陳彥名

(湖南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南湘潭411201)

1 HPM與PME的歷史簡介

“HPM”可以追溯到1972年在英國艾克賽特舉辦的第二屆國際數(shù)學(xué)教育大會(ICME)上的一個工作小組。國際數(shù)學(xué)教育心理學(xué)組織(PME)于1976年在德國的卡爾斯魯厄成立。綜合兩者來看，HPM側(cè)重研究如何將數(shù)學(xué)教學(xué)融合到數(shù)學(xué)史。其側(cè)重在“數(shù)學(xué)”上，即剖析數(shù)學(xué)發(fā)展的順序，探究在教學(xué)中的應(yīng)用價值，以期讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)史。數(shù)學(xué)的發(fā)展脈絡(luò)基本上是數(shù)與運(yùn)算、圖形與幾何、方程與函數(shù)、無窮與極限、微分與積分;PME則主要研究當(dāng)今的數(shù)學(xué)教育問題，深入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理活動，以更好地提升教師的教學(xué)技能與技巧，關(guān)注在于“人”，探究如何讓學(xué)生融入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。HPME則是HPM與PME的復(fù)合簡稱，從雙視域下研究數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。本文側(cè)重從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的某一部分——問題解決，來研究HPM與PME雙視域下的數(shù)學(xué)問題解決。

2 HPME視野下的數(shù)學(xué)問題解決之“金字塔”模型研究

2.1 “金字塔”模型的內(nèi)涵研究

由圖1［1］120－125的“金字塔”模型可知，從I路線來看，法國數(shù)學(xué)家龐加萊認(rèn)為:“數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容應(yīng)完全按照數(shù)學(xué)史上同樣內(nèi)容的發(fā)展流程展現(xiàn)給學(xué)生。”也就是說，結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的實(shí)際，教材內(nèi)容的編寫可以顯性地出現(xiàn)其中，即某些歷史人物及其貢獻(xiàn)、重要?dú)v史事件發(fā)生的時間等;也可以隱性地融入教科書，主要是數(shù)學(xué)家的思想方法?；跉v史發(fā)生原理，在數(shù)學(xué)問題解決過程中，學(xué)生的心理認(rèn)知活動在相當(dāng)程度上會重塑歷史上該知識的演變歷程，這正好與心理學(xué)上的“心理發(fā)展”理論形成默契;具體到某一模塊的知識(數(shù)與運(yùn)算，圖形與幾何，方程與函數(shù)，無窮與極限，微分與積分等)，在數(shù)學(xué)問題解決過程中，學(xué)生的思維路徑或多或少會和古人一樣，發(fā)生認(rèn)知障礙(個體在認(rèn)知活動中內(nèi)部出現(xiàn)的疑惑與混沌)。

從II路線著手分析，在數(shù)學(xué)問題解決過程中，隨著知識的儲備、經(jīng)驗的積累和解題能力的提高，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理活動水平會由低級向高級的發(fā)展方向;數(shù)學(xué)心理活動包含著諸多因素，在數(shù)學(xué)問題解決思維活動過程中，它們之間的聯(lián)結(jié)不斷變化、重組與整合，形成螺旋式上升的認(rèn)知技能。

以III路線來分析，通過數(shù)學(xué)問題解決的不斷深入與訓(xùn)練，隨著大量的數(shù)學(xué)知識、概念和程序的建構(gòu)，并且這些知識的存儲都是經(jīng)過精細(xì)加工和組織化的，進(jìn)而豐富陳述性知識和程序性知識，以獲得更多的產(chǎn)生式，這樣學(xué)生就可以實(shí)現(xiàn)生手→學(xué)徒→精熟→專家的發(fā)展模式。

