☉江蘇省南通市陳橋中學(xué)　陳建均

以“微話題”為導(dǎo)向，在探討中促生成
——由“圓錐的側(cè)面積和全面積”教學(xué)說起

☉江蘇省南通市陳橋中學(xué)陳建均

本節(jié)課是在進(jìn)行初中數(shù)學(xué)“微話題探討式學(xué)習(xí)”教學(xué)策略研究過程中，筆者代表課題組開設(shè)了一節(jié)“圓錐的側(cè)面積和全面積”的區(qū)級(jí)公開課.

一、教學(xué)簡(jiǎn)錄

筆者在課前布置學(xué)生用紙或紙板制作一個(gè)有底的圓錐模型.

上課伊始，筆者首先請(qǐng)學(xué)生在小組內(nèi)交流制作過程，談?wù)勚谱鬟^程中遇到的問題或心得.筆者在參與小組探討過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生知道圓錐的側(cè)面展開圖是扇形、圓錐的底是圓，探討的話題主要集中在：（1）畫出扇形后，如何給圍出的圓錐配一個(gè)合適的底；（2）畫出圓后，如何配一個(gè)合適的側(cè)面.

師：為什么你選擇畫扇形和圓？（微話題一）

學(xué)生的結(jié)論是圓錐的側(cè)面展開圖是扇形、底面是圓.筆者進(jìn)一步追問“為什么圓錐的側(cè)面展開圖是扇形？”學(xué)生探討的結(jié)論是圓錐的頂點(diǎn)到底面圓上各點(diǎn)的距離相等，根據(jù)圓的學(xué)習(xí)，圓錐的側(cè)面展開圖是扇形.

師：剛才大家提到圓錐的頂點(diǎn)到底面圓上各點(diǎn)的距離相等，這樣的線段有無數(shù)條.你能給它們起個(gè)名稱、下個(gè)定義嗎？（微話題二）

在側(cè)線、外側(cè)線、圍線、母線等名稱的討論中，最終母線勝出.學(xué)生認(rèn)為這些線段好像母親環(huán)抱著自己的孩子，把這些線段叫做母線準(zhǔn)確而形象.學(xué)生給出的定義是連接圓錐的頂點(diǎn)到底面圓上各點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線.

師：很多同學(xué)選擇先畫扇形，再給圍出的圓錐配一個(gè)底，你能給出這個(gè)底面圓的半徑嗎？（微話題三）

其中一組學(xué)生提出：把圍出的圓錐扣在紙上，利用“不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓”找出圓心，量出半徑.筆者對(duì)該方案給予充分肯定的同時(shí)提出“這個(gè)方案容易出現(xiàn)誤差，能夠通過計(jì)算提高準(zhǔn)確度嗎？”學(xué)生探討的結(jié)論是量出扇形的圓心角和半徑，再利用圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)，求出底面圓的半徑.

師：有少部分同學(xué)選擇先畫圓，再配圓錐的側(cè)面，你認(rèn)為最大的困難在哪里？如何解決？（微話題四）

學(xué)生很快就明確了最大的困難在于求扇形圓心角的度數(shù).關(guān)于如何求扇形的圓心角，學(xué)生探討的結(jié)論是量出底面圓的半徑和扇形的半徑，再利用圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)，從而求出扇形的圓心角.

師：兩種解決方案都用到了一個(gè)等量關(guān)系，這個(gè)等量關(guān)系是什么？你能依據(jù)兩種解決方案，出兩道數(shù)學(xué)簡(jiǎn)答題給小組內(nèi)的同伴做嗎？（微話題五）

學(xué)生注意到等量關(guān)系是圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng).兩種方案對(duì)應(yīng)兩道題：（1）已知圓錐的側(cè)面展開圖扇形的半徑和圓心角，求底面圓的半徑；（2）已知圓錐底面圓的半徑和側(cè)面展開圖扇形的半徑，求扇形的圓心角.

師：老師這兒也有一道題：已知圓錐的母線長(zhǎng)是2，底面圓半徑是3，則圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角是____°.你幫老師想想.（微話題六）

部分學(xué)生算出540°后認(rèn)為完成了；部分學(xué)生在仔細(xì)檢查解題過程中，試圖在計(jì)算上發(fā)現(xiàn)問題；部分學(xué)生在小聲議論題目出錯(cuò)了.

師：錯(cuò)在哪兒？為什么？（微話題七）

學(xué)生探討的結(jié)論是圓錐的底面圓的半徑、高、母線構(gòu)成了一個(gè)直角三角形，斜邊大于直角邊，所以此題出錯(cuò)了.

師：老師手中的這個(gè)圓錐模型，底面圓的半徑r＝3，母線l＝5，你能幫老師算出用了多少面積的紙板嗎？（微話題八）

筆者在參與小組探討中發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生先求圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角，再求扇形的面積；少部分學(xué)生利用圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)的等量關(guān)系，結(jié)合扇形弧長(zhǎng)與扇形面積之間的聯(lián)系求出扇形的面積；少部分學(xué)生沒有加上底面積.

筆者請(qǐng)兩位學(xué)生板書了兩種求圓錐側(cè)面積的方法.

