既能散的開，又能聚得攏。

最后，強(qiáng)化學(xué)生的解題反思，優(yōu)化學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，知識(shí)之間有著緊密的內(nèi)在聯(lián)系，這種聯(lián)系是否能夠在學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中建立起來，解題反思是有效地途徑之一。我們知道，知識(shí)之間的有效連接在其數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中越多，越有利于進(jìn)一步學(xué)習(xí)，當(dāng)然也越有利于知識(shí)的提取、遷移、舉一反三。培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成解題反思的好習(xí)慣，經(jīng)常對(duì)解題進(jìn)行研究，有利于幫助學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)在其數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中建立起網(wǎng)絡(luò)連接，從而使數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)更加完善。

在教學(xué)過程中，我主要從以下兩個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題反思：

1.對(duì)解題過程進(jìn)行反思。通過對(duì)解題過程的反思，能夠?qū)⑺玫降闹R(shí)連接起來，通過對(duì)問題多種解法的探討，將更多的知識(shí)建立起聯(lián)系。

2.對(duì)知識(shí)與思想方法的反思。數(shù)學(xué)思想方法對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)、理論的掌握、問題的解決起著指導(dǎo)作用，因此，在解題反思中，對(duì)問題解決過程中用到的思想方法進(jìn)行反思回顧無疑是有重要意義的。在題目中方程思想的應(yīng)用可使學(xué)生從整體上把握這道題，迅速形成解決這一問題的思路與方法。

波利亞曾在《數(shù)學(xué)解題》中強(qiáng)調(diào)指出：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練”，“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”。數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，如何在解題過程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，是我一直在教學(xué)實(shí)踐中探索、鉆研的課題，深知自己的做法還有很多不足和需要完善的地方，我會(huì)繼續(xù)探索，也非常期待同行們的指導(dǎo)！

[1]馬波.中學(xué)數(shù)學(xué)解題研究[M].北京師范大學(xué)出版社，2013.

[2]周春荔.數(shù)學(xué)思維概論[M].北京師范大學(xué)出版社，2012.

（責(zé)編 趙建榮）