谷 音，莊舒曼，卓衛(wèi)東，孫 穎

（福州大學(xué) 土木工程學(xué)院，福建 福州 350116）

1 引 言

阪神地震導(dǎo)致地鐵車(chē)站的破壞引起了學(xué)者對(duì)地下結(jié)構(gòu)抗震的重視。隨著地下空間開(kāi)發(fā)利用日益增加，近年來(lái)學(xué)者對(duì)考慮軟土地基條件下的地下結(jié)構(gòu)抗震方面進(jìn)行了廣泛研究，在有限元與無(wú)限元混合方法以及人工邊界、軟土本構(gòu)等研究中獲得了許多成果[1-6]。飽和土在自然界中廣泛存在，我國(guó)南方含水豐富地區(qū)軟土地基條件下大量修建地鐵等地下結(jié)構(gòu)，考慮飽和土兩相介質(zhì)性能更接近實(shí)際地質(zhì)條件。文獻(xiàn)[7]研究表明，飽和土體和彈性土體的位移響應(yīng)具有明顯區(qū)別，因此，應(yīng)考慮飽和土性質(zhì)對(duì)結(jié)構(gòu)的影響。

廣泛存在于自然界的飽和土層可以簡(jiǎn)化為兩相多孔介質(zhì)的物理模型進(jìn)行分析，流體飽和多孔介質(zhì)波動(dòng)問(wèn)題涉及的波動(dòng)方程為固-液耦合的二階偏微分方程組。基于飽和多孔介質(zhì)動(dòng)力響應(yīng)的復(fù)雜性，理論研究主要局限在簡(jiǎn)單邊界情況以及數(shù)值求解方法，考慮飽和地基地下結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)的數(shù)值研究主要集中在頻域及彈性分析。Prevost 等[8]提出了用于土壩彈塑性地震反應(yīng)分析的二維有限元數(shù)值計(jì)算方法，土層可以考慮多層的飽和多孔介質(zhì)的情況，土骨架按照非線(xiàn)性進(jìn)行處理。趙成剛等[9-10]提出了用時(shí)域顯式有限元方法來(lái)求解流體飽和兩相多孔介質(zhì)動(dòng)力方程，研究了飽和無(wú)黏性土沉積層表面的無(wú)質(zhì)量剛性基礎(chǔ)的動(dòng)力反應(yīng)，提出了慣性質(zhì)量耦合項(xiàng)影響下的流體飽和兩相多孔介質(zhì)動(dòng)力反應(yīng)計(jì)算分析的時(shí)域顯式有限元方法，分析了兩相介質(zhì)中固相和液相動(dòng)位移在慣性質(zhì)量耦合項(xiàng)下的影響。杜修力等[11]在進(jìn)行流體飽和兩相多孔介質(zhì)動(dòng)力問(wèn)題計(jì)算分析時(shí)采用了一種新的時(shí)域顯式逐步積分格式。趙江倩等[12]建立和求解飽和土中圓形隧道在地震加速度作用下的動(dòng)力控制方程，張鴻等[13]基于Biot 理論分析了地震P 波作用下飽和土體重圓形隧洞襯砌的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題，采用波函數(shù)展開(kāi)法求解飽和土體重的散射波場(chǎng)。

考慮飽和介質(zhì)的數(shù)值方法用于解決較為復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，由于自由度計(jì)算量大，占用內(nèi)存及時(shí)間消耗較大，處理非線(xiàn)性問(wèn)題遇到困難，限制了上述方法的應(yīng)用。為克服這些缺點(diǎn)，引入了等效黏彈性人工邊界單元，提出考慮飽和土層的人工邊界和飽和土非線(xiàn)性的有限元分析方法，將結(jié)構(gòu)周?chē)耐馏w視為固-液二相介質(zhì)，建立了飽和土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用模型，對(duì)地下結(jié)構(gòu)地震非線(xiàn)性反應(yīng)進(jìn)行數(shù)值模擬，對(duì)比了數(shù)值方法中考慮飽和土和單相土?xí)r的情況，并與振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，通過(guò)數(shù)值參數(shù)分析，研究了飽和土-地下結(jié)構(gòu)動(dòng)力非線(xiàn)性性能。

