金晶+李麗娟+劉鋒+何嘉年

摘要：提出一種新的群智能算法，即多目標(biāo)快速群搜索優(yōu)化（MQGSO）算法，以雙層球面網(wǎng)殼為研究對象，進(jìn)行結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)最大位移最小化和結(jié)構(gòu)質(zhì)量最輕化的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，網(wǎng)殼優(yōu)化后的Pareto前沿分布均勻且范圍較廣，分別對多目標(biāo)優(yōu)化和單目標(biāo)優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)進(jìn)行多維地震作用時(shí)程響應(yīng)分析。結(jié)果表明：多目標(biāo)優(yōu)化得到的結(jié)構(gòu)優(yōu)于單目標(biāo)的優(yōu)化結(jié)果，所提出的多目標(biāo)快速群搜索算法能很好地實(shí)現(xiàn)復(fù)雜空間結(jié)構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞：雙層球面網(wǎng)殼；多目標(biāo)優(yōu)化；快速群搜索算法；時(shí)程分析；Pareto前沿

中圖分類號：TU318 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0 引 言

近年來，大跨空間結(jié)構(gòu)在體育館、航空港、火車站等公共建筑中得到廣泛應(yīng)用，其形式包括網(wǎng)架結(jié)構(gòu)、網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)、索結(jié)構(gòu)、膜結(jié)構(gòu)或混合結(jié)構(gòu)等。與單層網(wǎng)殼相比，雙層網(wǎng)殼對于大跨度方案更具有優(yōu)勢[1]，有關(guān)其抗震性能和穩(wěn)定性的研究成果已有很多[2-3]。網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)屬于高次超靜定結(jié)構(gòu)，遇到地震作用時(shí)，具有很強(qiáng)的隨機(jī)性，其動(dòng)力性能和破壞機(jī)理與高層結(jié)構(gòu)不同。網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)一般會(huì)由多個(gè)目標(biāo)控制，但是由于其結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，這方面的研究非常有限，如對網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的動(dòng)位移進(jìn)行的全局和局部優(yōu)化[4]，對大跨網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行的模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)[5]，動(dòng)力荷載作用下以節(jié)點(diǎn)最大動(dòng)位移和塑性桿件比例進(jìn)行的優(yōu)化[6]等。傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法以準(zhǔn)則法和數(shù)學(xué)規(guī)劃法為主導(dǎo)，利用這類方法進(jìn)行網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的效果并不理想。隨著智能算法的不斷發(fā)展，群智能算法得到廣泛應(yīng)用[7-12]，在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中也取得了良好的效果[8，12]，其中多目標(biāo)粒子群算法[9-10]是結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。多目標(biāo)優(yōu)化存在一組均衡的解集，基于Pareto的最優(yōu)解[11]，決策者可以根據(jù)實(shí)際情況從一組Pareto最優(yōu)解中選擇一個(gè)或多個(gè)解作為最終解。根據(jù)Pareto最優(yōu)解理論與擁擠距離機(jī)制，本文中筆者提出了一種適用于結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的算法，即多目標(biāo)快速群搜索優(yōu)化算法（Multi-objective Quick Group Search Optimization，MQGSO），并將其應(yīng)用于雙層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化，以結(jié)構(gòu)質(zhì)量最輕和節(jié)點(diǎn)最小位移為目標(biāo)，得到了良好的優(yōu)化結(jié)構(gòu)。

1 網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化模型

1.1 目標(biāo)函數(shù)

以自重最輕和總動(dòng)應(yīng)變能最小為優(yōu)化目標(biāo)，建立目標(biāo)函數(shù)：f1（x）作為結(jié)構(gòu)質(zhì)量的目標(biāo)函數(shù)，f2（x）作為結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)最大位移最小值的目標(biāo)函數(shù)，即有

式中：W為結(jié)構(gòu)總質(zhì)量；wi為構(gòu)件線密度；li為構(gòu)件長度；s為所有節(jié)點(diǎn)的x，y，z三個(gè)方向的位移；nt為桿件總數(shù)。

1.2 約束條件

1.2.1 結(jié)構(gòu)性能約束

結(jié)合現(xiàn)行《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50017—2003）[13]中的要求，本文中考慮了結(jié)構(gòu)構(gòu)件強(qiáng)度、最大位移、構(gòu)件整體穩(wěn)定。雙層網(wǎng)殼的所有桿件均為薄壁圓桿，其受力情況分為軸心受壓構(gòu)件和軸心受拉構(gòu)件，根據(jù)薄壁圓鋼管在規(guī)范中的規(guī)定，對其進(jìn)行如下強(qiáng)度驗(yàn)算。

