☉浙江省衢州第二中學(xué) 汪耀生

例析函數(shù)中的“任意存在”與“存在任意”問(wèn)題

☉浙江省衢州第二中學(xué) 汪耀生

函數(shù)中的任意性與存在性問(wèn)題，是函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容交匯處的一個(gè)十分活躍的知識(shí)點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)題型.這類題型通常有以下四種情形：一是單函數(shù)單變量中的任意性與存在性問(wèn)題；二是雙函數(shù)單變量中的任意性與存在性問(wèn)題；三是雙函數(shù)雙變量中的任意存在型問(wèn)題；四是單函數(shù)雙變量中的任意存在型問(wèn)題（包括任意存在型與存在任意型）.前三種情形已為大家所熟知，而第四種情形是近幾年出現(xiàn)的新題型，本文僅對(duì)此型函數(shù)進(jìn)行探討，并分如下兩種情況例說(shuō)其求解策略，供參考.

一、任意存在型

例1已知函數(shù)f（x）=ax-3a+1，若對(duì)任意a∈R，存在x0∈［1，4］，使得f（x0）≥t成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解析：欲使對(duì)任意a∈R，存在x0∈［1，4］，使得f（x0）≥t成立，只需［f（x0）max］min≥t.易知一次函數(shù)f（x0）在［1，4］上的最大值f（x0）max為M（a）=max{f（1），f（4）}.因?yàn)閒（1）= -2a+1，f（4）=a+1，所以M（a）= max{-2a+1，a+1}.視M（a）為關(guān)于變量a的函數(shù)，畫(huà)出其在R上的圖像（如圖1），觀察圖像可知，M（a）min=M（0）=1，從而t≤1，即實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-∞，1］.

評(píng)注：此型函數(shù)僅有一個(gè)f（x），但變量有兩個(gè)：任意變量a在先，存在變量x0在后，因此不等式f（x0）≥t首先應(yīng)理解為關(guān)于x0在［1，4］上的有解不等式（故f（x0）max≥t），其次再將所得不等式f（x0）max≥t理解為關(guān)于a在R上的恒成立不等式（因?yàn)榇藭r(shí)變量x0已然“退出”，所以f（x0）max僅為關(guān)于變量a的表達(dá)式M（a）），從而有［f（x0）max］min≥t.其中，內(nèi)層函數(shù)的最大值是對(duì)變量x0而言的，而外層對(duì)最大值而求的最小值是對(duì)變量a而言的.

變式1：已知函數(shù)f（x）=x2+ax-2a-10，若對(duì)任意a∈R，存在x0∈［-1，3］，使得f（x0）≥t成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解析：欲使對(duì)任意a∈R，存在x0∈［-1，3］，使得f（x0）≥t成立，只需［f（x0）max］min≥t.易知開(kāi)口朝上的二次函數(shù)f（x0）在［-1，3］上的最大值f（x0）max為M（a）=max{f（-1），f（3）}.因?yàn)閒（1）= -3a-9，f（3）=a-1，所以M（a）= max{-3a-9，a-1}.視M（a）為關(guān)于變量a的函數(shù)，畫(huà)出其在R上的圖像（如圖2），觀察圖像可知，M（a）min=M（-2）=-3，從而t≤-3，即實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-∞，-3］.

評(píng)注：（1）觀察圖像易知，單調(diào)函數(shù)與開(kāi)口朝上的二次函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最大值都只能在區(qū)間端點(diǎn)處取得；（2）函數(shù)M（a）=max{g1（a），g2（a）}（a∈R）的圖像由函數(shù)g1（a）與g2（a）兩者圖像中較高的部分組成.

變式2：已知函數(shù)f（x）=x2+（a-2）x，若對(duì)任意a∈［0，4］，存在x0∈［-1，1］，使得|f（x0）|≥t成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解析：欲使對(duì)任意a∈［0，4］，存在x0∈［-1，1］，使得|f（x0）|≥t成立，只需［|f（x0）|max］min≥t.由圖像易知|f（x0）|在［-1，1］上的最大值|（fx0）|max為M（a）=max其中為函數(shù)（fx）的對(duì)稱軸.因?yàn)閨（f1）|=|1+（a-2）|，|（f-1）|= |1-（a-2）|，所以max{|（f1）|，|（f-1）|}=1+|a-2|.又所以視M（a）為關(guān)于變量a的函數(shù)，先畫(huà)出其在R上的圖像（如圖3），然后截取它在［0，4］上的“片段”，觀察圖像可知，M（a）min=M（2）=1，從而t≤1，即實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-∞，1］.

評(píng)析：（1）觀察圖像易知，當(dāng)f（x）為開(kāi)口朝上的二次函數(shù)時(shí)，函數(shù)|f（x）|在閉區(qū)間內(nèi)的最大值可能在區(qū)間端點(diǎn)或極大值點(diǎn)處取得（三者中最大的）；（2）變式2中還運(yùn)用了性質(zhì)：max{|a+b|，|a-b|}=|a|+|b|（a，b∈R）（請(qǐng)讀者自行證明）.