2 飽和土-結(jié)構(gòu)有限元時(shí)域數(shù)值模型

2.1 飽和土介質(zhì)的等效人工邊界單元

對(duì)于復(fù)雜的幾何形狀以及考慮近場(chǎng)區(qū)域介質(zhì)的非均勻和非線(xiàn)性時(shí)，分析無(wú)限或半無(wú)限空間的時(shí)域動(dòng)力問(wèn)題通常采用有限元模型的數(shù)值方法進(jìn)行分析，此時(shí)采用的有限域?yàn)榱朔从碂o(wú)約束域能量輻射效應(yīng)影響，需引入虛擬的人工邊界條件。劉光磊等[14]、王子輝等[15]研究了飽和無(wú)限地基的數(shù)值模擬的人工邊界問(wèn)題，為時(shí)域分析飽和土-結(jié)構(gòu)的動(dòng)力相互作用提供了基礎(chǔ)。對(duì)于常見(jiàn)的實(shí)際工程而言，散射波場(chǎng)的假定較平面波的假定相比更符合實(shí)際情況，由其構(gòu)造出的邊界不僅能較好地模擬地基的輻射阻尼，而且也能模擬原場(chǎng)介質(zhì)的彈性恢復(fù)能力，具有很好的低頻穩(wěn)定性。

Zienkiewicz 的研究表明，一般情況下如中等速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以忽略流體加速度，此假定適用于包括地震工程在內(nèi)的大部分中低振動(dòng)頻率的工程問(wèn)題[14]。以此假定為基礎(chǔ)，針對(duì)柱面壓縮波從徑向?yàn)? 的位置向四周傳播，基本控制方程可寫(xiě)成含有未知量u和p 的形式：

式中：u為位移；p為孔隙水壓；λ 與μ為土骨架的拉梅常數(shù)；ρ為密度；和分別為對(duì)徑向位移的二次和一次微分，和為對(duì)時(shí)間的二次和一次微分；kf為動(dòng)力滲透系數(shù)；α、Q為與固體和流體的壓縮性相關(guān)的系數(shù)：α=1-Kb/Ks，1/Q=(α-n)/Ks+n /Kf，n為孔隙度，Ks、Kf和Kb分別為土顆粒、流體和土骨架的體積模量。

根據(jù)文獻(xiàn)[14]，在滲透性較低的情況下可先假設(shè)滲透系數(shù)為0，從而求解得到邊界上各量之間的關(guān)系。在推導(dǎo)流量邊界條件時(shí)則采用真實(shí)的滲透系數(shù)，求解上述方程可得邊界滿(mǎn)足以下關(guān)系：

式（3）即為二維黏彈性傳輸邊界在法向的邊界方程。選用適當(dāng)?shù)脑?shù)，可使與元件系統(tǒng)相連的邊界微元面上的正應(yīng)力與該處位移、速度等量之間滿(mǎn)足式（3）的關(guān)系。根據(jù)文獻(xiàn)[16]，可采用與實(shí)體單元替換彈簧-阻尼單元體系，即在邊界上沿邊界面法向延伸一層厚度相等的實(shí)體單元，并將外層邊界固定。則其等效剪切模量、彈性模量和等效單元的阻尼系數(shù)分別：

式中：qr為流量；為徑向加速度。

2.2 地震輸入及分析方法

波動(dòng)輸入通過(guò)在人工邊界單元的節(jié)點(diǎn)上施加等效荷載，使其作用下節(jié)點(diǎn)位移和應(yīng)力分別與原波場(chǎng)相同。采用軟件編制輔助計(jì)算程序獲得模型中自由波場(chǎng)的人工邊界節(jié)點(diǎn)位移和應(yīng)力值，根據(jù)文獻(xiàn)[16]，可按照式（7）計(jì)算人工邊界單元內(nèi)節(jié)點(diǎn)上施加的等效節(jié)點(diǎn)荷載，計(jì)算流程如圖1 所示。

