杜進(jìn)輔，方宗德，張永振，李建華

(1. 西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院， 陜西 西安　710072; 2. 西安理工大學(xué) 機(jī)儀學(xué)院， 陜西 西安　710048)

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擺線齒準(zhǔn)雙曲面齒輪齒面主動設(shè)計(jì)*

杜進(jìn)輔1，2，方宗德1，張永振1，李建華1

(1. 西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院， 陜西 西安710072; 2. 西安理工大學(xué) 機(jī)儀學(xué)院， 陜西 西安710048)

摘要：為預(yù)控雙面法加工的擺線齒準(zhǔn)雙曲面齒輪的嚙合性能，用大輪理論齒面展成與之共軛的小輪共軛齒面，將小輪共軛齒面沿嚙合線方向和接觸跡線方向分別進(jìn)行修形，得到滿足預(yù)置傳動誤差曲線以及接觸印痕的目標(biāo)齒面，計(jì)算出目標(biāo)齒面與小輪理論齒面的法向偏差。建立以小輪加工參數(shù)調(diào)整量為變量，小輪兩側(cè)齒面與目標(biāo)齒面法向偏差平方和最小為目標(biāo)的優(yōu)化模型，并采用序列二次規(guī)劃算法求解該模型。以某高速車橋齒輪副為例進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明：加工參數(shù)調(diào)整后小輪兩側(cè)齒面與各自目標(biāo)齒面的最大法向偏差分別為-4.7μm和-4.67μm，兩側(cè)嚙合轉(zhuǎn)換點(diǎn)傳動誤差與預(yù)置值分別相差6.67%和4%，兩側(cè)接觸跡線最大偏差分別為0.275mm和0.177mm，基本符合預(yù)置條件。

關(guān)鍵詞：雙面法；擺線齒；主動設(shè)計(jì)；修形；序列二次規(guī)劃算法

采用端面滾齒法加工的擺線齒準(zhǔn)雙曲面齒輪具有承載能力高、傳動平穩(wěn)、噪聲小以及生產(chǎn)效率高、所需設(shè)備少等一系列優(yōu)點(diǎn)，近年來，在轎車、卡車以及客車車橋齒輪中應(yīng)用越來越廣泛，因此研究并改善這類齒輪的嚙合性能具有重要的工程應(yīng)用意義。

齒輪齒面主動設(shè)計(jì)技術(shù)根據(jù)齒輪傳動的功能需求來設(shè)計(jì)齒面形狀，首先預(yù)置配對齒面的傳動誤差曲線以及最佳接觸印痕，然后設(shè)計(jì)出能夠精確滿足以上預(yù)置條件的齒面及其加工方法，達(dá)到主動設(shè)計(jì)的目的。國內(nèi)外學(xué)者在這方面做了大量工作[1-6]，Litvin提出的局部綜合法[1-3]可以預(yù)控參考點(diǎn)附近的嚙合性能，但遠(yuǎn)離參考點(diǎn)的齒面性質(zhì)無法控制，可能導(dǎo)致嚙合跡線嚴(yán)重彎曲，齒面接觸區(qū)畸變。曹雪梅等通過設(shè)計(jì)并控制弧齒錐齒輪齒面上三個(gè)嚙合點(diǎn)以實(shí)現(xiàn)對齒面嚙合性能的全程控制[4-5]。吳訓(xùn)成等提出的齒面主動設(shè)計(jì)方法[6]，給定傳動誤差的方程以及齒面印痕的軌跡進(jìn)行齒面一階、二階參數(shù)設(shè)計(jì)，可直接設(shè)計(jì)配對齒面的接觸跡線、接觸橢圓長軸的大小，并可設(shè)計(jì)高階加速度。但上述文獻(xiàn)都只針對格里森制單面法加工，而針對雙面法加工的擺線齒準(zhǔn)雙曲面齒輪齒面主動設(shè)計(jì)的報(bào)道則較少。蘇進(jìn)展等[7]、Shih[8]提出了基于ease-off和敏感度矩陣的弧齒錐齒輪及準(zhǔn)雙曲面齒輪的齒面優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，但對如何同時(shí)保證雙側(cè)齒面嚙合效果并未進(jìn)行討論。并且機(jī)床調(diào)整參數(shù)對齒面的影響并非都是線性關(guān)系[9]，由敏感度矩陣進(jìn)行齒面加工參數(shù)反求，存在一定誤差。

