李 閩，陶正武，劉全穩(wěn)，吳澤民，李 濤，肖文聯(lián)，亢 鞠

（1.西南石油大學(xué) 油氣藏地質(zhì)及開(kāi)發(fā)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610500；2.廣東石油化工學(xué)院 石油工程學(xué)院，廣東 茂名 525000；3.中石油長(zhǎng)慶油田 超低滲第四項(xiàng)目部，甘肅 慶陽(yáng) 745000；4.中石化河南油田分公司 勘探開(kāi)發(fā)研究院，河南 南陽(yáng) 473132；5.中石油塔里木油田分公司 天然氣事業(yè)部，新疆 庫(kù)爾勒 841000）

1 引言

研究巖石微觀孔隙結(jié)構(gòu)能深刻揭示儲(chǔ)集層的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，加深對(duì)油氣儲(chǔ)集層的認(rèn)識(shí)，同時(shí)微觀孔隙結(jié)構(gòu)是決定描述儲(chǔ)層多相流過(guò)程中諸多宏觀性質(zhì)（毛管壓力、相對(duì)滲透率等）的根本。目前，研究巖石孔隙結(jié)構(gòu)的主要途徑是用測(cè)定毛管壓力的方法來(lái)確定孔隙喉道特征（定量角度）以及電鏡掃描、鑄體薄片（定性角度）。測(cè)取毛管壓力曲線的方法主要有半滲透隔板法、離心法和壓汞法。壓汞法由于測(cè)定快速、準(zhǔn)確，并且所加壓力較高，便于對(duì)更小的孔隙進(jìn)行測(cè)量，同時(shí)對(duì)巖樣的形狀、大小要求不嚴(yán)，因此，成為目前測(cè)定儲(chǔ)集巖毛管壓力的主要手段。壓汞法測(cè)取的毛管壓力主要用于求取孔隙結(jié)構(gòu)特征值，常用的求取孔隙結(jié)構(gòu)特征值方法有圖解法、矩法。

（1）圖解法：Chilingar等[1]曾提出碳酸鹽巖的孔隙喉道大?。é?標(biāo)度）遵從正態(tài)分布，可以用圖解法求解孔隙結(jié)構(gòu)特征值。應(yīng)用孔隙大小累積分布曲線上某些特征點(diǎn)數(shù)據(jù)，可以求取均值、分選系數(shù)、歪度等。

（2）矩法[2]：實(shí)際巖石的孔隙喉道分布是錯(cuò)綜復(fù)雜的，在自然界中幾乎沒(méi)有單一的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的孔隙結(jié)構(gòu)。基于自然界巖石孔隙結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，可以采用地質(zhì)統(tǒng)計(jì)理論中的混合經(jīng)驗(yàn)分布來(lái)描述巖樣中的孔隙結(jié)構(gòu)。根據(jù)地質(zhì)統(tǒng)計(jì)理論，將儲(chǔ)集巖的孔隙分布看成是在成巖及后生作用過(guò)程中幾種成因所造成的孔隙分布的組合。這樣，可以把儲(chǔ)集巖的孔隙分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)上使用地質(zhì)混合經(jīng)驗(yàn)分布的數(shù)字特征[2]。對(duì)于一個(gè)混合分布，使用矩法來(lái)求取孔隙分布的特征值更為合理，即用原點(diǎn)矩求均值、二階中心距求方差等。除上述矩法參數(shù)外，還可以由它們進(jìn)一步組合出其他類似參數(shù)，但因?yàn)樗鼈兌紒?lái)源于原始測(cè)量數(shù)據(jù)，當(dāng)不同巖樣之間的同類參數(shù)相互對(duì)比時(shí)，其結(jié)果和上述矩法參數(shù)的對(duì)比所得到的結(jié)論不會(huì)有較大的原則差別，因?yàn)槎际怯糜谠u(píng)價(jià)儲(chǔ)集層的孔隙結(jié)構(gòu)，實(shí)際應(yīng)用中意義并不大。