圖1 “金字塔”模型

2.2 “金字塔”模型的內(nèi)在關(guān)系

I，II，III3 線段的關(guān)系，如圖2 所示。

圖2 “金字塔”模型的內(nèi)在關(guān)系

由圖2的“金字塔”模型的內(nèi)在關(guān)系可以看出，I，II，III3線段是統(tǒng)一的有機(jī)整體，但同時又是相對獨(dú)立的。在整體上，三者互相交融，在數(shù)學(xué)問題解決過程中，學(xué)生在自學(xué)、合作學(xué)習(xí)及教師引導(dǎo)下，形成合力，達(dá)到“金字塔”模型之巔，有望成為數(shù)學(xué)問題解決的“專家”。從局部角度觀察，I線段是II和III線段的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)知識(數(shù)與運(yùn)算，圖形與幾何，方程與函數(shù)，無窮與極限，微分與積分)是按照數(shù)學(xué)史的發(fā)展脈絡(luò)來編排，各級各類的數(shù)學(xué)問題是這些數(shù)學(xué)模塊知識的載體。II線段為I線段的內(nèi)化，具體而言，就是在數(shù)學(xué)問題解決過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)心理活動內(nèi)化于頭腦中，并選擇恰當(dāng)?shù)膯栴}解決模式，通過一個或若干個算子，使問題的初始狀態(tài)向最終目標(biāo)狀態(tài)推進(jìn)，以完成數(shù)學(xué)問題解決。并在此基礎(chǔ)上，反復(fù)訓(xùn)練問題解決能力，認(rèn)知水平也由低級向高級發(fā)展，最終完成問題解決任務(wù)的目標(biāo)。III線段是I線段的外顯，即在素質(zhì)教育的背景下，按照新課標(biāo)的學(xué)習(xí)指導(dǎo)與教學(xué)理念，讓學(xué)生通過解決數(shù)學(xué)史取向的數(shù)學(xué)問題，習(xí)得數(shù)學(xué)問題解決的方法，并付諸實(shí)踐，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)由解題“生手”向解題“專家”轉(zhuǎn)化。II和III互為促進(jìn)，共同提升。具體為:隨著學(xué)生的數(shù)學(xué)心理活動水平越來越高，學(xué)生的解決問題能力也按照生手→學(xué)徒→精熟→專家的趨勢發(fā)展;同樣，學(xué)生問題解決能力的提高，也會提升數(shù)學(xué)心理活動水平［2］56－60。

3 影響“金字塔”模型的主要因素

影響學(xué)生形成并運(yùn)用“金字塔”模型的因素大致可以分為內(nèi)部因素和外部因素。

3.1 外部因素

環(huán)境因素。包括社會背景、文化傳統(tǒng)、課堂氛圍、教師引導(dǎo)以及合作學(xué)習(xí)等，會影響到學(xué)生對問題的解決。

題型。選擇題、填空題、簡答題、分析題等類型。

問題的特點(diǎn)。即結(jié)構(gòu)性、復(fù)雜性、動態(tài)性和專業(yè)性。

結(jié)構(gòu)。每個問題都有自身的結(jié)構(gòu)，這些結(jié)構(gòu)包括問題的條件、陳述和結(jié)論等。

問題情境。一是可以結(jié)合數(shù)學(xué)史，將歷史融入課堂教學(xué);二是教師重現(xiàn)問題的形成過程，深入探究學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)困惑或障礙的原因，營造新的問題情境，以激發(fā)學(xué)生解決問題的興趣。

3.2 內(nèi)部因素

知識基礎(chǔ)。即學(xué)生的先前知識及其表征。先前的知識經(jīng)驗有利于學(xué)生在適當(dāng)?shù)臅r候選擇適當(dāng)?shù)牟呗?、方法和算法?/p>

解題策略。一是從宏觀角度出發(fā)的一般性策略，如波利亞的“怎樣解題表”，奧加涅相的解題4階段論——理解條件，制定計劃，實(shí)施計劃，研究解答;二是從微觀視角來分類，具體的數(shù)學(xué)思想方法，如分析與綜合法、歸納與演繹法、公理化方法、數(shù)學(xué)結(jié)合思想、RMI原理等思想方法。

元認(rèn)知。即認(rèn)知主體對自身心理狀態(tài)、能力、任務(wù)目標(biāo)、認(rèn)知策略等方面的認(rèn)知。在數(shù)學(xué)問題解決過程中，元認(rèn)知可以幫助學(xué)生監(jiān)控和調(diào)節(jié)自己的認(rèn)知進(jìn)程，進(jìn)而優(yōu)化解題策略，并對認(rèn)知過程進(jìn)行反思和評價。

動機(jī)與信念。波利亞在《怎樣解題》中認(rèn)為，“解題若是純粹的看作是一種智能活動是錯誤的，決心與情緒也起著很重要的作用?！保?］34－40學(xué)生具有良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度，可以促進(jìn)數(shù)學(xué)問題的解決。匈菲爾德指出，“學(xué)生和數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)問題解決中最大的差別就是信念?！苯處煂@性或隱性的數(shù)學(xué)史知識融入到問題解決當(dāng)中，可以增強(qiáng)學(xué)生成功解決問題的信念。

［1］鮑建生.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程［M］.上海:上海教育出版社，2009.

［2］邵光華.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法［M］.上海:上海教育出版社，2009.

［3］波利亞.怎樣解題［M］.閻育蘇，譯.北京:科學(xué)出版社，1982.