☉浙江省寧波市鄞州高級(jí)中學(xué) 葉琪飛

滲透學(xué)法，讓學(xué)生的思維枝繁葉茂
——以“向量加法運(yùn)算及其幾何意義”為例

☉浙江省寧波市鄞州高級(jí)中學(xué) 葉琪飛

中國教育科學(xué)研究院教育綜合改革實(shí)驗(yàn)區(qū)“第三屆高質(zhì)量課堂展示活動(dòng)”于2015年1月5日～6日在重慶舉行.來自全國各綜合改革實(shí)驗(yàn)區(qū)的領(lǐng)導(dǎo)專家和老師共450余人參加會(huì)議，這次“第三屆高質(zhì)量課堂展示活動(dòng)”為期兩天，全國八個(gè)教育綜合改革實(shí)驗(yàn)區(qū)高中數(shù)學(xué)優(yōu)秀教師展示了各區(qū)域的生態(tài)課堂、智慧課堂、文化課堂、卓越課堂、幸福課堂、品質(zhì)課堂、生動(dòng)課堂等各具特色的課堂模式，部分課堂為同課異構(gòu)，充分體現(xiàn)了實(shí)驗(yàn)區(qū)的成果和特色.由實(shí)驗(yàn)區(qū)的8位高中數(shù)學(xué)教研員組成的評(píng)委團(tuán)現(xiàn)場打分，筆者執(zhí)教的“向量加法運(yùn)算及其幾何意義”排名第一，獲得特等獎(jiǎng).現(xiàn)將其整理，與同行分享.

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念，它是“溝通代數(shù)、幾何、三角的一種工具”，其工具作用主要體現(xiàn)在向量的運(yùn)算方面，向量的加法運(yùn)算是向量運(yùn)算的基礎(chǔ).平面向量的加法運(yùn)算是通過類比數(shù)的加法，以位移的合成、速度的合力等兩個(gè)物理模型為背景引入的.向量的加法不同于數(shù)的加法，運(yùn)算中包含大小與方向兩個(gè)方面，向量加法的法則是通過畫圖得到的，從這個(gè)角度來看，研究向量加法是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的一種突破.是學(xué)習(xí)向量的減法、數(shù)乘及平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算等內(nèi)容的知識(shí)基礎(chǔ)，為進(jìn)一步理解其他的數(shù)學(xué)運(yùn)算（如函數(shù)、映射、變換、矩陣的運(yùn)算等）創(chuàng)造了條件，向量的加法在這里起著承上啟下的作用.通過不斷與數(shù)進(jìn)行類比，學(xué)習(xí)向量加法及其幾何性質(zhì)，充分體現(xiàn)了類比思想在研究問題過程中的重要作用.

一、通過類比，確定任務(wù)

1.教學(xué)片斷呈現(xiàn)

“同學(xué)們，你們在十幾年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，始終都跟兩類對象打交道：數(shù)與形.對數(shù)的學(xué)習(xí)，我們不妨一起來梳理一下，經(jīng)歷以下內(nèi)容：數(shù)的概念；數(shù)的運(yùn)算；數(shù)的運(yùn)算規(guī)律；數(shù)的運(yùn)算應(yīng)用舉例.模仿對數(shù)的學(xué)習(xí)，請?jiān)O(shè)計(jì)對向量的學(xué)習(xí)清單.

2.評(píng)析與思考

荷蘭著名數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中說：“數(shù)學(xué)是充滿聯(lián)系的，不要教孤立的片段，應(yīng)該教聯(lián)系的材料.”可將對平面向量的學(xué)習(xí)類比于數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生在十幾年對數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，其流程極具程序化：概念—運(yùn)算—運(yùn)算律—應(yīng)用舉例，將類比這一思維方式貫穿課堂始終，引領(lǐng)全局，一氣呵成，一個(gè)好的課堂結(jié)構(gòu)應(yīng)該是站在知識(shí)系統(tǒng)的高度引領(lǐng)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，將類比這種方法深入學(xué)生內(nèi)心，進(jìn)行現(xiàn)場組織，這樣能為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展提供源源不斷的源泉.

二、概念同化，重在遷移

1.教學(xué)片斷呈現(xiàn)

引入1：這次來重慶筆者有兩種計(jì)劃，從地圖上看：第一種計(jì)劃從寧波出發(fā)途徑北京到重慶，第二種計(jì)劃是直接從寧波到重慶（展示中國地圖）.這是物理背景中位移的合成，第一種計(jì)劃中兩次位移的結(jié)果與第二次一次位移的結(jié)果相同，物理中把后一次位移稱為前兩次位移的和，去掉物理背景，我們可以視其兩個(gè)向量的和.

引入2：到了重慶自己肯定要到朝天門碼頭看看，朝天門碼頭在長江與嘉陵江的交匯處，夜景非常漂亮，如果乘上一艘船觀賞兩岸的風(fēng)景更是一大美事.數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運(yùn)算的角度看，船實(shí)際的行駛速度v可以認(rèn)為是與船在靜水中的速度v1和水流的速度v2的和.

2.評(píng)析與思考

上公開課要接地氣，貼近學(xué)生實(shí)際，才能產(chǎn)生共鳴，學(xué)生對向量這個(gè)概念并不陌生，完全沒必要推倒重來，在物理學(xué)科中，位移的合成，速度、力的合成都是向量加法的物理模型，在矢量的合成中學(xué)生對三角形法則與平行四邊形法則了然于心，掌握得很熟練.那數(shù)學(xué)為什么還要學(xué)習(xí)向量呢？相比矢量，向量更具有一般性和普適性，向量的起點(diǎn)可以隨意，只要方向和長度確定，可以自由平行移動(dòng)，數(shù)學(xué)中對兩向量加法把握住原有知識(shí)的生長點(diǎn)，老師要做的工作只需要喚醒.

