b>0)的焦距為4,其短軸的兩個端點(diǎn)與長軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn),T為直線x=-3上任意一點(diǎn),過F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P,Q.(?。┳C明:OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn));(ⅱ)"/>

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        一道高考解析幾何題引申出的幾個結(jié)論

        2015-02-02 15:41:43張煥云
        理科考試研究·高中 2015年1期
        關(guān)鍵詞:拋物線

        張煥云

        一、題目

        (2014年四川理科20)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距為4,其短軸的兩個端點(diǎn)與長軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.

        (Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

        (Ⅱ)設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn),T為直線x=-3上任意一點(diǎn),過F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P,Q.

        (?。┳C明:OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn));

        (ⅱ)當(dāng)|TF||PQ|最小時,求點(diǎn)T的坐標(biāo).

        解題過程略,(Ⅰ)x26+y22=1,(Ⅱ)中(ⅱ)的點(diǎn)T坐標(biāo)為(-3,±1).

        二、推廣結(jié)論

        筆者對第(Ⅱ)問中的第(?。┬柦o出了推廣.

        推廣一 T為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn),過準(zhǔn)線對應(yīng)的焦

        點(diǎn)F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P,Q,則OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

        證明 不妨設(shè)F為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn),如圖,則F(c,0),右準(zhǔn)線方程為x=a2c.

        當(dāng)直線PQ斜率不存在時,易得OT平分線段PQ.

        當(dāng)直線PQ斜率存在時,設(shè)PQ:y=k(x-c)(k≠0),由x2a2+y2b2=1

        y=k(x-c)可得(b2+a2k2)x2-2k2a2cx+a2(k2c2-b2)=0,必有Δ=4a2b4(1+k2)>0,有xP+xQ=

        2k2a2cb2+a2k2,yP+yQ=k(xP+xQ-2c)=-2kb2cb2+a2k2,所以線段PQ的中點(diǎn)為(k2a2cb2+a2k2,-kb2cb2+a2k2).直線FT:y=-

        1k(x-c),x=a2c時,y=-b2kc.則T(a2c,-b2kc),直線OT:y=-b2ka2x,x=k2a2cb2+a2k2時,y=-b2ka2·k2a2cb2+a2k2=-kb2cb2+a2k2,

        所以線段PQ的中點(diǎn)(k2a2cb2+a2k2,-kb2cb2+a2k2)在OT直線上,即OT平分線段PQ.

        推廣二 T為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)

        的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn),過準(zhǔn)線對應(yīng)的焦點(diǎn)T作TF的垂線交雙曲線C于點(diǎn)P,Q,則OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).(證明方法與推廣一相似,略)

        推廣三 T為圓錐曲線C:λx2+μy2=1(λμ≠0且λ≠μ)的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn),過

        準(zhǔn)線對應(yīng)的焦點(diǎn)F作TF的垂線交圓錐曲線C于點(diǎn)P,Q,則OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).(證明過程略)

        推廣四 T為拋物線C的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn),過焦點(diǎn)F作TF的垂線交拋物線C于點(diǎn)P,Q,則過點(diǎn)T平行于拋物線對稱軸的直線平分線段PQ.

        證明 以拋物線C:y2=2px(p>0)為例,則焦點(diǎn)F(p2,0),準(zhǔn)線方程為x=-p2.設(shè)直線PQ方程為:x=my+p2.

        由y2=2px,

        x=my+p2得y2-2pmy-p2=0,必有Δ=4p2(1+m2)>0,有yP+yQ=2pm,xP+xQ=m(yP+yQ)+p=2pm2+p,所以線段PQ的中點(diǎn)為(pm2+p2,pm).

        直線TF的方程為:y=-m(x-p2),當(dāng)x=-p2時,y=pm,所以T(-p2,pm),則過點(diǎn)T平行于拋物線對稱軸x軸的直線為y=pm.

        顯然線段PQ的中點(diǎn)(pm2+p2,pm)在直線y=pm上,即過點(diǎn)T平行于拋物線對稱軸的直線平分線段PQ.

        三、推廣反思

        高考試題是許多專家、學(xué)者、優(yōu)秀教師集體智慧的結(jié)晶,具有很高的研究價值.研究高考題目是高中教師必做的功課,最大限度地發(fā)揮高考試題的指導(dǎo)價值是這門功課的重中之重.波利亞說:“當(dāng)你找到第一個蘑菇或做出第一個發(fā)現(xiàn)后,再四處看看,它們總是成群生長的.”這告訴我們教師,在平時的課堂教學(xué)中,不僅要得到問題的答案,還要讓學(xué)生知道問題的一般規(guī)律,這樣才能使學(xué)生舉一反三,觸類旁通,以不變應(yīng)萬變.

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