圖1 地震波輸入程序流程圖Fig.1 Program flow chart of inputting earthquake waves

式中：下標(biāo)BN為B 節(jié)點(diǎn)的法向邊界；BT為B 節(jié)點(diǎn)的切向邊界；PBN(t)和PBT(t)分別表示法向和切向人工邊界節(jié)點(diǎn)B 上在t 時(shí)刻施加的等效荷載，其中xB，yB是人工邊界節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)；τ0為切向應(yīng)力；為法向位移；為切向位移。

2.3 材料本構(gòu)模型

飽和多孔介質(zhì)的動(dòng)力反應(yīng)特性基本呈現(xiàn)出彈塑性性質(zhì)[10]，根據(jù)模擬的黏土材料性質(zhì)，土體本構(gòu)材料選用基于Biot 模型的u-p 形式的孔壓獨(dú)立彈塑性材料，如圖2 所示。該材料適用于模擬對(duì)于材料的剪切性能約束改變較為敏感的單調(diào)或者循環(huán)反應(yīng)，塑性?xún)H在偏離應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)時(shí)出現(xiàn)，曲線(xiàn)公式及具體參數(shù)取值參見(jiàn)參考文獻(xiàn)[17]。

圖2 土材料應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)Fig.2 Stress-strain curve of soil

混凝土柱采用纖維截面單元考慮其非線(xiàn)性動(dòng)力性能。約束混凝土采用Scott 修正的Kent-Park 混凝土計(jì)算模型，即在Kent-Park 模型的基礎(chǔ)上通過(guò)改變混凝土受壓骨架曲線(xiàn)的峰值應(yīng)力、峰值應(yīng)軟化階段的斜率來(lái)達(dá)到橫向箍筋的約束效果，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線(xiàn)如圖3(a)所示[17-19]。鋼筋采用經(jīng)過(guò)Filippou修正后的 Menegotto-Pinto 本構(gòu)計(jì)算模型[19]，Menegotto-Pinto 本構(gòu)模型如圖3(b)所示，其中σ為應(yīng)力，ε為應(yīng)變，E為彈性模量，具體參數(shù)取值參考文獻(xiàn)[19]。

圖3 鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)本構(gòu)模型Fig.3 Constitutive models of reinforced concrete structure

3 飽和土-地鐵車(chē)站地震反應(yīng)分析

3.1 有限元模型

以地鐵某飽和黏土地基條件下的雙柱三跨地下兩層車(chē)站為工程背景，地下一層為站廳層，地下二層為站臺(tái)層。車(chē)站主體為整體結(jié)構(gòu)，中間內(nèi)設(shè)框架柱。車(chē)站主體結(jié)構(gòu)長(zhǎng)為172 m，寬為23.8 m，高為13.46 m。頂板厚0.8 m，中板厚0.4 m，底板厚0.9 m，中柱截面邊長(zhǎng)尺寸為1 m，站臺(tái)中心處埋深約15.86 m。車(chē)站結(jié)構(gòu)橫截面圖如圖4 所示。

基于Opensees 平臺(tái)建立了飽和土-結(jié)構(gòu)整體有限元模型，如圖5 所示，模型尺寸為50 m×100 m。根據(jù)所在地質(zhì)的黏土特性，采用了2.3 節(jié)介紹的基于u-p 考慮孔壓獨(dú)立的多相彈塑性材料模擬飽和兩相介質(zhì)模型。單元設(shè)置為2 m×2 m 的平面四邊形流-固耦合單元。在土體底部及左右邊界都施加了等效黏彈性人工邊界單元，參數(shù)根據(jù)式（4）～（6）進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)單元特性，邊界設(shè)置為不排水條件，自由面表面為排水條件。梁材料為C35 混凝土，柱采用C40 混凝土，梁和柱采用纖維截面的非線(xiàn)性梁柱單元進(jìn)行離散，各材料本構(gòu)如圖2、3 所示。車(chē)站所在土體為單層飽和土，上覆土層厚5 m，根據(jù)實(shí)測(cè)得到物理參數(shù)見(jiàn)表1。含水率大于60%時(shí)，按照飽和土考慮。根據(jù)文獻(xiàn)[21]，取不考慮滑移和脫開(kāi)時(shí)更不利的情況進(jìn)行分析。

圖4 車(chē)站結(jié)構(gòu)橫截面圖(單位:mm)Fig.4 Cross-section of subway station(unit:mm)