1預(yù)置的嚙合性能

1.1　預(yù)置的傳動誤差曲線

傳動誤差是引起振動和噪聲的重要原因，大量研究[1-5,7]表明拋物線形傳動誤差曲線能夠吸收由安裝誤差引起的線性誤差，并保持傳動誤差曲線形狀不變。因此，預(yù)置傳動誤差曲線為拋物線形，如圖1所示，橫坐標(biāo)φ1為小輪轉(zhuǎn)角，縱坐標(biāo)Δφ2為傳動誤差，φ1N,φ1M,φ1P分別為嚙入點(diǎn)N、參考點(diǎn)M和嚙出點(diǎn)P的小輪轉(zhuǎn)角，δTE為嚙合轉(zhuǎn)換點(diǎn)的傳動誤差，z1為小輪齒數(shù)，2π/z1為小輪單個(gè)嚙合周期的轉(zhuǎn)角。

圖1　拋物線形傳動誤差曲線Fig.1　Parabolic transmission error curve

(1)

1.2　預(yù)置的接觸印痕

齒面接觸印痕的形狀、大小及位置直接影響齒輪副的運(yùn)動、潤滑特性以及傳動效率和承載能力。接觸印痕的設(shè)計(jì)在大輪齒面的旋轉(zhuǎn)投影面上完成，如圖2所示，為減小齒面對安裝誤差的敏感性，將接觸跡線設(shè)計(jì)為直線[10]，η為預(yù)置的接觸跡線方向角，瞬時(shí)接觸橢圓長軸大小按照接觸區(qū)大小確定，一般將接觸區(qū)選擇在齒寬方向約40%～60%的位置。

圖2　接觸印痕Fig.2　Contact pattern

2齒面主動設(shè)計(jì)

2.1　理論齒面

將運(yùn)用調(diào)整卡初次計(jì)算得到的齒輪加工參數(shù)稱為理論加工參數(shù)，由之加工的齒面稱之為理論齒面，理論加工參數(shù)的獲得可參考文獻(xiàn)[11]。以展成法加工左旋小輪為例，如圖3所示。

圖3　左旋小輪加工坐標(biāo)系Fig.3　Cutting coordinate systems of the left handed pinion

圖3中,SR為刀位，i為刀傾角，j為刀轉(zhuǎn)角，φ1為輪坯轉(zhuǎn)角，β為刀盤轉(zhuǎn)角，Em為垂直輪位，ΔB,ΔA分別表示床位和輪位修正量，γm為機(jī)床根錐角,q1=θc+φc,θc為初始搖臺角,φc=φc2-φc1為搖臺轉(zhuǎn)角，φc2=φ1/Ra為展成運(yùn)動對應(yīng)的搖臺轉(zhuǎn)角，Ra為滾比，φc1=βz0/zp為擺線運(yùn)動對應(yīng)的搖臺轉(zhuǎn)角，z0和zp分別為刀齒組數(shù)和產(chǎn)形輪齒數(shù)。坐標(biāo)系S1(x1,y1,z1)和St(xt,yt,zt)分別與小輪和刀盤固聯(lián)，Sa,Sb,Sc,Sd,Se,Sf均為輔助坐標(biāo)系。假設(shè)刀盤坐標(biāo)系St中的刀刃方程rt(u)已知[12]：

rt(u)=rt(α0,rc,δ0,r0:u)

其中，u為刀具參數(shù)，α0為刀具齒形角，rc為刀刃圓弧半徑，δ0為刀齒方向角，r0為刀齒半徑。則小輪理論齒面的位矢rL和法矢nL可以表示為：

(2)

其中：

M1t=M1f(φ1)Mfa(ζ)Mat(β)

