鄧正定，王 楨，劉紅巖

（1.中國鐵道科學研究院，北京 100081；2.中鐵西北科學研究院有限公司，甘肅 蘭州 730000；3.中國地質大學（北京）工程技術學院，北京 100083）

1 引言

自然界的巖體中存在大量的節(jié)理、層理等不連續(xù)面，這些含有不連續(xù)結構面的巖體稱為節(jié)理巖體。節(jié)理巖體的定性不僅與完整巖石的強度有關，而且還受巖體內發(fā)育的節(jié)理面所控制。宏觀上節(jié)理巖體由于節(jié)理面的方位、傾角不同而呈現(xiàn)出各向異性的特點，同時也是非均勻分布的。另外，節(jié)理巖體內部還存在許多微小的裂紋分布，這是節(jié)理巖體細觀上的缺陷，由于巖體存在這些宏觀和微觀的缺陷，如何建立有效的節(jié)理巖體動態(tài)本構模型顯得較為困難。目前，對完整巖石的動態(tài)本構模型已經有了廣泛的研究，對含微觀節(jié)理的動態(tài)本構模型也有一定研究，但對于存在各向異性的宏觀節(jié)理的巖體在高應變率下的動態(tài)本構模型研究比較少，如Seamen等[1－2]提出NAG-FRAG模型，該模型利用顯微鏡觀測方法，基于統(tǒng)計學的原理知識，建立了巖體的動態(tài)本構模型。Burlion等[3]提出一個損傷與塑性耦合的本構模型來描述混凝土、巖石等脆性材料的動態(tài)破壞，提出壓縮的弱化效應由塑性應變控制，拉伸損傷由彈性應變所控制，將壓縮損傷和塑性應變耦合起來。劉文韜等[4]基于連續(xù)介質力學的觀點提出了能夠描述巖石塑性變形的連續(xù)損傷本構模型。單仁亮等[5]對大理巖和花崗巖的本構特性進行深入的研究，根據其應力-應變曲線的特點，考慮損傷的影響將統(tǒng)計損傷模型和黏彈性體結合，建立沖擊時效損傷模型，利用模型對大理巖和花崗巖進行曲線擬合。但這些研究都沒有充分考慮節(jié)理巖體中起控制性作用的宏觀節(jié)理及各向異性的特點，因存在一定的偏差，需要對模型進行改進，而實際工程中巖體常處于地震、爆破及開挖擾動等動力荷載作用之下，巖體的破壞失穩(wěn)與節(jié)理巖體的動態(tài)力學特性密切相關[6]。因此，對高應變率下節(jié)理巖體的本構關系研究具有巨大的實際工程應用價值。

在前人研究基礎上，運用分離式霍普金森壓桿裝置（SHPB）對幾種典型幾何特征的節(jié)理巖體在不同高應變率下進行了大量試驗，綜合考慮節(jié)理幾何特征、應變率效應對試驗結果進行合理分析的基礎上，基于復合損傷的分析方法，構造一個能夠描述節(jié)理巖體動態(tài)響應的復合損傷型本構模型，模型中各個參數都有明確的物理意義，以便于工程實際中應用。

2 節(jié)理巖體動態(tài)復合損傷分析

2.1 損傷張量

巖體中存在對巖體力學特性起控制性作用的節(jié)理面，研究的主要難點是節(jié)理巖體的節(jié)理面是各向異性的、不均勻的。由于節(jié)理面的存在，使得節(jié)理巖體的力學特征與完整巖石存在非常大的差異。因此，建立能夠有效描述節(jié)理巖體動態(tài)力學特性的本構關系模型，最主要的是考慮節(jié)理各向異性的特點。

節(jié)理等宏觀缺陷的存在將導致巖體力學性質的弱化及各向異性，為了反映這種影響，目前常采用損傷力學的方法進行描述，假定損傷后的巖體本構關系仍服從虎克定律[7]，則節(jié)理對巖體的損傷則體現(xiàn)為彈性常數的弱化，即節(jié)理巖體的彈性常數與損傷張量之間的關系，可以表示為