圖5 飽和土-車(chē)站整體有限元模型Fig.5 Finite element model of saturated soil-station system

表1 土層物理特性Table 1 Soil parameters

3.2 人工邊界單元精度驗(yàn)證

取與表1 同樣參數(shù)，建立單元尺寸為1 m×1 m的大小為10 m×10 m范圍的土層驗(yàn)證等效邊界單元的精度，如圖6(a)所示，其中o、a和b為觀(guān)測(cè)點(diǎn)。邊界單元的參數(shù)按照式（4）～（6）計(jì)算。施加沖擊荷載及觀(guān)測(cè)點(diǎn)如圖6(b)所示。

圖7 顯示了二維問(wèn)題中地表受沖擊荷載作用時(shí)，用黏彈性邊界、擴(kuò)展解和固定邊界分別計(jì)算的結(jié)果。從結(jié)果可以看出，黏彈性邊界較好的模擬約束土能量的輻射作用，計(jì)算結(jié)果與擴(kuò)展解十分接近。

圖6 驗(yàn)證算例Fig.6 Verify example

圖7 觀(guān)測(cè)點(diǎn)時(shí)程圖Fig.7 Time history curves of different points

3.3 地震波輸入

根據(jù)工程所在場(chǎng)地類(lèi)別為Ⅳ類(lèi)，選取了Ⅳ類(lèi)場(chǎng)地條件下不同頻譜的Kobe 地震波和Elcentro 波進(jìn)行地震響應(yīng)分析。調(diào)整為峰值為0.1 g 的加速度及其相應(yīng)位移-時(shí)程曲線(xiàn)分別如圖8 所示。

3.4 數(shù)值計(jì)算與振動(dòng)臺(tái)模型試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

采用鋼箱、原型土、鍍鋅鋼絲和微?；炷林谱餍”壤吣Ｐ团c數(shù)值方法相互驗(yàn)證。為了消除箱壁鋼板的邊界效應(yīng)，文獻(xiàn)[22]對(duì)鋼箱邊界效應(yīng)進(jìn)行了研究。根據(jù)相似理論的要求及振動(dòng)臺(tái)設(shè)備承載能力，確定模型與原型結(jié)構(gòu)幾何尺寸相似比為1/30，模型及應(yīng)變布置見(jiàn)圖9，其中S為上層柱應(yīng)變片編號(hào)，X 表示下層柱應(yīng)變片編號(hào)，Z為中柱編號(hào)，模型相似比及尺寸參數(shù)詳見(jiàn)文獻(xiàn)[23]，加速度峰值相似比為7.5，應(yīng)力為1/4，應(yīng)變?yōu)?，位移比為1/30。對(duì)應(yīng)實(shí)際車(chē)站峰值加速度為模型車(chē)站構(gòu)件截面尺寸較小，為防止人工配重過(guò)程中對(duì)模型車(chē)站構(gòu)件造成損傷，忽略重力相似率，直接采用彈性相似率。

由于重量限制，振動(dòng)臺(tái)加載最大峰值為0.5 g，根據(jù)相似比，對(duì)應(yīng)實(shí)際地震波峰值加速度為0.067 g。振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)條件下采用小比例尺模型，存在包括重力失真、現(xiàn)有試驗(yàn)條件下高頻成分被濾掉等問(wèn)題，與數(shù)值模型結(jié)果比較時(shí)主要分析了二者結(jié)果是否具有相同的變化規(guī)律,將試驗(yàn)和數(shù)值結(jié)果放于同一圖中,對(duì)比了數(shù)值分析采用飽和土、單相土及試驗(yàn)結(jié)果，其中左豎向坐標(biāo)統(tǒng)一為車(chē)站相對(duì)高度，上橫坐標(biāo)為試驗(yàn)值，下橫坐標(biāo)為數(shù)值分析分別采用飽和單向土計(jì)算的結(jié)果。