以上兩種求取孔隙結(jié)構(gòu)特征值方法都是選取孔隙半徑進(jìn)行直接計(jì)算：其中圖解法是選取幾個(gè)具有代表性的點(diǎn)進(jìn)行算術(shù)平均，所以為了提高精度，可以加密選樣點(diǎn)；矩法可以看成是面積積分的飽和度加權(quán)平均化處理。由于選取點(diǎn)不同，計(jì)算結(jié)果便不同；而且圖解法使用條件嚴(yán)格同時(shí)誤差較大，矩法的缺陷在于飽和度范圍受限于試驗(yàn)。由于這兩種方法都存在不足，本文采用積分法求取特征值，即對(duì)孔隙半徑進(jìn)行積分求取特征值?？紤]到面積積分的平均化處理可以轉(zhuǎn)換成積分形式，這樣只需得到孔隙半徑的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即毛管壓力數(shù)學(xué)模型，就能積分求解孔隙結(jié)構(gòu)特征值。原海涵[3]對(duì)積分法和矩法之間的理論關(guān)系作了證明，因而用積分法解釋孔隙結(jié)構(gòu)值具有堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。運(yùn)用積分法來(lái)求取孔隙結(jié)構(gòu)特征值更接近實(shí)際值，因?yàn)樗捎梅e分的形式將整個(gè)飽和度范圍進(jìn)行平均求值，同時(shí)不需要考慮孔隙大小分布情形。

關(guān)于毛管壓力數(shù)學(xué)模型的探究主要有Corey[4]、van Genuchten等[5]、Thomeer[6]和Donaldson等[7]、Tiab等[8]的模型，以上幾種數(shù)學(xué)模型都存在一定的不足，比如表達(dá)式不形象[4－5]，參數(shù)的確定上繁瑣[6－8]。文獻(xiàn)[6－8]在分析大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，得出毛管壓力曲線形態(tài)成雙曲線：文獻(xiàn)[6]得出了毛管壓力與汞體積的近似雙曲線模型，但毛管壓力曲線一般指的是毛管壓力與飽和度之間的關(guān)系曲線；文獻(xiàn)[7－8]推導(dǎo)了毛管壓力三參數(shù)雙曲線模型：

式中：Pc為毛管壓力（MPa）；Sw為濕相飽和度（%）；A、B、C 均為常數(shù)。因此，典型的毛管壓力曲線成雙曲線形態(tài)，下面推導(dǎo)更加形象準(zhǔn)確的毛管壓力冪函數(shù)數(shù)學(xué)模型。

2 積分法求取巖石孔隙結(jié)構(gòu)特征值

2.1 冪函數(shù)模型推導(dǎo)

由于毛管壓力曲線的開(kāi)始陡段并不代表非濕相真正進(jìn)入巖芯，此時(shí)非濕相飽和度的增加大多是由于巖樣表面凹凸不平或切開(kāi)較大孔隙引起的，非濕相是在排驅(qū)壓力下才開(kāi)始真正地進(jìn)入巖芯[2，9]。所以，開(kāi)始陡段的數(shù)據(jù)點(diǎn)可忽略（根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，忽略的飽和度范圍在6%以內(nèi)都可接受），探究數(shù)學(xué)模型時(shí)可以不用考慮這部分。本次研究選用的具有代表性巖芯取自中原油田，其孔隙度為25.51%，滲透率為230.74×10-3μm2，其壓汞試驗(yàn)原始數(shù)據(jù)如圖1(a)所示；將汞飽和度和毛管壓力同時(shí)取對(duì)數(shù)，重新作圖（見(jiàn)圖1(b)），曲線成雙曲線形態(tài)（其實(shí)質(zhì)是反比例函數(shù)）。

考慮到反比例函數(shù)的兩個(gè)邊界條件：非濕相汞飽和度為0，即濕相飽和度 Sw取值為1時(shí)，毛管壓力為排驅(qū)壓力Pd（邊界條件1）；非濕相汞飽和度為1，即濕相飽和度 Sw=0時(shí)，毛管壓力為無(wú)窮大（邊界條件2）。結(jié)合反比例函數(shù)的基本表達(dá)式，得出毛管壓力反比例函數(shù)模型為