二、存在任意型

例2已知函數(shù)f（x）=-ax+3a-1，若存在a∈R，對(duì)任意x∈［1，4］，都有f（x）≥t恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解析：欲使存在a∈R，對(duì)任意x∈［1，4］，都有f（x）≤t恒成立，只需［f（x）min］max≥t.易知一次函數(shù)f（x0）在［1，4］上的最小值f（x）min為M（a）=min{f（1），f（4）}.因?yàn)閒（1）=2a-1，f（4）=-a-1，所以M（a）=min{2a-1，-a-1}.視M（a）為關(guān)于變量a的函數(shù)，畫(huà)出其在R上的圖像（如圖4），觀察圖像可知，M（a）max=M（0）=-1，從而t≤-1，即實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-∞，-1］.

評(píng)注：此型函數(shù)僅有一個(gè)f（x），但變量有兩個(gè)：存在變量a在先，任意變量x在后，因此不等式f（x）≥t首先應(yīng)理解為關(guān)于x在［1，4］上的恒成立不等式（故f（x）min≥t），其次，再將所得不等式f（x）min≥t理解為關(guān)于a在R上的有解不等式（因?yàn)榇藭r(shí)變量x已然“退出”，所以f（x）min僅為關(guān)于變量a的表達(dá)式M（a）），從而有［f（x）min］max≥t.其中，內(nèi)層函數(shù)的最小值是對(duì)變量x而言的，而外層對(duì)最小值而求的最大值是對(duì)變量a而言的.

變式1：已知函數(shù)f（x）=-x2-ax+2a+10，若存在a∈R，對(duì)任意x∈［-1，3］，都有f（x）≥t恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解析：欲使存在a∈R，對(duì)任意x∈［-1，3］，使得f（x0）≥t成立，只需［f（x）min］max≥t.易知開(kāi)口朝下的二次函數(shù)f（x）在［-1，3］上的最小值f（x）min為M（a）=min{f（-1），f（3）}.因?yàn)閒（1）=3a+9，f（3）=-a+1，所以M（a）=min{3a+9，-a+1}.視M（a）為關(guān)于變量a的函數(shù)，畫(huà)出其在R上的圖像（如圖5），觀察圖像可知，M（a）min= M（-2）=3，從而t≤3，即實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-∞，3］.

評(píng)注：（1）觀察圖像易知，單調(diào)函數(shù)與開(kāi)口朝下的二次函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最小值都只能在區(qū)間端點(diǎn)處取得；（2）函數(shù)M（a）=min{g1（a），g2（a）}（a∈R）的圖像由函數(shù)g1（a）與g2（a）兩者圖像中較低的部分組成.

變式2：已知函數(shù)f（x）=-x2+（2-a）x，若存在a∈［0，4］，對(duì)任意x∈［-1，1］，都有|f（x）|≤t恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解析：欲使存在a∈［0，4］，對(duì)任意x∈［-1，1］，都有|f（x）|≥t恒成立，只需［|f（x）|min］max≥t.由圖像易知|f（x）|在［-1，1］上的最小值（|fx）|min為M（a）=min其中為函數(shù)（fx）的對(duì)稱軸.因?yàn)閨（f1）|=（|-1）+（a-2）|，所以min{|f（1）|，|f（-1）|}=|1-|a-2||.又，所以M（a）=min視 M（a）為關(guān)于變量a的函數(shù)，先畫(huà)出其在R上的圖像（如圖6），然后截取它在［0，4］上的“片段”，觀察圖像可知，M（a）max=M（0）（或M（4））=1，從而t≤1，即實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-∞，1］.

評(píng)注：（1）觀察圖像易知，當(dāng)f（x）為開(kāi)口朝下的二次函數(shù)時(shí)，函數(shù)|f（x）|在閉區(qū)間內(nèi)的最小值可能在區(qū)間端點(diǎn)或極小值點(diǎn)處取得（三者中最小的）；（2）變式2中還運(yùn)用了性質(zhì)：min{|a+b|，|a-b|}=||a|-|b||（a，b∈R）（請(qǐng)讀者自行證明）.

友情鏈接：此二型解題過(guò)程中常用到如下結(jié)論：

（1）若對(duì)任意x∈D，不等式t≤f（x）恒成立?t≤f（x）min（x∈D）；

（2）若對(duì)任意x∈D，不等式t≥f（x）恒成立?t≥f（x）max（x∈D）；

（3）若存在x∈D，使不等式t≤f（x）成立?t≤f（x）max（x∈D）；

（4）若存在x∈D，使不等式t≥f（x）成立?t≥f（x）min（x∈D）.

通過(guò)上述例題和變式可以看出，此二型題目中均只含有一個(gè)函數(shù)、兩個(gè)變量（任意型變量和存在型變量），由于這兩個(gè)變量沒(méi)有關(guān)聯(lián)（即它們?cè)诟髯詤^(qū)間上的取值具有獨(dú)立性），因此這類題型均可轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題與有解問(wèn)題，最后借助上述鏈接轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題加以解決.但此二型在將其看作是有解問(wèn)題還是恒成立問(wèn)題的次序上顯然是有差別的：“任意存在型”首先是對(duì)存在變量的有解問(wèn)題，然后才是對(duì)任意變量的恒成立問(wèn)題；而“存在任意型”正好與之相反，即它首先是對(duì)任意變量的恒成立問(wèn)題，然后才是對(duì)存在變量的有解問(wèn)題.可見(jiàn)，此類題型已將恒成立問(wèn)題與有解問(wèn)題揉為一體、交相輝映，對(duì)學(xué)生的能力是一種極好的考查，因此在高三的復(fù)習(xí)備考中應(yīng)引起足夠的重視.

1.傅建紅.聚焦函數(shù)中的任意性與存在性問(wèn)題［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2012（3）.F