圖8 輸入地震波加速度與位移時(shí)程Fig.8 Time history waves of acceleration and velocity

圖9 應(yīng)變片布置圖Fig.9 Arrangement of strain foil

圖10為地鐵車(chē)站側(cè)墻外部靠近結(jié)構(gòu)底板、中板及頂板土壓力峰值數(shù)值計(jì)算結(jié)果，試驗(yàn)值與數(shù)值解規(guī)律相似，都為中板土壓力較大，底板以及頂板土壓力相對(duì)較小，呈現(xiàn)中間大兩頭小的趨勢(shì)。

圖11為地鐵車(chē)站側(cè)墻外部靠近結(jié)構(gòu)底板、中板及頂板加速度峰值結(jié)果?？紤]飽和土情況下底板加速度最小，中板次之，頂板最大。

3.5 車(chē)站數(shù)值模型反應(yīng)分析

圖10 土壓力變化規(guī)律Fig.10 Variation law of soil pressure

圖11 加速度變化規(guī)律Fig.11 Variation law of acceleration

圖12 中柱應(yīng)變規(guī)律Fig.12 Strain of middle column

圖12為結(jié)構(gòu)中柱應(yīng)變?cè)囼?yàn)結(jié)果與數(shù)值模擬的比較。圖中對(duì)應(yīng)各點(diǎn)觀(guān)測(cè)點(diǎn)從上至下依次為A，B，C和D，如圖9 所示，分別為上層中柱柱頂和柱底，下層中柱柱頂和柱底。分析可以看出，考慮飽和土情況下計(jì)算所得應(yīng)變較大，與試驗(yàn)所得結(jié)果更為接近。在橫向地震過(guò)程中，結(jié)構(gòu)各層會(huì)產(chǎn)生相對(duì)位移，層間位移較大會(huì)造成結(jié)構(gòu)的破壞。圖13 給出了地鐵車(chē)站結(jié)構(gòu)在橫向地震作用下模型中柱在頂板、中板和下層底板位置的最大位移。表2為上、下兩層中柱的層間位移，可以看出，Kobe 波作用下上層柱層間位移較大，考慮飽和土情況下所得的層間位移比簡(jiǎn)化為單相土?xí)r大，Elcentro 波作用下考慮飽和土的層間位移比單相土小。

圖13 車(chē)站位移時(shí)程圖Fig.13 Time history curves of station displacement

表2 各層層間位移最大值(單位:mm)Table 2 The maximum displacement between each layer(unit:mm)

在橫向地震作用下，通常中柱兩端所承受的彎矩最大。圖14 比較了分別采用非線(xiàn)性飽和土單元和單相土情況下，不同地震波入射時(shí)中柱頂端最大彎矩時(shí)程圖?？梢钥闯?，考慮飽和土情況下得到的柱端彎矩值與簡(jiǎn)化為單相土情況下計(jì)算所得的彎矩值大。

圖14 上層中柱頂端彎矩Fig.14 Top moment of the middle column

4 結(jié) 論

（1）研究了考慮飽和土介質(zhì)傳播特性的等效黏彈性人工邊界單元，并進(jìn)行了數(shù)值驗(yàn)證，基于地震波轉(zhuǎn)化為作用于人工邊界節(jié)點(diǎn)上等效荷載的方法實(shí)現(xiàn)了波動(dòng)輸入。

（2）通過(guò)與地鐵車(chē)站振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，分別分析了考慮飽和土非線(xiàn)性性質(zhì)和僅考慮單相介質(zhì)情況下地鐵車(chē)站的地震響應(yīng)規(guī)律。在選取的兩條不同地震波作用下，采用考慮多相介質(zhì)的飽和土計(jì)算的結(jié)果與單相土的計(jì)算結(jié)果相似，與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，具有相似的分布規(guī)律：沿著地鐵車(chē)站結(jié)構(gòu)高度方向上側(cè)墻外部土壓力分布成中間大兩邊小的趨勢(shì)，頂板峰值加速度最大，底板最小，頂板側(cè)向位移最大，中板次之，底板最小，頂層層間位移大于底層。在地震作用下，中柱所受到內(nèi)力比較大。

（3）對(duì)數(shù)值分析結(jié)果的比較可以看出，簡(jiǎn)化為單相土計(jì)算所得的土壓力、加速度、側(cè)向位移以及結(jié)構(gòu)內(nèi)力普遍較考慮飽和土情況下計(jì)算所得結(jié)果偏小。與單相固體介質(zhì)相比，采用考慮飽和多孔介質(zhì)的特性分析地基土較為合理。

[1]鄭永來(lái),劉曙光,楊林德,等.軟土中地鐵區(qū)間隧道抗震設(shè)計(jì)研究[J].地下空間,2003,23(2):111-118.ZHENG Yong-lai,LIU Shu-guang,YANG Lin-de,et al.A study on seismic design of subway tunnel in soft clay[J].Underground Space,2003,23(2):111-118.

