張永合，梁旭文，張 健，胡慶雷

(1．中國(guó)科學(xué)院上海微系統(tǒng)與信息技術(shù)研究所，上海200050;2．上海微小衛(wèi)星工程中心，上海201203;3．哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱150001)

0 引言

無(wú)阻力衛(wèi)星具有通過(guò)自身無(wú)阻力控制回路消除外部保守力對(duì)衛(wèi)星的影響的特點(diǎn)，在純重力軌道下運(yùn)行，能夠?qū)崿F(xiàn)衛(wèi)星的超穩(wěn)定控制。對(duì)于無(wú)阻力衛(wèi)星的研究始于20世紀(jì)60年代，工程上一般可通過(guò)位移模式和加速度計(jì)模式實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星和其內(nèi)部的質(zhì)量塊隔離，達(dá)到消除大氣阻力等干擾的目的。文獻(xiàn)［1］提出內(nèi)嵌模型的設(shè)計(jì)思想，通過(guò)簡(jiǎn)化模型得到控制參數(shù)和分配指令，再由衛(wèi)星的實(shí)際輸出信號(hào)對(duì)其修正，取得良好的控制效果。文獻(xiàn)［2］分析近地?zé)o阻力衛(wèi)星的干擾模型，得到了帶有干擾狀態(tài)的衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)增廣系統(tǒng)，并設(shè)計(jì)了混合H2/H∞最優(yōu)控制器，通過(guò)仿真校驗(yàn)了算法能夠有效抑制干擾。近年來(lái)，歐美等航空技術(shù)先進(jìn)國(guó)家，提出了采用無(wú)阻力衛(wèi)星構(gòu)成編隊(duì)的協(xié)同工作方式，其中美國(guó)2002年發(fā)射的地球重力場(chǎng)測(cè)量衛(wèi)星(GRACE)，歐空局的下一代重力衛(wèi)星(NGGM)，激光干涉空間天線(LISA)等任務(wù)都采用了無(wú)阻力衛(wèi)星編隊(duì)控制的形式［3］。文獻(xiàn)［4］采用頻域方法對(duì)無(wú)阻力衛(wèi)星編隊(duì)的無(wú)阻力控制器與編隊(duì)控制器輸出信號(hào)進(jìn)行討論。無(wú)阻力衛(wèi)星編隊(duì)已經(jīng)在深空探測(cè)、對(duì)地測(cè)量等空間科學(xué)領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛，在航空科學(xué)研究與工程中承擔(dān)了重要使命。本文以兩顆無(wú)阻力衛(wèi)星組成的串行編隊(duì)為對(duì)象，研究該無(wú)阻力衛(wèi)星編隊(duì)在軌運(yùn)行中相對(duì)位置控制問(wèn)題。