(3)

c11=cosγm[sin(θc+φc-j)cosicosβ-

cos(θc+φc-j)sinβ]-sinγmsinicosβ,

c12=cosγm[-sin(θc+φc-j)cosisinβ-

cos(θc+φc-j)cosβ]-sinγmsinisinβ,

c13=cosγmsinisin(θc+φc-j)+sinγmcosi,

c14=SRcosγmcos(θc+φc)-ΔA-sinγmΔB,

c21=sinφ1sinγm[sin(θc+φc-j)cosicosβ-

cos(θc+φc-j)sinβ]+cosφ1[cos(θc+φc-

j)cosicosβ+sin(θc+φc-j)sinβ]+

sinφ1cosγmsinicosβ,

c22=sinφ1sinγm[-sin(θc+φc-j)cosisinβ-

cos(θc+φc-j)cosβ]+cosφ1[-cos(θc+φc-

j)cosisinβ+sin(θc+φc-j)cosβ]-

sinφ1cosγmsinisinβ,

c23=sinφ1sinγmsinisin(θc+φc-j)+

cosφ1sinicos(θc+φc-j)-sinφ1cosγmcosi,

c24=SRsinφ1sinγmcos(θc+φc)-SRcosφ1sin(θc+

φc)+Emcosφ1+ΔBsinφ1cosγm，

c31=cosφ1sinγm[sin(θc+φc-j)cosicosβ-

cos(θc+φc-j)sinβ]+sinφ1[cos(θc+φc-

j)cosicosβ+sin(θc+φc-j)sinβ]-

cosφ1cosγmsinicosβ,

c32=cosφ1sinγm[-sin(θc+φc-j)cosisinβ-

cos(θc+φc-j)cosβ]+sinφ1[-cos(θc+φc-

j)cosisinβ+sin(θc+φc-j)cosβ]+

cosφ1cosγmsinisinβ,

c33=cosφ1sinγmsinisin(θc+φc-j)+

sinφ1sinicos(θc+φc-j)+cosφ1cosγmcosi,

c34=SRcosφ1sinγmcos(θc+φc)-SRsinφ1sin(θc+

φc)+Emsinφ1-ΔBcosφ1cosγm,

c41=c42=c43=0,c44=1；ζ=(i,j,θc,SR,Em,ΔA,ΔB,γm,Ra,α0,rc,δ0,r0)表示加工參數(shù)，包括機(jī)床設(shè)置以及刀盤參數(shù)。

對于展成法加工的小輪，理論齒面的獲得還需借助于產(chǎn)形輪和被加工齒輪的嚙合方程：

(4)

r2(u,β,φ2)=M2f(φ2)Mft(β)rt(u)

(5)

若大輪由展成法加工，則有：

(6)

若大輪由成形法加工，則有：

(7)

將式(6)或式(7)帶入式(5)，得到化簡后的大輪理論齒面為：

r2(u,β)=M2t(β)rt(u)

(8)

2.2　共軛齒面

在嚙合坐標(biāo)系中，以大輪理論齒面作為產(chǎn)形輪齒面展成小輪，如圖4、圖5所示。圖4中H1,H2分別為小輪和大輪的齒頂距，V為偏置距，Σ為軸交角，S2(x2,y2,z2)固聯(lián)于大輪坐標(biāo)系，Sp,Sq,Sr,Ss為輔助坐標(biāo)系。為獲得與大輪理論齒面完全共軛的小輪共軛齒面，在展成過程中，應(yīng)遵循式(9)所示的運(yùn)動關(guān)系并滿足嚙合方程式(10)。

圖4　嚙合坐標(biāo)系Fig.4　Mesh coordinate systems

圖5　大輪展成小輪Fig.5　Pinion generated by gear

(9)

(10)

(11)

其中：

M12=M1s(V,Σ,H1,H2,φ1)Ms2(φ2)

(12)

