●呂建林 (南京市第一中學(xué) 江蘇南京 210001)

根植學(xué)生經(jīng)驗 掌握首選方法
——一次試題講評課對解題教學(xué)的啟示

●呂建林 (南京市第一中學(xué) 江蘇南京 210001)

分析典型例題的解題過程是教學(xué)生學(xué)會解題、學(xué)會“數(shù)學(xué)思維”的有效途徑．一題多解是當(dāng)前解題教學(xué)中的常見方法．然而，在一次高三教師培訓(xùn)中，有位專家指出在解題教學(xué)中不提倡一題多解，教師不應(yīng)向?qū)W生炫耀不同解法，要抓住問題本質(zhì)，讓學(xué)生直接掌握最好的方法．這顛覆了筆者對解題教學(xué)的傳統(tǒng)認知，一題多解到底好不好?怎么做才最有效?

通過對一道調(diào)研測試應(yīng)用題的講評，筆者對此有了一些感悟．

1 試題剖析

題目如圖1所示，公路AM，AN圍成的是一塊頂角為α的角形耕地，其中 tanα=－2．在該塊土地中P處有一小型建筑，經(jīng)測量，它到公路AM，AN的距離分別為3 km，km．現(xiàn)要過點P修建一條直線公路BC，將3條公路圍成的區(qū)域ABC建成一個工業(yè)園．為盡量減少耕地占用，問如何確定點B的位置，使得該工業(yè)園區(qū)的面積最小?并求最小面積．

應(yīng)用題是發(fā)展數(shù)學(xué)理解和數(shù)學(xué)能力的重要載體，是考查學(xué)生綜合使用所學(xué)知識與方法解決實際問題能力的最佳題型．解應(yīng)用題的關(guān)鍵是選擇合適的變量建立數(shù)學(xué)模型并準確解模，模型的選擇在一定程度上決定了解模的難度．這道題應(yīng)該如何建模?是用解三角形法還是用解析法?變量是選斜率還是選邊長?設(shè)1個變量還是2個變量?學(xué)生的知識基礎(chǔ)和思維能力不同，選擇也就多樣化．

圖1

1．1 解析法

從tanα=－2聯(lián)系到直線的傾斜角和斜率，容易想到解析法，即“建系、設(shè)直線方程、求點的坐標再表示面積”的思路．

方法1如圖2，以點A為原點、AB為 x軸建立平面直角坐標系．易得△ABC的面積為

圖2

1．2 幾何法

把△ABC的面積也可以分割成△PEB，△PFC以及四邊形PEAF這3個部分．由于四邊形PEAF的面積是確定的，那么△ABC面積何時最小等價于△PEB和△PFC面積之和何時最?。?/p>

方法5設(shè)∠ABC=θ，則

1．2．2 先證后算法

在筆者認為對這道題的思路探究已經(jīng)基本完成之后，有學(xué)生提出:可以證得當(dāng)點P為BC中點時△ABC面積取最小值，讓人眼前一亮!筆者趕緊提筆嘗試．

方法6如圖4，分別作 PS∥AC，PT∥AB，由△PTC∽△ABC，△PSB∽△ABC可得

在筆者沾沾自喜證出這個結(jié)論時，有學(xué)生給出更簡單的證法．

圖4

圖5

方法7如圖5，過點P作一條以P為中點的直線分別與AM，AN交于點E，F(xiàn)，若EF與BC不重合，再過點E作DE∥CF交BC于點D．由△PCF≌△PDE，得因此一定是當(dāng)點P為BC的中點時△ABC的面積最?。?/p>

這真是一個切中問題本質(zhì)的好方法!

2 對解題教學(xué)的啟示

2．1 充分了解學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗是指導(dǎo)解題的必要基礎(chǔ)

筆者在準備這道題的講評時，想當(dāng)然地認為大多數(shù)學(xué)生選擇的思路應(yīng)該是解析法，試卷的參考答案首先給出的也是解析法．出乎筆者意料的是，多數(shù)學(xué)生選擇了割補法，可見學(xué)生自身的數(shù)學(xué)經(jīng)驗在解題思路選擇中占據(jù)主導(dǎo)地位，但在實際教學(xué)中這一點往往容易被忽視．

從學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)上來看，平面幾何的方法顯然是從初中就開始積累的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，研究幾何圖形時采用割補法甚至先證后算的方法應(yīng)是必然，但筆者卻以自身的思維定勢來指導(dǎo)解題，這充分暴露了筆者對學(xué)生的知識和能力基礎(chǔ)不夠了解，也反映了教師自身在平面幾何知識上的缺陷．學(xué)情掌握不足，師生對問題的認識猶如在2條沒有公共點的軌跡上運行，從而無法產(chǎn)生共鳴．