三、植入探究，碰撞思維

1.教學(xué)片斷

呈現(xiàn)教師用兩個(gè)實(shí)物向量演示，反復(fù)強(qiáng)調(diào)“首尾連，共起點(diǎn)”.再擺弄兩個(gè)道具向量，如果兩個(gè)向量共線，和向量有沒有？共線時(shí)平行四邊形法則沒有了和向量.三角形法則還是有和向量，因此它的“口訣”可以借用到共線中探究，作同向共線和反向共線的和向量時(shí)要求每個(gè)向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)標(biāo)上大寫字母，便于說明和向量是在哪里.第一、二組作同向共線和向量，第三、四組作反向共線和向量，自己完成后把另外兩組的任務(wù)也完成好，教師巡視.

請兩位學(xué)生在實(shí)物投影儀上展示.教師小結(jié)，補(bǔ)充說明.強(qiáng)調(diào)借用三角形法則的“口訣”——首尾連，起點(diǎn)指向終點(diǎn).小組討論內(nèi)容大于形式，創(chuàng)造性地調(diào)動(dòng)小組長和組員的學(xué)習(xí)積極性，教師提問，前后4人一組，分組交流，了解學(xué)生思考問題的進(jìn)展過程，鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)了兩種求和方法的認(rèn)知基礎(chǔ)上，通過作圖展示突破思維的障礙，學(xué)習(xí)小組展示成果，學(xué)生在合作探究中得出結(jié)論：（a+b）+c=a+（b+c）.教師讓學(xué)生明確探究途徑是使用加法法則作圖研究，并且作圖需要設(shè)計(jì)，選擇理想的方法，清晰表述證明過程，學(xué)生通過合作交流、自主探究，通過畫圖動(dòng)手驗(yàn)證，完成對相關(guān)運(yùn)算律的證明.

2.評(píng)析與思考

新課程改革倡導(dǎo)自主、探究、合作，要求改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式.本節(jié)課有對向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律的合作探究和分組討論，學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過程，感受解決問題的喜悅，教師在這個(gè)過程中作為參與者、引導(dǎo)者、合作者，充分體現(xiàn)了教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用.

四、數(shù)學(xué)建模，應(yīng)用舉例

1.教學(xué)片斷呈現(xiàn)

在引入的時(shí)候，筆者向大家展示了朝天門碼頭下游的其中一艘船的速度合成，下面筆者加入了一些具體數(shù)據(jù)，看看大家學(xué)以致用的能力.

長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進(jìn)行運(yùn)輸.一艘船從長江南岸A點(diǎn)出發(fā)，以km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向東2km/h.

（1）試用向量表示江水速度、船速及船的實(shí)際航行的速度；

（2）求船實(shí)際航行速度的大小與方向（.用與江水速度間的夾角表示）.

2.評(píng)析與思考

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，以及數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí).上課的引入情境不能上課伊始一用了之，然后束之高閣，在課中最好有個(gè)呼應(yīng)作用，本課例中的應(yīng)用切合引入問題背景，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個(gè)持續(xù)的“無疑—有疑—無疑”的動(dòng)態(tài)循環(huán)和提高超越過程.要培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力，而應(yīng)該多次使用.

五、概念延伸，文化引領(lǐng)

1.教學(xué)片斷呈現(xiàn)

這節(jié)課之后，你還想做些怎么樣的探究對所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行小結(jié)，為實(shí)際應(yīng)用打下基礎(chǔ).通過開放型問題，拓展學(xué)生的視野，提高學(xué)生的探究意識(shí).同學(xué)們，向量加法運(yùn)算是向量運(yùn)算中最基本的一種運(yùn)算，向量和的求作方法同學(xué)們也必須掌握，而“和”是中國文化的特征向量，也是我們所追求的最高境界，我們現(xiàn)在在學(xué)海中遨游，要使我們自己的速度與風(fēng)速、洋流的速度合起來的和速度達(dá)到最大，用今天學(xué)習(xí)的平行四邊形法則知道，只要方向盡可能一致時(shí)，實(shí)際的速度會(huì)更快些.最后祝愿大家在今后的學(xué)習(xí)中乘風(fēng)破浪，利用一切有利因素，堅(jiān)持不懈，到達(dá)理想的彼岸，謝謝大家！

2.評(píng)析與思考

數(shù)學(xué)課堂要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，做到數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)文化的巧妙融合，做到“潤物細(xì)無聲”，雖不能將課程三維目標(biāo)承載在一堂課上，但如果每堂課不分重點(diǎn)課程目標(biāo)，那課程目標(biāo)又從何談起？從問題提出到問題解決都竭力把探究問題的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生操作實(shí)驗(yàn)、直觀感知、自主探索、合作交流，使學(xué)生全面參與、全員參與、全程參與，真正確立其主體地位.而教師作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者，要及時(shí)給予點(diǎn)撥和糾正.

注重學(xué)科間的貫通，推進(jìn)扎實(shí)，創(chuàng)意新穎，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的思維積極性，并立足于小組合作及小組負(fù)責(zé)人檢視指導(dǎo)組員等方法，有效挖掘了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)潛力，為高中數(shù)學(xué)的生動(dòng)課堂教學(xué)做出了極具意義的探索.

1.石志群.“練習(xí)”不一定就是給“練”的［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2011（7）.

2.葉琪飛.淺論變式教學(xué)的有效性［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2012（5）.

3.章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2010（3）.

4.趙緒昌.淺談數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的等待［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2011（6）.F