當(dāng)桿件為軸心受拉構(gòu)件時(shí)，應(yīng)力σ為

當(dāng)桿件為軸心受壓構(gòu)件時(shí)，需要考慮壓桿穩(wěn)定計(jì)算，即

式中：N′，N分別為軸心拉力和軸心壓力；An為桿件凈面積；A為構(gòu)件截面積；f′為鋼材抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；φ為軸心受壓構(gòu)件穩(wěn)定系數(shù)；f為鋼材抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值。

由《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》附錄C，可得到如下計(jì)算公式

當(dāng)λn=λπfyE≤0.215時(shí)

式中：λ為構(gòu)件長細(xì)比，λ=l/i；α1，α2，α3均為系數(shù)；因薄壁鋼管的截面類型為a類，因此系數(shù)α1，α2，α3分別為0.41，0.986，0.152。

在地震作用下，以節(jié)點(diǎn)最大位移超過結(jié)構(gòu)跨度的1/50為失效準(zhǔn)則[14]，各節(jié)點(diǎn)的最大允許位移為跨度的1/400[15]。

1.2.2 種群設(shè)置

薄壁鋼管結(jié)構(gòu)截面優(yōu)化需要建立一系列離散的截面，將其存入截面庫來選取變量。將網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)分成3組桿件，即上弦桿、腹桿和下弦桿，其截面在《結(jié)構(gòu)用無縫鋼管》（GB 8162—87）中的379種截面中選取，并且將離散的截面和1組連續(xù)整數(shù)對應(yīng)，以達(dá)到讓算法在連續(xù)的整數(shù)空間中進(jìn)行搜索。

為了讓優(yōu)化效率更高，設(shè)置合理的截面數(shù)量與上下界。X為n維決策變量，X={x1，x2，…，xn}，每個(gè)決策變量xi在其最大值xmaxi與最小值xmini范圍內(nèi)變化；同理，每個(gè)目標(biāo)函數(shù)yi在其最大值ymaxi與最小值ymini范圍內(nèi)變化，即

1.2.3 適應(yīng)度函數(shù)的修正模型

對于適應(yīng)度函數(shù)的修正模型，由于外點(diǎn)罰函數(shù)法的思想普遍應(yīng)用于工程優(yōu)化設(shè)計(jì)中，故借助外點(diǎn)罰函數(shù)的思想[16]，提出用以下表達(dá)式來約束違反性能約束的粒子，即

式中：r1，r2均為懲罰平衡系數(shù)；F（Xi，rt）為第i個(gè)粒子的適應(yīng)度函數(shù)；g1（X），g2（X）均為第i個(gè)粒子的約束函數(shù)；ji為第i個(gè)粒子對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)。2 多目標(biāo)快速群搜索優(yōu)化算法

2.1 Pareto最優(yōu)集的選取

快速群搜索優(yōu)化（Quick Group Search Optimizer，QGSO）算法[15]在單目標(biāo)優(yōu)化中具有良好的收斂速度和收斂精度，特別是對于雙層網(wǎng)殼這類計(jì)算量大的工程優(yōu)化設(shè)計(jì)效果較好，基于QGSO算法的MQGSO算法與QGSO算法的區(qū)別在于適應(yīng)度的比較規(guī)則不同，在MQGSO中通過支配與非支配關(guān)系來比較個(gè)體的適應(yīng)度，從而得到一個(gè)Pareto最優(yōu)集。在得到的Pareto最優(yōu)集中通過擁擠距離機(jī)制選取某一個(gè)體作為發(fā)現(xiàn)者，進(jìn)行迭代計(jì)算。在處理完每一次迭代的Pareto最優(yōu)集后，采用文獻(xiàn)[17]中擁擠距離機(jī)制來選取Pareto前沿中的一部分值作為精英集。

