陳 晶，岳曉奎

（西北工業(yè)大學(xué) 陜西 西安 710072）

編隊(duì)飛行是一項(xiàng)重要的使能技術(shù)，基于傳統(tǒng)推力器的編隊(duì)飛行存在推進(jìn)劑消耗和羽流污染等問題，電磁編隊(duì)飛行可有效克服上述問題，具有廣泛的應(yīng)用前景[1]。電磁衛(wèi)星上安有三組正交通電線圈，當(dāng)配合使用控制力矩陀螺等姿態(tài)控制器時(shí)，可對(duì)衛(wèi)星的位置和姿態(tài)進(jìn)行協(xié)同控制。

之前的相關(guān)研究驗(yàn)證了電磁編隊(duì)飛行的可行性：Kwon[2]研究了電磁衛(wèi)星近距離時(shí)的機(jī)動(dòng)；Eslinger[3]首先在微重力環(huán)境下演示驗(yàn)證了電磁衛(wèi)星。Elias[4]將動(dòng)力學(xué)模型線性化，并采用了非線性控制器。由于系統(tǒng)存在很強(qiáng)的非線性和耦合性，以及眾多的約束條件，電磁編隊(duì)的軌跡重構(gòu)問題充滿挑戰(zhàn)。為了生成合理的重構(gòu)軌跡，先前的研究中分別采用了滑模變結(jié)構(gòu)控制[5]、人工勢(shì)函數(shù)法[6]和最優(yōu)控制等方法。對(duì)于最優(yōu)控制，偽譜法可用于離散狀態(tài)空間，其求解方法往往依賴于商業(yè)優(yōu)化軟件，如 OTIS和DIDO等。

目前，電磁編隊(duì)飛行的研究中仍存在一些問題。首先，多數(shù)研究往往基于三自由度的動(dòng)力學(xué)模型，這忽略了電磁的耦合特性，因此需建立六自由度的空間相對(duì)動(dòng)力學(xué)模型。此外，由于系統(tǒng)存在很強(qiáng)的非線性和耦合性，現(xiàn)有的優(yōu)化軟件有可能并不適用，因此需采用高精度的數(shù)值算法進(jìn)行求解。

文中將首先介紹電磁力學(xué)的相關(guān)內(nèi)容，然后推導(dǎo)非線性的姿軌耦合動(dòng)力學(xué)模型，接著利用了勒讓德偽譜法，將電磁編隊(duì)的重構(gòu)問題轉(zhuǎn)化為有約束的最優(yōu)控制問題，最后改進(jìn)數(shù)值算法，并進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 六自由度動(dòng)力學(xué)模型

在本節(jié)，編隊(duì)的相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)模型將描述在固連于主星的Hill系下，相對(duì)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型將描述在從星本體系下，坐標(biāo)系如常規(guī)方式定義。

1.1 相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)

忽略軌道攝動(dòng)影響，相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)模型可描述為：

其中：

在實(shí)際應(yīng)用中，通常需利用參考軌道的角速度，將該模型進(jìn)行單位化處理，以提高計(jì)算精度。

1.2 相對(duì)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)

對(duì)于電磁衛(wèi)星，切向的電磁力會(huì)引起電磁力矩的產(chǎn)生，而由于電磁力矩的幅值有限，通常需在衛(wèi)星上配置姿態(tài)控制系統(tǒng)，本文采用控制力矩陀螺(CMG)模型，將電磁衛(wèi)星視作六自由度的控制器。對(duì)于常規(guī)編隊(duì)的主星，通常任其在空間自由翻滾，對(duì)其姿態(tài)不加以控制；但電磁編隊(duì)內(nèi)的衛(wèi)星由于受到電磁力矩的作用，需對(duì)每顆衛(wèi)星的姿態(tài)均進(jìn)行主動(dòng)控制。

編隊(duì)內(nèi)第i個(gè)從星相對(duì)于主星的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

其中qri為從星本體系相對(duì)于主星本體系的姿態(tài)四元數(shù)；ωri為相應(yīng)的姿態(tài)角速度，其定義如下：

其中Aic為主星本體系到從星本體系的轉(zhuǎn)換矩陣；ωc是主星姿態(tài)角速度。

將主星的電磁力矩與控制力矩之和記為Tc，從星的電磁力矩與控制力矩之和記為Ti，從星相對(duì)于主星的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程可寫作：

當(dāng)Ic=Ii=I=diga[I1,I2,I3]滿足I1=I2=I3時(shí)，可定義等效合控制力矩 T△ri，其形式為：

控制量T△ri的引入能保證電磁耦合效應(yīng)的充分利用，將電磁力矩視為控制力矩的一部分，而不是干擾力矩；此外，T△ri內(nèi)含有Ti和Tc這兩個(gè)控制量，這涉及到姿態(tài)控制的分配問題，即角動(dòng)量分配問題，因此可以將相對(duì)姿態(tài)的控制問題視作最優(yōu)控制問題，進(jìn)行求解。忽略下標(biāo)的ri，可以得到以相對(duì)姿態(tài)四元

數(shù)的二階形式描述的從星相對(duì)于主星的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程：