考慮到毛管壓力曲線形態(tài)的復(fù)雜性，對(duì)反比例函數(shù)模型引入常數(shù)D，從而建立了毛管壓力冪函數(shù)模型：

式中：Pd為排驅(qū)壓力（MPa）；D為常數(shù)。

但在試驗(yàn)中，Sw=0的極值情況是極少出現(xiàn)的，即存在最小濕相飽和度 Smin，即濕相流體開(kāi)始流動(dòng)時(shí)的最小飽和度，主要原因是巖石本身的孔隙結(jié)構(gòu)（如存在不連通的死孔隙）以及試驗(yàn)儀器的最大壓力限制[9]。因此，毛管壓力是在濕相飽和度為 Smin時(shí)達(dá)到最大（可以看成是無(wú)窮大），邊界條件2應(yīng)改為Sw=Smin，引入轉(zhuǎn)換飽和度 Si：

圖1 毛管壓力曲線Fig.1 Capillary pressure curves

采用最小二乘法求取參數(shù)，可得

式中： Si為轉(zhuǎn)換飽和度；Smin為最小濕相飽和度（%）；n為測(cè)試點(diǎn)個(gè)數(shù)。

將圖1(a)壓汞試驗(yàn)數(shù)據(jù)代入式（6），求出參數(shù)D=1.067。排驅(qū)壓力Pd值按照Dullien[10]的做法確定為0.073 4 MPa。因此，毛管壓力冪函數(shù)模型為

將推導(dǎo)的冪函數(shù)模型計(jì)算曲線作圖如圖1(c)所示，發(fā)現(xiàn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)與模型計(jì)算曲線能很好地?cái)M合，沒(méi)擬合上的4個(gè)點(diǎn)飽和度在6%以內(nèi)，數(shù)學(xué)模型中可忽略這4個(gè)點(diǎn)。為了驗(yàn)證本文推導(dǎo)的毛管壓力冪函數(shù)模型式（5），選取了具有代表性的Sami[11]圖3（試樣No 95）中的數(shù)據(jù)，通過(guò)上面的方法推導(dǎo)模型并確定參數(shù)，將模型計(jì)算曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，見(jiàn)圖2。由于Sami采用隔板法測(cè)取氣-鹽水毛管壓力，試驗(yàn)壓力較低，圖2(a)只顯示了冪函數(shù)模型的一部分，因此，將其繪制在直角坐標(biāo)系圖2(b)中能更好的顯示。其中：Sami圖3（試樣No 95）毛管壓力冪函數(shù)模型為

圖2 Sami數(shù)據(jù)(試樣No.95)Fig.2 Sami's data(Sample No.95)

由推導(dǎo)出的毛管壓力冪函數(shù)模型式（5），結(jié)合毛管壓力定義，得到毛管半徑r 與轉(zhuǎn)換飽和度Si的關(guān)系式為

式中：σ為界面張力（mN/m；θ為接觸角（°）。

2.2 積分法求解

用積分法求取孔隙結(jié)構(gòu)特征值的關(guān)鍵在于確定毛管半徑的數(shù)學(xué)表達(dá)式。有了公式，就可以僅用試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)確定整個(gè)巖樣的半徑表達(dá)式，進(jìn)而求取特征值[3]。

（1）均值[9]ar

孔喉大小總平均數(shù)的量度。矩法求取平均半徑表達(dá)式中分子表示對(duì)孔隙半徑與飽和度差值面積求和，可以直接轉(zhuǎn)換成孔隙半徑對(duì)整個(gè)飽和度范圍（0～100%）連續(xù)積分；分母表示對(duì)飽和度差值進(jìn)行求和，積分法可以考慮到整個(gè)飽和度范圍，因此，平均毛管半徑可用如下積分式表示：

式中：ri為孔隙半徑（μm）；ΔSi為間隔飽和度（%）。

由圖1(c)可知，在濕相飽和度（0～ Smin）范圍內(nèi)，毛管壓力Pc可以看成是無(wú)限大，此時(shí)的孔隙半徑為0；在濕相飽和度（Smin～100%）范圍內(nèi)，毛管壓力Pc為表達(dá)式（5），導(dǎo)出的毛管半徑表達(dá)式為式（9），因此，式（10）實(shí)質(zhì)為