[2]莊海洋,陳國(guó)興.軟弱地基淺埋地鐵區(qū)間隧洞的地震反應(yīng)分析[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),2005,24(14):2506-2512.ZHUANG Hai-yang,CHEN Guo-xing.Earthquake response of shallow subway tunnels in soft foundation[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2005,24(14):2506-2512.

[3]劉晶波,李彬,谷音.地鐵盾構(gòu)隧道地震反應(yīng)分析[J].清華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2005,45(6):757-760.LIU Jing-bo,LI Bin,GU Yin.Seismic response analysis of shielded subway tunnels[J].Journal of Tsinghua University(SCi&Tech),2005,45(6):757-760.

[4]蔣英禮,劉洋.軟土地鐵車(chē)站接頭結(jié)構(gòu)在強(qiáng)地震作用下的響應(yīng)研究[J].鐵道建筑,2010,(8):84-87.JIANG Ying-li,LIU Yang.Study on response of the joint of the soft soil-subway station under strong motion[J].Railway Engineering,2010(8):84-87.

[5]姜忻良,徐余,鄭剛.地下隧道-土體系地震反應(yīng)分析的有限元與無(wú)限元耦合法[J].地震工程與工程振動(dòng),1999,19(3):22-26.JIANG Xin-liang,XU Yu,ZHENG Gang.Finite element and infinite element coupling method for seismic analysis of soil-underground tunnel system[J].Earthquake Engineering and Engineering Vibration,1999,19(3):22-26.

[6]MAZZONI S,MCKENNA F,SCOTT M H,et al.OpenSees command language manual[M].[S.l.]:Pacific Earthquake Engineering Research(PEER)Center,2006.

[7]曾晨,孫宏磊,蔡袁強(qiáng),等.簡(jiǎn)諧荷載作用下飽和土體中圓形襯砌隧道三維動(dòng)力響應(yīng)分析[J].巖土力學(xué),2014,35(4):1147-1156.ZENG Chen,SUN Hong-lei,CAI Yuan-qiang,et al.Analysis of three-dimensional dynamic response of a circular lining tunnel in saturated soil to harmonic loading[J].Rock and Soil Mechanics,2014,35(4):1147-1156.

[8]YIAGOS A N,PREVOST J H.Two-phase elasto-plastic seismic response of earth dams:Applications[J].Soil Dynamics and Earthquake Engineering,1991,10(7):371-381.

[9]李偉華,趙成剛,杜楠馨.軟弱飽和土夾層對(duì)地鐵車(chē)站地震相應(yīng)的影響分析[J].巖土力學(xué),2010,31(12):3958-3970.LI Wei-hua,ZHAO Cheng-gang,DU Nan-xin.Analysis of effects of saturated soft interlayer on seismic responses of metro station[J].Rock and Soil Mechanics,2010,31(12):3958-3970.

[10]李亮,杜修力,趙成剛,等.流體飽和兩相多孔介質(zhì)動(dòng)力反應(yīng)計(jì)算分析[J].巖土力學(xué),2008,29(1):113-118.LI Liang,DU Xiu-li,ZHAO Cheng-gang,et al.Calculation and analysis of dynamic response of fluid-saturated porous media[J].Rock and Soil Mechanics,2008,29(1):113-118.

[11]杜修力,趙密,王進(jìn)廷.近場(chǎng)波動(dòng)模擬的一種應(yīng)力人工邊界[J].力學(xué)學(xué)報(bào),2006,38(1):49-56.DU Xiu-li,ZHAO Mi,WANG Jin-ting.A stress artificial boundary in fea for near-field wave problem[J].Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2006,38(1):49-56.