d11=cosΣ,d12=-sinφ2sinΣ,d13=cosφ2sinΣ,

d14=-H1-H2cosΣ,d21=sinφ1sinΣ,

d22=cosφ1cosφ2+cosΣsinφ1sinφ2,

d23=cosφ1sinφ2-cosΣcosφ2sinφ1,

d24=Vcosφ1-H2sinφ1sinΣ,d31=-cosφ1sinΣ,

d32=cosφ2sinφ1-cosΣcosφ1sinφ2,

d33=sinφ1sinφ2+cosΣcosφ1cosφ2,

d34=Vsinφ1+H2cosφ1sinΣ,

d41=d42=d43=0,d44=1。

聯(lián)立式(8)、式(9)、式(10)、式(11)、式(12)，求解得到小輪共軛齒面Σg。

2.3　小輪目標(biāo)齒面

完全共軛的配對齒面在各個(gè)嚙合位置傳動誤差均為0，但這種齒面沒有任何可調(diào)性, 制造和安裝誤差、承載變形都會造成齒面載荷集中而使輪齒破壞，因此實(shí)際應(yīng)用中常常將配對齒面設(shè)計(jì)為點(diǎn)接觸的具有二階拋物線形或更高階傳動誤差的齒面。由于小輪齒數(shù)較少，一般只針對小輪齒面進(jìn)行設(shè)計(jì)。

為了使大小輪在嚙合時(shí)滿足預(yù)置的傳動誤差曲線，將大輪展成小輪共軛齒面時(shí)的運(yùn)動關(guān)系式(9)用式(1)代替,則所得到的新齒面Σt與大輪線接觸，且滿足預(yù)置的傳動誤差函數(shù)Δφ2(φ1)，齒面Σt的位矢rt和法矢nt可表示為：

(13)

大輪旋轉(zhuǎn)投影面上預(yù)置的接觸跡線在大輪理論齒面、小輪共軛齒面Σg和齒面Σt上都對應(yīng)唯一一條接觸跡線，為了獲得滿足預(yù)置的接觸區(qū)且與大輪在任意嚙合位置點(diǎn)接觸的齒面，首先根據(jù)配對齒面在嚙合點(diǎn)處位矢的關(guān)系求得齒面Σt上的接觸跡線NMP，如圖6所示，Δφ2(φ1N),Δφ2(φ1M),Δφ2(φ1P)為對應(yīng)點(diǎn)N,M,P處的傳動誤差，Δφ2(φ1M)=0。

圖6　齒面ΣtFig.6　Tooth surface Σt

然后將齒面Σt沿各個(gè)接觸點(diǎn)的嚙合線方向進(jìn)行三段拋物線修形以控制接觸區(qū)，修形曲線的頂點(diǎn)在曲線NMP上，如圖7所示。在設(shè)計(jì)的接觸區(qū)EFGH內(nèi)，沿嚙合線方向按照圖8所示拋物線I進(jìn)行修形，在嚙合區(qū)外(AEHD和FBCG內(nèi))，沿嚙合線方向按照拋物線II進(jìn)行修形，即在嚙合區(qū)外多去除一部分材料，最終得到小輪目標(biāo)齒面Σ1。圖8中：yI,yII方向?yàn)棣瞭面法線方向n1；x方向?yàn)橹赶蜉嘄X大端的橢圓長軸方向。

圖7　小輪目標(biāo)齒面Fig.7　Target tooth surface of pinion

圖8　接觸線修形曲線Fig.8　Modification curves of contact line

嚙合線方向修形所用拋物線I和II的方程為：

(14)

其中，a為預(yù)置的瞬時(shí)接觸橢圓長半軸長度。δ為彈性變形量(一般取δ=0.006 35mm)，Y=a′l2/4為兩拋物線頂點(diǎn)距離，l=2a，a′用來控制接觸區(qū)外修形量。由于拋物線I與II在關(guān)于參考點(diǎn)M對稱的點(diǎn)J和點(diǎn)K相交，則沿嚙合線方向的法向修形量δy為：

(15)

將齒面Σt離散為q個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)(q=m×n，m,n分別表示沿齒高方向和齒寬方向的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)目，取m=n=15)，則對應(yīng)的小輪目標(biāo)齒面Σ1上網(wǎng)格點(diǎn)k(k=1,2,…,q)處的位矢r1和法矢n1可以表示為：

(16)

2.4　小輪理論齒面與目標(biāo)齒面的偏差

小輪理論齒面ΣL、共軛齒面Σg與目標(biāo)齒面Σ1在參考點(diǎn)M處相切，因此小輪理論齒面與目標(biāo)齒面在網(wǎng)格點(diǎn)k處的法向偏差δ1L(k)為：

δ1L(k)=[r1(k)-rL(k)]nL(k)

(17)