式中：E0、E 分別為完整巖塊和節(jié)理巖體的彈性張量；I為單位張量；Ω為節(jié)理巖體損傷張量。

下面以平面問題為例，討論節(jié)理巖體損傷張量的計算。目前，常用二階張量描述節(jié)理巖體的各向異性損傷，假如節(jié)理巖體中存在n 組節(jié)理，則節(jié)理巖體的初始損傷張量為

式中：V為巖體體積；l為節(jié)理平均間距(節(jié)理厚度），n為試件中節(jié)理組數；mi為樣本中第i 條節(jié)理表面上的單位法向矢量；ai為樣本中第i 條節(jié)理表面積，?指前、后兩個矢量的張量積。mi?mi為二階張量。

在自然界的節(jié)理巖體中，節(jié)理間并不是完全沒有物質的，而是往往夾雜著一定的充填物，通過試驗可知，不同的充填物對節(jié)理巖體的損傷有一定的影響，為此這里引入充填物影響系數c，式（2）可以改為

式中：c為充填物系數。

由此可知，初始損傷張量可以很好地反映出節(jié)理幾何特征對節(jié)理巖體損傷的影響。

現(xiàn)假設有一條節(jié)理與y 方向呈θ 角，見圖1，則節(jié)理的外法線張量為

式中：θ為節(jié)理面與y 方向夾角。

圖1 典型節(jié)理面Fig.1 A typical joint surface

則初始損傷張量為

當有n 條平行節(jié)理時，式（5）可推廣為

2.2 損傷變量

前面所述損傷張量也稱初始損傷張量，從式中可以看出，該損傷張量可以很好地表示節(jié)理巖體各向異性損傷的特點，但巖體在加載的過程中，裂紋會繼續(xù)擴展，而該損傷可認為是各向同性的。針對該損傷引入損傷因子D，顯然，該損傷因子D 是與應變和應變率有關的變量。利用這一方法可以得到材料的損傷型本構關系，但最重要的還在于找到損傷變量與本構狀態(tài)參量之間的函數關系，即損傷演化規(guī)律。有的損傷模型將裂紋成核密度作為損傷演化的參數，但裂紋密度難以定量描述；有的損傷模型將某一特定應變作為損傷演化的閥值，但它沒有考慮應變率對損傷演化的貢獻。其實，不管宏觀損傷還是微觀損傷，應變可對損傷有強化作用，應變率對損傷有弱化作用，即共同影響損傷的發(fā)展，因此，將損傷演化方程的一般函數形式表示為

對式（7）作無量綱化處理，則有

由于在動態(tài)荷載加載之前，因為有節(jié)理的存在，節(jié)理巖體已經存在損傷。為了處理方便，將其定量用0D 表示，則損傷演化方程表示為

式中：D0為初始損傷值；εth為損傷閥值應變，通常取最大應變的0.2～0.4倍；a 和b 均為待定系數，用于描述試驗所得損傷演化曲線的形狀；KD為損傷變量系數。需要指出的是，這里的損傷變量是指巖體初始微細觀裂紋以及在加載過程中的裂紋擴展等造成的損傷，并不是前面所述的宏觀節(jié)理而造成的初始損傷，而初始微細觀裂紋相對宏觀節(jié)理可忽略不計，因此，可取D0=0 。

2.3 一維動荷載下的有效應力

由前述可知，節(jié)理巖體同時存在宏微觀兩種損傷，二者都起到了弱化巖體剛度和強度的作用，因此，在節(jié)理巖體力學分析中應綜合考慮兩種不同損傷的共同作用[7]。由于巖石中的微損傷是各向同性，而宏觀節(jié)理、裂隙造成的損傷卻是明顯各向異性的，由式（1）可知，E0為完整無損巖石的彈性模量，結合式（9）可以得到綜合考慮宏微觀兩種損傷的節(jié)理巖體本構模型為