在傳統(tǒng)的衛(wèi)星編隊(duì)建模中，多采用主從式構(gòu)型［5］，將主星作為建模坐標(biāo)系的原點(diǎn)，并假設(shè)主星在理想情況下運(yùn)動(dòng)不需控制，分析從星相對(duì)于主星的運(yùn)動(dòng)，最終得到Clohessy－Wiltshire方程等編隊(duì)運(yùn)動(dòng)模型。然而，這種假設(shè)在實(shí)際中難以保證，當(dāng)主星受到不可忽略的擾動(dòng)影響時(shí)，這種建模方法無(wú)法確保編隊(duì)中的衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)到期望狀態(tài)。文獻(xiàn)［6］考慮了J2項(xiàng)攝動(dòng)對(duì)主從衛(wèi)星軌道的影響，給出了一組線性化的衛(wèi)星編隊(duì)動(dòng)力學(xué)方程，并通過(guò)仿真校驗(yàn)該模型相比二體非線性模型具有更高的精度。對(duì)于無(wú)阻力衛(wèi)星，雖然可以通過(guò)自身無(wú)阻力控制對(duì)外部環(huán)境干擾達(dá)到抑制作用，但仍存在一些不能完全消除的擾動(dòng)，如加速度計(jì)測(cè)量偏差，推力器的噪聲等，會(huì)引起編隊(duì)衛(wèi)星的星間距離變化。本文將以兩顆無(wú)阻力衛(wèi)星位置連線中點(diǎn)(可由GPS測(cè)量計(jì)算得到)為參考坐標(biāo)系原點(diǎn)，考慮J2項(xiàng)攝動(dòng)作用，分析兩顆衛(wèi)星相對(duì)原點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，推導(dǎo)出編隊(duì)相對(duì)位置動(dòng)力學(xué)模型并加以控制。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)衛(wèi)星編隊(duì)的協(xié)同控制、隊(duì)形保持、交會(huì)對(duì)接等問(wèn)題展開(kāi)了研究。文獻(xiàn)［7］針對(duì)主從式衛(wèi)星編隊(duì)，首先給出了最優(yōu)參考軌跡，推導(dǎo)出相對(duì)該軌跡的跟蹤誤差模型，并進(jìn)一步設(shè)計(jì)了魯棒自適應(yīng)控制器。文獻(xiàn)［8］在編隊(duì)中衛(wèi)星速度不可測(cè)量情況下，考慮質(zhì)量不確定性以及外界干擾作用，提出了一種高增益觀測(cè)器，獲取上述狀態(tài)的精確觀測(cè)值，并設(shè)計(jì)了輸出反饋控制算法。文獻(xiàn)［9］針對(duì)電磁衛(wèi)星編隊(duì)，考慮了攝動(dòng)干擾和輸入時(shí)延等問(wèn)題，設(shè)計(jì)了滑模變結(jié)構(gòu)控制器，實(shí)現(xiàn)了高精度的相對(duì)位置控制。注意到，上述文獻(xiàn)中的控制器都只能保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定于期望狀態(tài)，對(duì)系統(tǒng)的收斂速度要求較低。近年來(lái)，隨著控制理論的發(fā)展和軟硬件水平的提高，有限時(shí)間控制算法受到了關(guān)注，并在提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度和抗干擾能力方面體現(xiàn)出優(yōu)勢(shì)。文獻(xiàn)［10］考慮導(dǎo)彈末端制導(dǎo)問(wèn)題，設(shè)計(jì)了連續(xù)的有限時(shí)間制導(dǎo)律，并通過(guò)引入線性反饋?lái)?xiàng)，提高了系統(tǒng)在距原點(diǎn)較遠(yuǎn)處向平衡點(diǎn)趨近的速率。文獻(xiàn)［11］考慮電磁衛(wèi)星編隊(duì)的軌跡跟蹤，采用終端滑模方法，提出了有限時(shí)間控制算法。文獻(xiàn)［12］以小行星登陸車為對(duì)象，基于視線坐標(biāo)系建模，根據(jù)齊次系統(tǒng)理論設(shè)計(jì)了有限時(shí)間控制器。

本文首先定義無(wú)阻力衛(wèi)星編隊(duì)相對(duì)位置建模的參考坐標(biāo)系，給出了無(wú)阻力衛(wèi)星編隊(duì)的相對(duì)位置數(shù)學(xué)模型。針對(duì)該相對(duì)位置模型，提出了帶有自適應(yīng)參數(shù)辨識(shí)的有限時(shí)間連續(xù)控制算法。本文設(shè)計(jì)的實(shí)際有限時(shí)間控制器能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)的快速穩(wěn)定，同時(shí)利用對(duì)衛(wèi)星質(zhì)量的參數(shù)自適應(yīng)估計(jì)使本文的算法不依賴于確定已知的衛(wèi)星質(zhì)量，保證了系統(tǒng)的魯棒性。

1 基礎(chǔ)知識(shí)

1．1無(wú)阻力衛(wèi)星編隊(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

本文考慮由兩顆無(wú)阻力衛(wèi)星組成的串行編隊(duì)，圖1中為無(wú)阻力衛(wèi)星編隊(duì)相對(duì)位置控制系統(tǒng)框圖。衛(wèi)星在軌運(yùn)動(dòng)的位置和速度信息由GPS實(shí)時(shí)測(cè)量得到。衛(wèi)星可以通過(guò)自身的無(wú)阻力控制抵消太空環(huán)境中的大氣阻力等干擾，但對(duì)于高頻擾動(dòng)的消除能力有限，因此存在無(wú)阻力控制殘差。相對(duì)位置控制系統(tǒng)與衛(wèi)星無(wú)阻力控制分別獨(dú)立設(shè)計(jì)，無(wú)阻力控制的殘差以及衛(wèi)星的推力裝置噪聲對(duì)衛(wèi)星位置控制存在干擾。由控制器計(jì)算得到的控制輸出量將平均分配到兩顆衛(wèi)星的推力裝置。

圖1 無(wú)阻力雙星編隊(duì)相對(duì)位置控制系統(tǒng)示意圖Fig．1 Relative position control system for drag－free dual－satellite formation