代入式（9），求出平均半徑ra為

（2）分選系數(shù)[9]Sp

孔喉大小的標(biāo)準(zhǔn)偏差，是分散程度的量度。根據(jù)均值積分形式算法，分選系數(shù) Sp可由下式求出：

同理，式（13）主要計(jì)算過(guò)程為

計(jì)算結(jié)果為

（3）歪度[9]Skp

描述分布不對(duì)稱的量度。根據(jù)均值積分形式算法，求取歪度的積分式為

同理，式（16）主要計(jì)算過(guò)程為

計(jì)算結(jié)果為

3 結(jié)果對(duì)比與分析

根據(jù)圖1巖樣壓汞試驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制出孔隙大小分布曲線（判定為類似正態(tài)分布）和孔隙大小累計(jì)分布曲線，選取特征點(diǎn)代入公式[1]，即可求取孔隙結(jié)構(gòu)特征值（表1）。矩法計(jì)算稍顯復(fù)雜，涉及分組問(wèn)題，具體參照文獻(xiàn)[2]方法；由前面推導(dǎo)的毛管半徑數(shù)學(xué)表達(dá)式可以得出參數(shù)值，代入積分法求取特征值公式，求取結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 3種方法求取結(jié)果對(duì)比表（φ 標(biāo)度）Table 1 Comparison of the calculated results of the three methods(φ value)

根據(jù)同樣的方法，Sami[11]圖3（試樣No.95）的特征值求解結(jié)果也列入表1。

由于圖解法是選取其中的幾個(gè)具有代表性數(shù)據(jù)點(diǎn)（某些點(diǎn)還需要外推求解，更加大了誤差，如表1求取的均值為負(fù)數(shù)，明顯錯(cuò)誤；這也正凸顯了圖解的巨大誤差性）進(jìn)行算術(shù)平均，用有限的數(shù)據(jù)點(diǎn)代表整個(gè)范圍的半徑本身就不妥；因此，一般認(rèn)為，圖解法求取誤差最大。考慮到矩法求解的飽和度范圍受到限制，致使非濕相飽和度最大值無(wú)法達(dá)到100%，如矩法求取均值的表達(dá)式，見(jiàn)表2，由于分母飽和度取值比實(shí)際偏小，其求解結(jié)果比實(shí)際值偏大，因而求解的特征值只表示試驗(yàn)流體能注入的孔隙空間量度，而不是全孔隙量度，這說(shuō)明矩法存在缺陷。積分法是由矩法轉(zhuǎn)換而成，其采用積分的形式將整個(gè)飽和度范圍進(jìn)行平均求值，更加接近真實(shí)值。因而積分法準(zhǔn)確性高，算法嚴(yán)謹(jǐn)。

表2 圖解法[1，9]和矩法[2]求取公式Table 2 Formulations of graphical method[1，9]and rectangular method[2]

4 結(jié)論

（1）圖解法要求巖石孔隙大小滿足正態(tài)分布，使用條件嚴(yán)格，同時(shí)其求取的特征值是選取的幾個(gè)具有代表性數(shù)據(jù)點(diǎn)，誤差較大。

（2）矩法求解的飽和度范圍受到限制，求解的特征值只表示試驗(yàn)流體能注入的孔隙空間量度，而不是全孔隙量度。

（3）推導(dǎo)出毛管壓力冪函數(shù)數(shù)學(xué)模型，即Pc=，采用最小二乘法求取參數(shù)，并用公開(kāi)發(fā)表的文章數(shù)據(jù)對(duì)本文推導(dǎo)的模型進(jìn)行了驗(yàn)證。

（4）詳細(xì)介紹了積分法求取巖石孔隙結(jié)構(gòu)特征值的基本思想。對(duì)比3種求取孔隙結(jié)構(gòu)特征值方法，得出積分法算法嚴(yán)謹(jǐn)；因?yàn)榉e分法是采用積分的形式將整個(gè)飽和度范圍進(jìn)行平均求值，同時(shí)不必考慮孔隙大小分布情形，更具有普遍意義。

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