[12]趙江倩,劉優(yōu)平,余巍偉,等.地震加速度作用下飽和土中深埋隧道的動(dòng)力響應(yīng)[J].巖土工程學(xué)報(bào),2013,35(增刊1):418-424.ZHAO Jiang-qian,LIU You-ping,YU Wei-wei,et al.Dynamic response of deep buried tunnels in saturated soil to effect of seismic acceleration[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering,2013,35(Supp.1):418-424.

[13]張鴻,高謙,徐斌,等.地震P 波作用下飽和土中考慮剪切與轉(zhuǎn)動(dòng)變形的襯砌結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析[J].中南大學(xué)學(xué)報(bào),2014,45(6):1943-1951.ZHANG Hong,GAO Qian,XU Bin,et al.Dynamic response of tunnel lining considering both rotary and shear deformation embedded in saturated soil with seismic P wave[J].Journal of Central South University(Science and Technology),2014,45(6):1943-1951.

[14]劉光磊,宋二祥.飽和無(wú)限地基數(shù)值模擬的黏彈性傳輸邊界[J].巖土工程學(xué)報(bào),2007,28(12):2128-2133.LIU Guang-lei,SONG Er-xiang.Visco-elastic transmitting boundary for numerical analysis of infinite saturated soil foundation[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering,2007,28(12):2128-2133.

[15]王子輝,趙成剛,董亮.流體飽和多孔介質(zhì)黏彈性動(dòng)力人工邊界[J].力學(xué)學(xué)報(bào),2006,38(5):605-610.WANG Zi-hui,ZHAO Cheng-gang,DONG Liang.A viscous-spring dynamical artificial boundary for saturated porous media[J].Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2006,38(5):605-610.

[16]劉晶波,谷音,杜義欣.一致黏彈性人工邊界及黏彈性邊界單元[J].巖土工程學(xué)報(bào),2006,28(9):1070-1075.LIU Jing-bo,GU Yin,DU Yi-xin.Consistent viscous-spring artificial boundaries and viscous-spring boundary elements[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering,2006,28(9):1070-1075.

[17]SILVIA M,FRANK M,MICHAEL H S.OpenSees users manual[R].Berkeley:PEER,University of California,2004.

[18]SCOTT B D,PARK R,PRIESTLEY M J N.Stress-strain behavior of concrete confined by overlapping hoops at low and high strain rates[J].ACI Journal,1982,79(2):13-27.

[19]KENT D C,PARK R.Flexural members with confined concrete[J].Journal of the Structural Division,ASCE,1971,97(7):1969-1990.

[20]MENEGOTTO M,PINTO P E.Method of analysis for cyclically loaded reinforced concrete plane frames including changes in geometry and non-elastic behavior of elements under combined normal force and bending[C]// IABSE Symposium on Resistance and Ultimate Deformability of Structures.Lisbon:[s.n.],1973.

[21]劉如山.強(qiáng)地震動(dòng)作用下地鐵結(jié)構(gòu)與土脫開(kāi)滑移的研究[J].地震工程與工程振動(dòng),2004,24(6):136-141.LIU Ru-shan.The analysis of slippage and coming away between the subway structure and the soil subjected to strong ground motions[J].Earthquake Engineering and Engineering Vibration,2004,24(6):136-141.

[22]蔡隆文,谷音,卓衛(wèi)東,等.基于有限元分析的振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)土箱邊界效應(yīng)研究[C]//第23 屆全國(guó)結(jié)構(gòu)工程學(xué)術(shù)會(huì)議論文集(第Ⅱ冊(cè)).廣州:[s.n.]:2014,10.CAI Long-wen,GU Yin,ZHUO Wei-dong,et al.Study on the boundary effect of the soil-box on shaking table based on finite element analysis[C]//Proceedings of 23rd Conference on Structure Engineering(Book II).Guangzhou:[s.n.]:2014,10.

[23]諶凱.基于振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)的地鐵車(chē)站結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析[D].福州:福州大學(xué),2014.CHEN Kai.Analysis of seismic responses of subway station based on shaking table tests[D].Fuzhou:FuzhouUniversity,2014.