式中：σ為應力張量；ε為應變張量。

用二階損傷張量描述巖體的節(jié)理裂隙時，針對巖體受壓應力情況，考慮到節(jié)理裂隙能夠傳遞部分壓應力和剪應力的特點，引入下列有效應力張量：

式中：λ、η 均為與各參數相關的量。

實際上，在一維動荷載下，因為不考慮圍壓的影響，故只需考慮法線方向與x 軸方向相同的應力即可，故只需取下式：

3 節(jié)理巖體動態(tài)本構模型

3.1 本構關系一般描述

一般來說，任何材料本構模型可以描述為應力、應變、應變率和溫度等物理、力學參量之間的函數關系，其形式可表示為

式中：σ為表觀應力張量，表示含損傷的材料應力。

大量研究結果表明，黏性效應和損傷滯后是產生巖石材料非線性和率敏感性的兩個主要原因。如果不考慮溫度效應，巖體類材料本構方程一般可表示為

當D=0時，表示材料無損傷；當D=1時，表示材料完全喪失承載能力。

由于節(jié)理巖體是有初始損傷的，并是各向異性的，并且初始損傷是以張量的形式表示的，因此，上式都用張量表示：

式中：σi為材料無損傷時的應力張量；I為單位張量；損傷變量D是應變ε、應變率的函數。

在一維沖擊應力下的節(jié)理巖體本構關系模型，即不考慮圍壓的作用，所以式（16）的應力-應變都只考慮加載方向的變化情況，而損傷張量也可以只考慮加載方向，只需方向對應即可，這樣可以減少很多不必要的運算。

3.2 損傷型節(jié)理巖體動態(tài)本構模型

Kinoshita等[8]在進行試驗研究的基礎上認為，巖石的動力學本構特性可以用Bingham模型來描述，見圖2，該模型通常又稱為過應力模型。其本構方程為

圖2 Bingham模型Fig.2 Bingham model

原始的過應力模型本構方程認為，E0、S0、S分別為靜態(tài)壓縮強度后的彈性模量、靜態(tài)壓縮破壞強度和靜態(tài)壓縮強度后的應力，經過修正的過應力模型認為，E0對應于動載應力-應變曲線線彈性部分的斜率，S0和S一樣，都為動載應力-應變曲線線彈性部分的極限[9]，α、β 均為不同巖體材料的固有常數。

于亞倫等[10]曾用修正的過應力模型對幾種磁鐵礦和花崗巖進行曲線擬合，得到了相應的過應力模型本構方程，使得修正后的過應力模型得到很好的應用。但修正后的過應力模型存在明顯的缺點，即不能夠完全反映彈性模量隨應變率變化的特性。同時，對式（17）中的σ ≥ S0的情況，進行積分轉換會發(fā)現(xiàn)，修正的過應力模型使用范圍有局限性，其積分轉換得到：

進行移項簡化后得到

節(jié)理巖體在加載過程中的損傷，主要表現(xiàn)在彈性模量的變化，而加載過程中動態(tài)彈性模量是因節(jié)理巖體動態(tài)損傷引起，即隨損傷變量D而改變，其關系如下：

聯(lián)立式（9）、（20）、（21）可得

式中：σth、εth分別指應力閥值和應變閥值，通常取峰值的0.2～0.4倍。

式（21）中考慮了加載過程中損傷的影響，同時考慮邊界條件ε=εth時，S=σth即可。

式（21）僅僅考慮了加載過程中的動態(tài)損傷，并沒有考慮節(jié)理巖體的初始損傷，故用節(jié)理巖體初始損傷的有效應力 σ*來代替σ，式（21）可變?yōu)?/p>

由式（22）可以看出，除去試驗可得參數之外，還有α、β、KD、a、b、c這6個參數是要通過數據擬合得到的，通過觀察發(fā)現(xiàn)，一些參數可以合并成一個參數，具體如下：

式中：K為損傷系數；A為應變率損傷指數；B為應變損傷指數；c為充填物系數，可得最終簡化的節(jié)理巖體動態(tài)損傷本構關系模型為

4 試驗驗證及分析

4.1 試驗方案

運用SHPB裝置，通過改變節(jié)理巖體試件的節(jié)理面傾角、節(jié)理貫通程度、節(jié)理組數、節(jié)理厚度、節(jié)理間填充物、長徑比及加載率對試件進行沖擊荷載試驗，綜合對比分析各因素的影響規(guī)律。試驗方案按不同因素對試樣動荷載力學特性影響可歸納為表1。