2.2 算法的迭代過程

發(fā)現(xiàn)者的選取既決定算法的前進(jìn)，也關(guān)系到算法能否很好地跳出局部最優(yōu)并使得Pareto最優(yōu)集分布均勻，同時(shí)還影響到算法的收斂精度和收斂速度。本文中選用擁擠距離機(jī)制和禁忌搜索算法混合的方法來選擇發(fā)現(xiàn)者，為了使得Pareto前沿的分布更加飽滿與均勻，在迭代搜索前期，選擇擁擠距離為無窮大的個(gè)體作為發(fā)現(xiàn)者，若精英集中存在擁擠距離不為無窮大的個(gè)體，則隨機(jī)選取一個(gè)擁擠距離不為無窮大的個(gè)體作為發(fā)現(xiàn)者，擴(kuò)大解的分布范圍，防止出現(xiàn)解集過分集中而丟失一些優(yōu)良解。算法迭代至后期，采用禁忌搜索算法，此方法使發(fā)現(xiàn)者可以選擇未曾被選擇的個(gè)體，并使算法轉(zhuǎn)向其他區(qū)域進(jìn)行搜索，從而避免算法進(jìn)入局部最優(yōu)，這一點(diǎn)和QGSO算法中游蕩者隨機(jī)產(chǎn)生變異之處。endprint

MQGSO在種群迭代更新過程中，搜索者不僅追隨著發(fā)現(xiàn)者，同時(shí)還結(jié)合自身歷史最優(yōu)位置進(jìn)行更新，這一點(diǎn)正是汲取了群搜索優(yōu)化（Group Search Optimizer，GSO）算法和粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法各自的特點(diǎn)，沒有GSO算法按3個(gè)角度搜索的復(fù)雜與繁瑣，從而產(chǎn)生了一種收斂精度更高的算法。搜索者進(jìn)行更新，在每一次迭代臨時(shí)非支配解集里選取前一次迭代中自身位置良好的解進(jìn)行更新。3 雙層網(wǎng)殼多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)流程

雙層網(wǎng)殼多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的流程為：

（1）數(shù)據(jù)準(zhǔn)備：幾何參數(shù)、材料參數(shù)以及算法參數(shù)的設(shè)置，編制薄壁鋼管截面庫。

（2）種群初始化：隨機(jī)生成初始化種群，將薄壁鋼管截面庫的離散信息與一組映射函數(shù)相對應(yīng)，每一個(gè)整數(shù)編號對應(yīng)一組截面參數(shù)，即鋼管的外徑和壁厚。

（3）以控制應(yīng)力和位移為約束，質(zhì)量最輕和節(jié)點(diǎn)的x，y，z三個(gè)方向位移最小為優(yōu)化目標(biāo)。

（4）引入懲罰平衡系數(shù)調(diào)整適應(yīng)度，采用回飛技術(shù)處理越界的粒子，并更新種群。

（5）以達(dá)到最大迭代次數(shù)作為控制條件，如圖1所示，其中，INT為目標(biāo)迭代次數(shù)，r為0～1之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，w3為選擇因子，取0.8。

雙層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化實(shí)例分析

4.1 算例模型

模型選用文獻(xiàn)[15]中的網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)作為某市場的屋蓋，見圖2，該算例結(jié)構(gòu)的跨度為83.6 m，矢高為14.0 m，上弦層與下弦層之間的層間高度為1.5 m。網(wǎng)殼使用鋼材制造，材料的彈性模量為210 GPa，密度為7 850 kg·m-3，共有6 761個(gè)節(jié)點(diǎn)，1 834根桿件。上弦層的所有節(jié)點(diǎn)均承受5 kN的豎向荷載，節(jié)點(diǎn)位移極限為±0.209 m。桿件的允許應(yīng)力為±215 MPa，壓桿和拉桿的最大允許長細(xì)比分別為180，300。

4.2 優(yōu)化結(jié)果分析

圖3為算法迭代100次不同種群的Pareto前沿分布。由圖3可知，200種群的優(yōu)化結(jié)果明顯優(yōu)于100種群的結(jié)果，后者不僅前沿分布較窄，同時(shí)還

出現(xiàn)了不連續(xù)的斷層，而200種群則分布均勻穩(wěn)定，非劣解的范圍較廣。500種群的計(jì)算效果與200種群無較大差異，說明對于雙層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)取200種群可以達(dá)到設(shè)計(jì)精度，且計(jì)算速度高于500種群。

