☉江蘇省南通市第一初級中學(xué) 周 玉

教材研究：編排意圖指向何方？
——以人教版“平方根”教學(xué)編排為例

☉江蘇省南通市第一初級中學(xué) 周 玉

華東師大終身教授鐘啟泉先生關(guān)于教材使用，曾有深刻的闡釋，鐘教授認為：“教師究竟是‘教教材’還是‘用教材教’，這是區(qū)分新舊教學(xué)的分水嶺.”并進一步指出：“教師的‘教材研究’，實際上是指教師在深刻理解教材本質(zhì)的基礎(chǔ)上，思考如何借助教材使學(xué)習(xí)者掌握某種能力（關(guān)于自然、社會、文化的知識、技能和態(tài)度），從而思考怎樣的教學(xué)設(shè)計.教師的‘教材研究’的焦點在于如何實現(xiàn)教材的兩個轉(zhuǎn)化.”受到啟發(fā)，筆者將圍繞義務(wù)教育階段人教版教材中關(guān)于“平方根”的編排，就其編排意圖展開深入思考，與同行展開研討，就教于大家.

一、人教版“平方根”的編排及初步理解

在人教版“平方根”中，教科書從典型的實際問題（已知正方形的面積求邊長）出發(fā)，首先介紹算術(shù)平方根，給出算術(shù)平方根的概念和它的符號表示；再對數(shù)的平方根展開討論，介紹利用乘方與開方互為逆運算求數(shù)的平方根的方法，給出平方根的概念和它的符號表示，并探討數(shù)的平方根的特征.

教材中“算術(shù)平方根”是這樣定義的：“如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.”在實際教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生無論在嘗試定義，還是理解定義時，往往會忽視“正數(shù)x”這個條件，所以導(dǎo)致部分同學(xué)在求算術(shù)平方根時反而多出一個答案.事實上能做對的同學(xué)也未必真正理解了算術(shù)平方根的定義，他們中部分人對數(shù)的認識，本身就僅停留在前面兩個學(xué)段所學(xué)的“正有理數(shù)和零”的范疇，做對實屬歪打正著.因為他們在后面“平方根”的學(xué)習(xí)過程中，又再一次暴露出這個問題，出現(xiàn)了丟解的情況，對于“算術(shù)平方根”與“平方根”之間的聯(lián)系與區(qū)別，學(xué)生在認知結(jié)構(gòu)上未能將新經(jīng)驗與舊經(jīng)驗進行綜合概括去建構(gòu)知識，所以理解出現(xiàn)偏差.

鑒于學(xué)生現(xiàn)有的知識儲備與認知水平，我們能否把教學(xué)順序進行調(diào)整，先介紹平方根，再介紹算術(shù)平方根呢？

先來看看教科書為何作此安排，人教版八年級上冊《教師教學(xué)用書》指出：由于實際中所求問題的答案往往是正數(shù)的情況，因此教科書先介紹算術(shù)平方根，讓學(xué)生看到算術(shù)平方根與實際的聯(lián)系，在學(xué)習(xí)算術(shù)平方根的基礎(chǔ)上再學(xué)習(xí)平方根.初中數(shù)學(xué)新課程特別重視問題情境的創(chuàng)設(shè)，常常把它作為數(shù)學(xué)知識的重要來源.那么此處的問題情境究竟能否起到拋磚引玉的作用呢？

二、基于“認知根源”的進一步分析

塔爾在1989年提出認知根源的概念，與某個數(shù)學(xué)概念相關(guān)的特定的生活經(jīng)驗是個體認識這個數(shù)學(xué)概念的認知根源.教材為引入“算術(shù)平方根”創(chuàng)設(shè)的問題情境，可以看作是學(xué)生學(xué)習(xí)“算術(shù)平方根”的認知根源.認知根源具有兩重性，一方面有可能助長概念生成，一方面也可能阻礙概念發(fā)展.此處的問題情境有助于學(xué)生生成“算術(shù)平方根”的概念，卻不利于學(xué)生在“算術(shù)平方根”的基礎(chǔ)之上建構(gòu)“平方根”的概念，甚至給學(xué)生造成一種錯誤的印象，即“方程x2=25只有一個解”.