圖2 無(wú)阻力雙星編隊(duì)飛行示意圖Fig．2 Drag－free dual－satellite formation flying

圖2為編隊(duì)在軌飛行示意圖，圖中黑色實(shí)線定義為近圓的參考軌道，遵循二體軌道規(guī)律?，F(xiàn)實(shí)中，單顆衛(wèi)星無(wú)阻力的控制不可能完全抵消外界干擾，存在無(wú)阻力控制殘差，記為δr。無(wú)阻力控制殘差將引起衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)會(huì)偏離原參考軌道。通過(guò)GPS測(cè)量?jī)深w衛(wèi)星的位置，可計(jì)算得出兩顆衛(wèi)星位置連線中點(diǎn)C，且C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡相對(duì)于由參考軌道中C－點(diǎn)的偏移由擾動(dòng)矢量δr引起。虛線表示雙星位置連線的中點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)形成的軌跡。以位置中點(diǎn)C為原點(diǎn)建立參考坐標(biāo)系，x軸沿衛(wèi)星速度方向，y軸沿軌道法向，z軸符合右手定則。兩星相對(duì)位置矢量Δr符合 Δr=δr1－ δr2，δr1與 δr2分別為兩星相對(duì)于原參考軌道上C－點(diǎn)的位置矢量。rc－為C－點(diǎn)相對(duì)地心OI的矢量，r1、r2分別為兩衛(wèi)星相對(duì)于地心的矢量。首先，考慮衛(wèi)星1相對(duì)于C－點(diǎn)的加速度方程［13］

考慮二體運(yùn)動(dòng)和J2項(xiàng)擾動(dòng)，參考軌道上C－點(diǎn)的加速度為=g0(rc－)+J2(rc－)。其中，g0(rc－)表示無(wú)擾動(dòng)下C－點(diǎn)的加速度，J2(rc－)表示由J2項(xiàng)引起的C－點(diǎn)加速度。J2(rc－)由平均值g2(rc－)和周期項(xiàng)δg2(rc－，θ)組成。于是，衛(wèi)星1相對(duì)于C－點(diǎn)的加速度可分解為

式中:g0(r1)表示無(wú)擾動(dòng)下衛(wèi)星1的加速度，J2(r1)表示由J2項(xiàng)引起衛(wèi)星1的加速度，由平均值g2(r1)和周期項(xiàng)δg2(r1，θ)組成，δg(r1)表示其他高階攝動(dòng)力，ang1為非重力加速度。將在C－點(diǎn)線性展開(kāi)可得

式中:▽g0(rc－)，▽J2(rc－)分別表示重力加速度和J2攝動(dòng)項(xiàng)在C－點(diǎn)的梯度函數(shù)，▽g0(rc－)與▽J2(rc－)的具體形式如下［13］

若以兩星位置連線中點(diǎn)C作為參考點(diǎn)，得到δr1的加速度方程為

式中:▽g0(rc)，▽J2(rc)表示重力加速度和J2攝動(dòng)項(xiàng)在C點(diǎn)的梯度函數(shù)。根據(jù)兩星相對(duì)位置Δr=δr1－ δr2，δr2加速度方程形式與式(5)類似，整理得兩星相對(duì)位置Δr加速度方程

兩顆無(wú)阻力衛(wèi)星之間相對(duì)位置 Δr=［x y z］T，式(6)中 Δg=δg(r1)－ δg(r2)表示除J2項(xiàng)外的其他高階攝動(dòng)力，Δang=Δang1－Δang2為非重力加速度，由于Δg和Δang在實(shí)際中為很小的數(shù)值，因此可以忽略，得以下方程

最終，得到無(wú)阻力雙星編隊(duì)的相對(duì)位置動(dòng)力學(xué)模型表示如下:

式中:ρ=［x y z］T表示相對(duì)位置矢量Δr，衛(wèi)星質(zhì)量m為未知常數(shù)。i為軌道傾角，由于考慮J2攝動(dòng)的影響，軌道平均角速度為，其中，經(jīng)整理，矩陣A和B具體形式如下，

注1．用于測(cè)量重力場(chǎng)的無(wú)阻力衛(wèi)星編隊(duì)，一般在低地軌道飛行，建立更為精確的動(dòng)力學(xué)模型，需考慮J2攝動(dòng)產(chǎn)生的影響。

注2．顯然，式(9)中A矩陣為反對(duì)稱陣。

注3．區(qū)別于傳統(tǒng)主從式衛(wèi)星編隊(duì)模型，本文以兩顆無(wú)阻力衛(wèi)星位置連線中點(diǎn)為原點(diǎn)建模，將計(jì)算得到的控制量平均分配到兩個(gè)衛(wèi)星上，控制兩星相對(duì)位置達(dá)到期望狀態(tài)，平衡了兩顆衛(wèi)星的能量消耗。

1．2相關(guān)引理

引理1．［15］考慮下面的系統(tǒng)

其中，f:U0×R+→Rn在原點(diǎn)x=0的開(kāi)鄰域U0上是連續(xù)的。如果有一個(gè)正定函數(shù))(定義在×R+上，其中ˉU?U0?Rp是原點(diǎn)的一個(gè)鄰域)，實(shí)數(shù)c＞0和0＜α＜1，使得在上半負(fù)定，則(x)在有限時(shí)間內(nèi)逼近于0。并且，該有限時(shí)間T滿足