由于如式(6)所示的動(dòng)力學(xué)方程形式復(fù)雜，具有很強(qiáng)的非線性。為了求解角動(dòng)量分配問題的方便，此處將先采用非線性反饋控制，將相對(duì)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型寫為狀態(tài)誤差的形式，再進(jìn)行最優(yōu)控制問題的求解。由于姿態(tài)四元數(shù)存在歸一化的約束，對(duì)姿態(tài)進(jìn)行控制時(shí)，只需對(duì)相對(duì)姿態(tài)四元數(shù)的矢部qv進(jìn)行控制，定義狀態(tài)誤差為e=qv-qvd=qv，則姿態(tài)控制系統(tǒng)的控制目標(biāo)轉(zhuǎn)化為設(shè)計(jì)控制律，使e→0得；當(dāng)?shù)刃Ш峡刂屏豑△選取為時(shí)，相對(duì)姿態(tài)的誤差模型形式如下：

當(dāng)選擇合適的控制參數(shù)矩陣Kp和Kd時(shí)，可以保證上式所描述的誤差動(dòng)力學(xué)模型是指數(shù)穩(wěn)定的；當(dāng)考慮有界干擾時(shí)，能夠保證該誤差模型是漸進(jìn)穩(wěn)定的，即當(dāng)t→0時(shí)，e→0→0。該證明過程在此不贅述。

1.3 六自由度相對(duì)動(dòng)力學(xué)模型

對(duì)于考慮姿軌耦合效應(yīng)的動(dòng)力學(xué)模型，將x=[rT,eT]T和u=[aT,T△T]T作為狀態(tài)變量和控制變量，則六自由度相對(duì)動(dòng)力學(xué)模型可寫為如下形式：

其中：

本文只對(duì)六自由度動(dòng)力學(xué)中的相對(duì)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)采用了非線性反饋控制，將其寫為狀態(tài)誤差的形式，從而便于系統(tǒng)角動(dòng)量分配這一最優(yōu)控制問題的求解。在下一章中將基于此動(dòng)力學(xué)模型，利用最優(yōu)控制理論，規(guī)劃相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡。

2 偽譜法

電磁編隊(duì)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃可以表述成一個(gè)非線性的、帶有控制約束、始末狀態(tài)約束和動(dòng)力學(xué)約束的最優(yōu)控制問題，即泛函的條件極值問題。本文利用勒讓德偽譜法將連續(xù)問題離散化，轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題，并采用相應(yīng)的高精度數(shù)值算法進(jìn)行求解。

由于電磁編隊(duì)系統(tǒng)存在很強(qiáng)的非線性和耦合性，常規(guī)的數(shù)值算法并不適用，因此本文采用高精度的數(shù)值求解算法，求解電磁編隊(duì)的重構(gòu)軌跡規(guī)劃問題，該算法也可應(yīng)用于其他最優(yōu)控制問題的求解。

上文所描述的有約束的最優(yōu)控制問題首先通過增廣拉格朗日乘子法轉(zhuǎn)化為無約束非線性規(guī)劃問題，得到包含性能函數(shù)和約束條件的乘子罰函數(shù)。通過不斷修改搜索方向和搜索步長，修正狀態(tài)空間，使得乘子罰函數(shù)最小。其中搜索方向是由罰函數(shù)的梯度和Hessian矩陣決定，由單一算法生成的Hessian矩陣有可能不穩(wěn)定，因此本文采用了復(fù)合DFP算法，該算法在Davidon-Fletcher-Powell(DFP)算法和 Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno(BFGS)算法間進(jìn)行切換；與單一算法相比，該復(fù)合算法能達(dá)到更高的精度、更快的收斂速度和更少計(jì)算量。搜索步長由改進(jìn)的模式搜索法確定，需要說明的是，由于罰函數(shù)的導(dǎo)數(shù)十分復(fù)雜，其他搜索方法，如黃金分割搜索法和立方插值法等，并不適用于該問題，計(jì)算效果均不理想。綜上，求解非線性規(guī)劃問題的流程如圖1所示。

圖1 求解非線性規(guī)劃問題的流程Fig.1 Procedures to solve nonlinear program problem

3 仿真算例

對(duì)于三星編隊(duì)，將衛(wèi)星3選作“自由星”，其控制磁矩選作。仿真中的參數(shù)選取見表1。

相對(duì)位置的始、末標(biāo)稱狀態(tài)選取如下：

表1 仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters

圖2 電磁編隊(duì)的相對(duì)位置和速度Fig.2 Relative position and velocity

圖3 電磁編隊(duì)的相對(duì)姿態(tài)四元數(shù)Fig.3 Relative quaternion

4 結(jié)論

為了實(shí)現(xiàn)電磁編隊(duì)六自由度的協(xié)同控制，本文應(yīng)用了電磁力和電磁力矩的耦合效應(yīng)，建立了姿軌耦合動(dòng)力學(xué)模型。通過勒讓德偽譜法將編隊(duì)軌跡的重構(gòu)問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問題，由于系統(tǒng)存在很強(qiáng)的非線性和耦合性，本文對(duì)數(shù)值解法提出改進(jìn)，仿真結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性。本文所提出的數(shù)值解法可推廣用于其他最優(yōu)問題的求解。

圖4 電磁編隊(duì)的控制力矩Fig.4 Control torque

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