如何發(fā)揮這個認知根源的優(yōu)勢，幫助學(xué)生由具體的實例向抽象的概念過渡，避免給“平方根”的學(xué)習(xí)造成不必要的困惑，筆者認為可以調(diào)換一下“平方根”的教學(xué)順序，先教“平方根”再教“算術(shù)平方根”.順便指出，著名特級教師李庾南老師在平方根的第1課時，就是先組織學(xué)生學(xué)習(xí)平方根，再引出算術(shù)平方根的概念，筆者感覺非常自然、大方，而且有數(shù)學(xué)味.

學(xué)生在抽象“已知正方形求面積”這個問題時，僅能到達“已知x2=25，求x”這個水平，無法達到“已知正數(shù)x的平方等于25，求正數(shù)x”這一水平，鑒于此，作為教者，我們應(yīng)充分尊重學(xué)生的實際認知能力，在此基礎(chǔ)上開展教學(xué).

平方根屬于運算性概念，而運算性概念包含“過程”和“對象”兩重特性.斯發(fā)德認為“運算性（即過程）是獲得概念的第一步”，研究表明，只有在“過程”上花足夠的時間，積累相當多的經(jīng)驗，才能最終形成概念“對象”.由此可見，平方運算是認識“平方根”的基礎(chǔ)，而且是必經(jīng)之路.那么就讓學(xué)生從平方運算“x2=25”開始，認識開平方運算、認識平方根，又有何不可呢？為什么要人為地制造障礙，增加附加條件“（正數(shù)x）2=25”，使簡單運算復(fù)雜化呢？

而且學(xué)生的這個認知漏洞可以在后面的解答中得到彌補，因為“正方形邊長不可能為負數(shù)”這一認知水平學(xué)生還是具備的，學(xué)生完全可以通過檢驗這一步驟來完善整個問題的解答.也許學(xué)生在建模過程中出現(xiàn)瑕疵，讓教學(xué)看上去不那么完美，但是以尊重學(xué)生認知規(guī)律為基礎(chǔ)的教學(xué)本身才是完美.教材如此安排，還有一個原因是“正數(shù)有兩個平方根”與學(xué)生過去遇到的運算結(jié)果唯一的情況有所不同，學(xué)生不易接受，所以教材先介紹算術(shù)平方根的概念，再介紹平方根的概念.那么學(xué)生是否真的對此一窮二白，毫無準備呢？事實上，學(xué)生進入初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，遇到的第一個問題就是“從正數(shù)到負數(shù)”，因此八年級的學(xué)生所認識到的數(shù)已擴充至有理數(shù)，包括正有理數(shù)、負有理數(shù)和零，“負數(shù)”是他們認知概念中必須具備的；而且在七年級第一學(xué)期就認識到“絕對值是1的數(shù)有兩個”這類雙解的問題.

三、建議先講平方根，再定義算術(shù)平方根

前蘇聯(lián)教育家維果茨基提出的最近發(fā)展區(qū)理論表明，兒童有兩種發(fā)展水平，“一種是已經(jīng)達到的發(fā)展水平；另一種是兒童可能達到的發(fā)展水平”，這兩種水平之間的距離，就是“最近發(fā)展區(qū)”.他主張“教學(xué)應(yīng)走在學(xué)生已有發(fā)展水平前面”，那么在“平方根”的教學(xué)中，我們完全可以不必降低要求，從“算術(shù)平方根”入手；相反我們可以在學(xué)生已有發(fā)展水平之上，提出問題，引出平方根的概念，這樣才能真正促進學(xué)生的發(fā)展，而不是原地踏步.也許從難到易有違情理，看上去不那么完美，但是帶動學(xué)生更高、更快、更強地發(fā)展才是真正的完美.新課程以促進學(xué)生全面、持續(xù)、和諧的發(fā)展為目標，它不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點，更強調(diào)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，而先講平方根正是“數(shù)學(xué)的不完美”成就了“學(xué)生學(xué)習(xí)的完美”.

1.喻平.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)［M］.南寧：廣西教育出版社，2008.

2.李庾南.自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

3.鐘啟泉.新舊教學(xué)的分水嶺［J］.基礎(chǔ)教育課程，2014（2）.

4.章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生學(xué)會思考［J］.數(shù)學(xué)通報，2013（6）.

5.劉東升.悠然神會，妙處與君說——李庾南老師“平方根”課例賞析［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2014（5）.