圖4為迭代過程中依次選取20次迭代對應(yīng)的每一個(gè)發(fā)現(xiàn)者。由圖4可以看出，成為發(fā)現(xiàn)者的粒子在結(jié)構(gòu)質(zhì)量最輕和節(jié)點(diǎn)位移最小這2個(gè)極值附近來回跳動(dòng)，有助于非劣解集的擴(kuò)充，極值的增加也有利于算法跳出局部最優(yōu)值，同時(shí)使Pareto前沿更加飽滿與寬泛，工程設(shè)計(jì)人員可選取的參考解也越多。

算法和QGSOPC[15]算法的結(jié)果如表1所示。采用文獻(xiàn)[8]中的相對最小妥協(xié)距離原則和公式（9）計(jì)算圖3所示的曲線中對于理想點(diǎn)（140 756，0.001）的相對最小妥協(xié)距離，即

式中：Pcs為衡量妥協(xié)解優(yōu)劣的值；W*為理想解的最小質(zhì)量，W*=140 756 kg；E為與W對應(yīng)的那個(gè)精確解的位移目標(biāo)值；E*為理想解的最小位移值，E*=0.001 m。

以Pcs較小的點(diǎn)作為多目標(biāo)優(yōu)化問題的妥協(xié)解，選取Pareto前沿的5個(gè)妥協(xié)解，按Pcs從小到大的順序進(jìn)行編號（表1）。為了驗(yàn)證妥協(xié)解的工程合理性，選取妥協(xié)解1（即Pcs取最小值）和Pareto前沿上、下2個(gè)邊界點(diǎn)進(jìn)行對比，如圖5所示。限于篇幅，只給出x方向的位移。由圖5可以看出，妥協(xié)解在地震荷載作用下的位移最小，因此針對工程設(shè)計(jì)選取妥協(xié)解作為設(shè)計(jì)的參考是可行有效的。由表1可以看出，妥協(xié)解1較其他妥協(xié)解有相對較小的質(zhì)量和節(jié)點(diǎn)位移。

圖6為MQGSO和QGSOPC優(yōu)化所得結(jié)構(gòu)時(shí)程分析的頂點(diǎn)x，y，z三個(gè)方向的位移響應(yīng)，輸入波為El Centro地震波。由圖6可以看出，相對于質(zhì)量最輕的單目標(biāo)優(yōu)化而言，多目標(biāo)優(yōu)化時(shí)還考慮了節(jié)點(diǎn)的位移，因此MQGSO算法優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)位移小于QGSOPC單目標(biāo)的優(yōu)化結(jié)果，對抗震性能要求較高的結(jié)構(gòu)來說，這一點(diǎn)具有更重要的意義。

圖6 雙層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)位移

Fig.6 Vertex Displacements of Double-layer

Spherical Shell Structure5 結(jié) 語

（1）MQGSO算法在處理帶約束的雙層網(wǎng)殼多目標(biāo)優(yōu)化時(shí)具有良好的收斂效果。從優(yōu)化結(jié)果分析可以看出，Pareto前沿分布均勻并且寬泛，曲線過渡平穩(wěn)無斷層，說明MQGSO算法應(yīng)用于大跨空間結(jié)構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化是可行有效的。

（2）工程設(shè)計(jì)人員可以根據(jù)Pareto前沿選取合適的點(diǎn)作為設(shè)計(jì)參考值，本文中建議運(yùn)用相對最小妥協(xié)距離求得妥協(xié)解進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。通過妥協(xié)解與上下邊界點(diǎn)的對比，發(fā)現(xiàn)其效果相對更優(yōu)秀。

（3）多目標(biāo)優(yōu)化與單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果相比，時(shí)程分析時(shí)的節(jié)點(diǎn)位移較小，因?yàn)閷τ诮Y(jié)構(gòu)質(zhì)量最輕的單目標(biāo)優(yōu)化而言，多目標(biāo)優(yōu)化時(shí)還考慮了節(jié)點(diǎn)的位移，這一點(diǎn)與動(dòng)力性能和抗震優(yōu)化目標(biāo)緊密，更適合于抗震設(shè)計(jì)。

（4）采用x，y，z三個(gè)方向位移對其抗震性能的研究具有一定意義，由于震動(dòng)的隨機(jī)性，其3個(gè)方向均有可能發(fā)生破壞，本文中采用時(shí)程分析法進(jìn)行截面校核，如采用此方法對結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)則至少按照規(guī)范選擇3條地震波進(jìn)行設(shè)計(jì)。

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