師：圓錐的底面圓的半徑r＝2，母線l＝3，你能快速算出圓錐的側(cè)面積嗎？說說你是怎么做到的？（微話題九）

部分學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓錐的側(cè)面面積等于πrl.筆者追問“你會(huì)推導(dǎo)嗎？”引導(dǎo)學(xué)生完成證明.筆者又說：“老師再給大家出一道搶答題.圓錐的底面圓的半徑為5，高為12，求圓錐的側(cè)面積.”

部分學(xué)生的答案是60π，部分學(xué)生的答案是65π.

師：為什么會(huì)有不一樣的答案？問題在哪兒？（微話題十）

部分原先答案是60π的學(xué)生在反思自己的方法后很快發(fā)現(xiàn)了其中的問題.筆者請(qǐng)其中的一位學(xué)生講了做這道題的體會(huì)：在使用公式時(shí)要注意看清條件.

師：老師的這個(gè)圓錐模型，有同學(xué)算出需要15π的紙板，有同學(xué)算出需要24π的紙板，你認(rèn)為哪個(gè)答案是正確的，請(qǐng)說明理由.（微話題十一）

學(xué)生指出前者少算了底面積，這是一個(gè)有底的圓錐模型，它的表面積應(yīng)該是底面積和側(cè)面積的和.

師：在這節(jié)課的話題研討中，你認(rèn)為這節(jié)課中最大的學(xué)習(xí)收獲是什么？請(qǐng)跟你的同伴進(jìn)行交流.（微話題十二）

學(xué)生談到最有意思的是母線的命名；學(xué)生談到制作圓錐模型需要運(yùn)用等量關(guān)系——圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)；學(xué)生談到最有價(jià)值的發(fā)現(xiàn)是圓錐的側(cè)面面積公式.

二、以“微話題”為導(dǎo)向，在探討中促生成

“微話題”簡(jiǎn)單來說就是小的談?wù)摰闹黝}.在本節(jié)課中，筆者通過設(shè)置“用紙或紙板制作一個(gè)有底的圓錐模型”的活動(dòng)引出了微話題“如何用紙或紙板制作一個(gè)有底的圓錐模型”，并在此基礎(chǔ)上圍繞學(xué)生出現(xiàn)的問題、知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系設(shè)置了若干“微話題”，最終達(dá)成本課的學(xué)習(xí)目標(biāo).

1.抓住學(xué)生出現(xiàn)的問題

筆者認(rèn)為課堂教學(xué)要關(guān)注學(xué)生存在的問題，在學(xué)生的問題上多花時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生提出問題、分析解決問題；同時(shí)課堂時(shí)間又是有限的，筆者認(rèn)為需要選擇典型的問題進(jìn)行探討，非典型問題小組內(nèi)探討解決.在本節(jié)課中，學(xué)生帶著問題走進(jìn)課堂，首先在小組內(nèi)交流，進(jìn)行小組內(nèi)的微話題探討.筆者參與其中了解了學(xué)生探討的微話題后，篩選出了全班探討的兩個(gè)微話題.本著優(yōu)先考慮大多數(shù)學(xué)生的問題，確定了兩個(gè)微話題的順序，分別對(duì)應(yīng)微話題三、四.對(duì)于后面發(fā)現(xiàn)的兩處典型性錯(cuò)誤，筆者安排了兩個(gè)微話題，促進(jìn)學(xué)生的反思，加深對(duì)公式的理解和認(rèn)識(shí)，分別對(duì)應(yīng)微話題十、十一.

2.順應(yīng)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系

筆者認(rèn)為課堂教學(xué)要順應(yīng)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，在知識(shí)的自然生長(zhǎng)上多花時(shí)間.宏觀上，微話題“如何用紙或紙板制作一個(gè)有底的圓錐模型”構(gòu)成了本節(jié)課探討的主線.微觀上，學(xué)生雖然知道圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，但是局限于感性的認(rèn)識(shí)并未進(jìn)行理性的分析，因此，筆者安排微話題一引導(dǎo)學(xué)生加以思考，并自然引向微話題二探討出母線的概念和定義.筆者又利用微話題六的探討引出圓錐的底面圓的半徑、高和母線三者之間的關(guān)系.

3.在探討中促生成

初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該更輕松、活潑，這樣更符合初中生的年齡特點(diǎn)，更有益于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，推動(dòng)學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展.本節(jié)課筆者始終和學(xué)生保持平視，和學(xué)生一起合作學(xué)習(xí)，從小組的探討到全班的探討，推動(dòng)學(xué)生的思考，讓學(xué)生的思維自然地向前發(fā)展.學(xué)生的自主思考學(xué)習(xí)，生生、師生的合作學(xué)習(xí)交替出現(xiàn)，互動(dòng)錯(cuò)落有致，思維的火花不時(shí)迸發(fā).

1.章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2010（3-5）.

2.鄭毓信.“數(shù)學(xué)教師的基本功”之三善于優(yōu)化［J］.人民教育，2008（20）.

3.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

4.李庾南.自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］.北京：人民教育出版社，2013.