3小輪加工參數(shù)反求

通過調(diào)整小輪理論齒面加工參數(shù)使其逼近目標(biāo)齒面，由于預(yù)置的傳動誤差曲線為二次拋物線形，故引入3階滾比修正運(yùn)動，即將展成運(yùn)動中的搖臺轉(zhuǎn)角φc2表示為關(guān)于小輪轉(zhuǎn)角φ1的3階多項(xiàng)式，如式(18)所示。

(18)

以小輪加工參數(shù)調(diào)整量Δζ(不含滾比Ra的機(jī)床設(shè)置參數(shù)、刀盤參數(shù)以及多項(xiàng)式系數(shù)C1,C2)為變量，以小輪齒面與目標(biāo)齒面在各網(wǎng)格點(diǎn)法向偏差平方和最小為目標(biāo)，由于擺線齒準(zhǔn)雙曲面齒輪采用雙面法加工，因此機(jī)床設(shè)置的調(diào)整對兩側(cè)齒面都有影響，為同時(shí)兼顧兩側(cè)齒面的嚙合性能，建立如式(19)所示的優(yōu)化模型：

(19)

角標(biāo)X和V分別表示凸面和凹面, χ1,χ2為各個(gè)加工參數(shù)調(diào)整量的上下限，均取[-1,1]。w為權(quán)重系數(shù)，可根據(jù)齒輪副實(shí)際工況中正轉(zhuǎn)和反轉(zhuǎn)工作時(shí)長比來確定。采用SQP法求解即可得到小輪加工參數(shù)調(diào)整量Δζ。

4算例驗(yàn)證

以某高速車橋齒輪副為例，大小輪基本參數(shù)、理論齒面機(jī)床設(shè)置、刀盤參數(shù)以及預(yù)置參數(shù)分別見表1、表2、表3和表4，工作面為小輪凹面和大輪凸面：

表1　基本參數(shù)

表2　機(jī)床設(shè)置

表3　刀盤參數(shù)

表4　預(yù)置參數(shù)

由理論加工參數(shù)得到的大小輪理論齒面如圖9所示。

(a) 大輪　　　　　　　　　 (b) 小輪(a) Gear　　　　　　　　　(b) Pinion圖9　大小輪理論齒面Fig.9　Theoretical tooth surfaces of gear and pinion

用大輪理論齒面展成小輪共軛齒面，并將其沿接觸跡線方向和嚙合線方向分別按照預(yù)置的拋物線曲線進(jìn)行修形，得到的目標(biāo)齒面相對于共軛齒面以及小輪理論齒面的偏差如圖10和圖11所示。

圖10　小輪目標(biāo)齒面與共軛齒面偏差Fig.10　Deviations between pinion target tooth 　　　surface and conjugate tooth surface

圖11　小輪目標(biāo)齒面與理論齒面偏差Fig.11　Deviations between pinion target tooth 　　　surface and theoretical tooth surface

當(dāng)w取值分別為0.8，0.5，0.2時(shí)，求解式(19)優(yōu)化模型得到對應(yīng)的小輪加工參數(shù)調(diào)整量，見表5(篇幅所限，只列出w=0.5時(shí)的調(diào)整量)，加工參數(shù)調(diào)整后的小輪齒面與目標(biāo)齒面的法向偏差如圖12所示。

不同權(quán)重系數(shù)齒面逼近程度見表6。

比較可知，w=0.5時(shí)兩側(cè)偏差平方和最小，隨著w增大，凸面最大偏差絕對值減小，凹面的則增大，反之亦然，即通過調(diào)整權(quán)重系數(shù)的大小，

表5　小輪加工參數(shù)調(diào)整量

表6　不同權(quán)重系數(shù)比較

(a) w=0.8

(b) w=0.5

(c) w=0.2圖12　小輪齒面與目標(biāo)齒面的法向偏差Fig.12　Deviations between pinion tooth surface and target tooth surface

可以選擇性地保證某一側(cè)齒面與目標(biāo)齒面的逼近程度，進(jìn)而保證該側(cè)嚙合性能更加趨近預(yù)置條件。下面僅以w取0.5時(shí)為例，分析加工參數(shù)調(diào)整之后的小輪齒面與大輪理論齒面的嚙合性能。TCA結(jié)果如圖13所示，圖13(a)和圖13(c)中的虛線為預(yù)置的接觸跡線。圖14所示為兩側(cè)實(shí)際嚙合點(diǎn)偏離預(yù)置接觸跡線的距離,規(guī)定偏大端方向?yàn)檎?。嚙合點(diǎn)序號按照進(jìn)入嚙合到退出嚙合順序排列。