表1 SHPB試驗方案設計Table 1 Scheme of SHPB tests

4.2 試驗與理論比較分析

通過SHPB試驗數據來確定節(jié)理巖體動態(tài)損傷本構模型待定參數。沖擊荷載下巖體材料的應變率范圍在(101～105) s-1之間，取其加載段應變率的平均值為試驗響應應變率，這樣試驗近似可以看作是恒應變率的，式（26）中包含了13個材料參數，每個參數都有明確的物理意義。其中σ、E0、l、V、ε、θ、ai、可以通過試驗數據或通過節(jié)理巖體的幾何形狀取值確定，損傷閥值εth取為最大應變的0.3倍，K、A、B、c 通過數值擬合來確定。表2為通過數值擬合得到最優(yōu)模型擬合參數。

表2 最優(yōu)模型擬合參數Table 2 Fitting parameters for the optimal model

利用表2給出的模型參數計算得到了模型預測曲線，并與SHPB試驗所測試得到的曲線進行比較。圖3～5給出了部分試驗測試曲線和模型預測曲線的比較，其中實線為理論預測曲線，虛線為試驗曲線。

從圖3～5中不難發(fā)現(xiàn)，該模型可較好地描述節(jié)理巖體動荷載下初始彈性變形階段、穩(wěn)態(tài)塑性變形階段和加速變形破壞階段。隨著沖擊速度的提高，節(jié)理巖體材料內部產生了較大的塑性變形，模型曲線與實測結果相比略有偏低，這表明損傷型黏彈性本構模型在描述強沖擊條件下節(jié)理巖體的動態(tài)力學特性方面略有不足。

圖3 不同傾角節(jié)理巖體試驗與理論預測曲線比較Fig.3 Comparison between the theoretical and experimental curves of rock masses with joints of different inclination angles

圖4 不同貫通度節(jié)理巖體試驗與理論預測曲線比較Fig.4 Comparison oftestand theoretical curves at different transfixion degrees of joint rock mass

圖5 不同應變率節(jié)理巖體試驗和理論預測曲線比較Fig.5 Comparison of theoretical and experimental curves of joint rock masses at different strain rates

在SHPB試驗中，由于受到試驗技術條件和數據選取主觀性的限制，動態(tài)測試曲線與本構模型曲線在塑形變形階段存在一定的偏差，這也造成了模型預測和試驗結果的不符。通常認為，測試曲線中的穩(wěn)定發(fā)展階段為材料的實體彈性模量，然而相近應變率下，實體彈性模量的離散性仍然較大，這也造成了模型曲線與試驗曲線在穩(wěn)定發(fā)展階段的偏差。不過，由于該模型參數較少，且相對容易確定，因而在工程實踐中仍有較大的應用價值。

5 結論

（1）基于復合損傷力學的觀點，引入節(jié)理巖體各向異性損傷張量，加載時的損傷變量，綜合考慮不同應變率、不同幾何特征等多種因素研究了節(jié)理巖體的動態(tài)力學特性，構造了一個能夠描述節(jié)理巖體材料在沖擊荷載下動態(tài)力學響應的損傷型黏彈性本構模型。

（2）由于該本構模型所取得參數是采用SHPB試驗裝置對節(jié)理巖體動態(tài)加載試驗所得，所以建立的節(jié)理巖體動態(tài)本構關系模型具有較高的工程實用價值。

（3）本文提出的本構模型中需確定的材料參數較少，且不需要很復雜的試驗即可確定。

（4）本文試驗中考慮了長徑比的效應，發(fā)現(xiàn)長徑比對強度特性有一定影響影響，建立的節(jié)理巖體動態(tài)本構模型中并沒有考慮長徑比的因素，建議后續(xù)加強這方面的研究。

（5）在建立的節(jié)理巖體動態(tài)本構模型中，沒有考慮圍壓的影響，而自然界的巖體大多處于有圍壓狀態(tài)，建議在后續(xù)的節(jié)理巖體本構關系研究中，考慮圍壓的因素，建立更符合工程實際的節(jié)理巖體動態(tài)本構模型。

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