因此，教師在指導(dǎo)解題時不能先入為主，僅從個人的經(jīng)驗來主觀判斷解題方向和方法的優(yōu)劣，要了解學(xué)生的知識基礎(chǔ)和思維特點，從學(xué)生解題的第一選擇入手，才能找到最接地氣的方法，也能彌補教師自身的不足，實現(xiàn)教學(xué)相長．

2．2 協(xié)助學(xué)生掌握首選方法是提高解題能力的必由之路

這道題的切入點比較多，但是對于學(xué)生而言，最大的難點不是它有幾種解法，而是選擇了一個方向以后怎么把模型準確地建立起來并正確解模．教師若在日常教學(xué)中忽視學(xué)生未完成的解法，只關(guān)注介紹更多的解法，學(xué)生雖然在理性上愿意接受教師提供的新解法，但原有的封閉認識并未消除．因為學(xué)生在自己首選的方法上遇到的困難沒有得到充分解決，下次遇到類似情境，由于封閉的頑固性，障礙依然會再現(xiàn)，這對于學(xué)生建立解題自信、提升解題能力是不利的．

比如本題，有的學(xué)生考慮先求PA再求面積，遇到困難做不下去，如果教師只是說沒必要求PA，接著講其他解法，就失去了教學(xué)的有利時機．此時，教師不妨引導(dǎo)學(xué)生一起來研究:PA能求嗎?怎么求?注意到PA是四邊形PEAF外接圓的直徑，可以設(shè)PA=t，利用∠PAB與∠PAC之和的正弦就能把PA求出來．

在解決了上述問題后，教師如果進一步追問學(xué)生:四邊形PEAF的面積是定值嗎?它對△ABC的面積何時取最小值有沒有影響?由此方法5便水到渠成．

2．3 教學(xué)生一些常見的解題原則是拓寬思路的有效途徑

遇到問題時首選的思路走不通，如何找到其他解法?筆者建議教師學(xué)習(xí)解題理論，并在平時教學(xué)中適時教學(xué)生一些探求解題思路的原則．

探求思路的“平面結(jié)構(gòu)原則”指出:要注意內(nèi)容與方法的統(tǒng)一，把數(shù)學(xué)概念、定理、公式、方法、技巧作為一個整體結(jié)合起來集中思考．解題坐標系就是將數(shù)學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)方法有機結(jié)合起來研究問題的一個工具．

把條件和問題向解題坐標系的內(nèi)容(的應(yīng)用)和方法(的實施)2條軸上投射，每一個投影就能觸發(fā)一個解題思路，這就是探求解題思路的“廣角投影原則”．建模時，從題目條件中的tanα=－2聯(lián)系到直線的斜率，進而選擇解析法;從對問題中三角形面積表示方法的不同解讀得到幾何法或解三角形的方法，這些思路都是把題目條件或問題與數(shù)學(xué)知識相聯(lián)系得到的．解模的時候遇到困難，可以把問題向方法這條軸上投影:如果以直線BC的斜率k為自變量建立函數(shù)關(guān)系式，在解模時可以選擇求導(dǎo)，也可以換元．如果是以AB，AC的邊長為變量建立等量關(guān)系，可以使用基本不等式，或者轉(zhuǎn)化為關(guān)于邊長AB的函數(shù)來解決．

教師在解題教學(xué)中，不應(yīng)盲目追求不同的解法，一題多解因?qū)W生而異，對于基本知識、基本方法掌握得很好的學(xué)生，教師理應(yīng)指點一些新思路，啟發(fā)他們學(xué)會鑒別和優(yōu)選，尋找更接近數(shù)學(xué)本質(zhì)的方法，進一步提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力．但是對于大多數(shù)處于發(fā)展中的、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較弱的學(xué)生，教師應(yīng)該先協(xié)助他們把自己首選的方法完成好、理解透，逐步培養(yǎng)解題的自信心和對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，在他們還沒有熟練掌握一種方法的情況下灌輸更多、更巧的方法也許只會添亂．

簡言之，學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主體，教師的解題教學(xué)應(yīng)生根于學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗和思維起點，要挖掘?qū)W生首選思路的可取之處，關(guān)注解題障礙背后的深層原因，抓住學(xué)生在數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)方法上的漏洞，從中找到教學(xué)的著眼點．