經(jīng)過比較，加工參數(shù)調(diào)整后大輪凸面和凹面的接觸跡線偏離預(yù)置接觸跡線最遠(yuǎn)距離分別為0.275mm和0.177mm，凸面接觸印痕分布在齒寬方向36%～66.3%區(qū)域，凹面接觸印痕分布在齒寬方向34.9%～72.1%區(qū)域，接觸區(qū)未發(fā)生畸變。工作面和非工作面轉(zhuǎn)換點(diǎn)處的傳動誤差值為19.2″和20.8″，分別與預(yù)置值相差6.67%和4%，基本達(dá)到了預(yù)置的嚙合性能要求，故認(rèn)為本方法可行。

(a)大輪凸面接觸印痕(a)Contact pattern for gear convex

(b)工作面?zhèn)鲃诱`差(b)Transmission error for drive side

(c)大輪凹面接觸印痕(c)Contact pattern for gear concave

(d)非工作面?zhèn)鲃诱`差(d) Transmission error for coast side圖13　TCA結(jié)果Fig.13　TCA results

圖14　偏離距離Fig.14　Deviations

5結(jié)論

對小輪共軛齒面沿接觸跡線方向與嚙合線方向進(jìn)行雙向修形獲得了滿足預(yù)置傳動誤差曲線以及接觸印痕的小輪目標(biāo)齒面；建立了小輪齒面與目標(biāo)齒面法向偏差平方和最小優(yōu)化模型，并運(yùn)用SQP法求解得到高度逼近目標(biāo)齒面的小輪齒面加工參數(shù)調(diào)整量；通過改變權(quán)重系數(shù)，可以選擇性地保證某一側(cè)齒面的嚙合性能，如加裝了緩速器的卡車，在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)該適當(dāng)增加反車面權(quán)重系數(shù)，避免反車面過早失效；該設(shè)計(jì)方法使得設(shè)計(jì)人員能夠按照齒輪傳動的性能需求來設(shè)計(jì)齒面形狀，經(jīng)過推廣，同樣適用于其他類型齒輪傳動；進(jìn)一步研究方向應(yīng)該為高階傳動誤差設(shè)計(jì)。

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http://journal.nudt.edu.cn

Active tooth surface design of cycloid hypoid gears

DUJinfu1,2,FANGZongde1,ZHANGYongzhen1,LIJianhua1

(1. College of Mechanical Engineering, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China;

2. School of Mechanical and Precision Instrument Engineering, Xi′an University of Technology, Xi′an 710048, China)

Abstract：In order to pre-control the meshing performance of cycloid hypoid gears, a conjugate pinion tooth surface was generated by gear theoretical tooth surface. The pinion target tooth surface that meets the preconditions was obtained by modifying the conjugate tooth surface along the contact path and the contact line. The sum of tooth surface normal square errors between pinion theoretical and target tooth surface was calculated. The optimal model was built, setting the modifications of pinion machining parameters as variables and the least sum of square errors between pinion tooth surface and pinion target tooth surface on both sides as object. This optimization model was solved via sequence quadratic program. The validity of this modification method was demonstrated by using a numerical example of a high speed axle gear pair. The results show that the max normal errors on both sides are -4.7μm and -4.67μm, the transmission error deviations are 6.67% and 4%, the max contact path deviations are 0.275 mm and 0.177 mm, the results are found in line with the preconditions.

Key words：duplex; cycloid tooth; active design; modification; sequence quadratic program

中圖分類號：TH132

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1001-2486(2015)06-167-08

作者簡介：杜進(jìn)輔(1984—)，男，甘肅白銀人，博士研究生，E-mail：robin367@qq.com；萬宗德(通信作者)，男，教授，博士，博士生導(dǎo)師，E-mail:fauto@nwpu.edu.cn

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51175423，51375384)

收稿日期：*2015-01-06

doi:10.11887/j.cn.201506030