引理2．［16］考慮系統(tǒng)=f(x，u)，假設(shè)存在連續(xù)函數(shù)(x)，標(biāo)量φ＞0，0＜φ＜1和0＜?＜∞ ，0＜σ≤1，0＜σ0＜1，則

引理3．［17］對(duì)于?x∈R和?y∈R，若p1和p2為正奇數(shù)，則

引理4．［17］對(duì)于?x∈R和?y∈R，若c＞0和d＞0，則有

引理5．［18］?x∈R，i=1，2，…，n，有實(shí)數(shù)m∈(0，1］，以下不等式成立

2 無(wú)阻力衛(wèi)星編隊(duì)相對(duì)位置有限時(shí)間控制

無(wú)阻力衛(wèi)星編隊(duì)在航天工程中得到了廣泛的應(yīng)用，衛(wèi)星編隊(duì)隊(duì)形的保持和重構(gòu)對(duì)于航天任務(wù)起到關(guān)鍵作用，特別是在某些軍事偵察任務(wù)中，能否快速精確地形成期望隊(duì)形捕捉目標(biāo)決定了編隊(duì)任務(wù)的成敗。另外，在軌運(yùn)行衛(wèi)星往往受到質(zhì)量不確定性、外部干擾等影響，雖然無(wú)阻力控制系統(tǒng)對(duì)于太陽(yáng)光壓、大氣擾動(dòng)等干擾力有抑制效果，但不能保證完全消除環(huán)境干擾以及自身工作噪聲的擾動(dòng)。因此，本文提出了帶有自適應(yīng)參數(shù)辨識(shí)的衛(wèi)星編隊(duì)相對(duì)位置有限時(shí)間控制算法，使得系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到期望狀態(tài)，并且克服了質(zhì)量不確定性，保證了系統(tǒng)的魯棒性和精確性。

定理1．考慮無(wú)阻力雙星編隊(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型(8)，假設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量m為不確定常數(shù)，設(shè)計(jì)有限時(shí)間控制器(16)及參數(shù)自適應(yīng)更新律(17)

則閉環(huán)系統(tǒng)實(shí)際有限時(shí)間穩(wěn)定，即兩顆衛(wèi)星之間相對(duì)位置ρ在有限時(shí)間內(nèi)收斂到期望位置ρd的有界鄰域內(nèi)，且收斂時(shí)間為

式中:0＜ σ0＜1，θ1，χ1，χ2，q和V將在證明過(guò)程中定義。

證．兩顆衛(wèi)星之間的期望相對(duì)位置由ρd表示，則相對(duì)位置誤差為ρe=ρ－ρd，期望的相對(duì)位置ρd為常數(shù)，因此首先，為使相對(duì)位置誤差收斂到0，取Lyapunov函數(shù)V1，

對(duì)式(22)求導(dǎo)數(shù)，并令ρe=v，則

(23)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

將式(24)代入式(23)得

取V2i形式如下

由文獻(xiàn)［17］可知，V2i為正定函數(shù)，對(duì)式(26)求導(dǎo)得

注4．在有限時(shí)間控制問(wèn)題中，較多采用終端滑模設(shè)計(jì)有限時(shí)間控制器，由于含有符號(hào)函數(shù)項(xiàng)，造成系統(tǒng)存在抖振。本文所設(shè)計(jì)的控制器在理論上是連續(xù)反饋控制，然而，實(shí)際系統(tǒng)長(zhǎng)時(shí)間工作在小信號(hào)區(qū)，該控制器仍難以實(shí)現(xiàn)連續(xù)控制。設(shè)計(jì)能夠克服系統(tǒng)抖振的控制器，依然是值得研究的問(wèn)題。

3 仿真及分析

本文針對(duì)兩顆無(wú)阻力衛(wèi)星構(gòu)成的串行編隊(duì)進(jìn)行數(shù)字仿真，取單顆的無(wú)阻力衛(wèi)星質(zhì)量m=300 kg，兩星初始相對(duì)位置 ρ0=103×［9．55 0．43－0．52］Tm，期望相對(duì)位置為ρd=103×［10 0 0］Tm。衛(wèi)星軌道為太陽(yáng)同步軌道，軌道半長(zhǎng)軸為6730 km，軌道傾角i=97°，偏心率為0．001，升交點(diǎn)赤經(jīng)為0°，近地點(diǎn)幅角為45°，初始時(shí)刻參考點(diǎn)真近點(diǎn)角為70°。仿真中，高頻干擾d采用高斯白噪聲 Ξ(0，δp)，Ξ(0，δp)表示均值為0，方差為δp=0．01的高斯白噪聲信號(hào)。

圖3 兩顆衛(wèi)星相對(duì)位置仿真曲線Fig．3 Response curves of relative position between two satellites

考慮本文相對(duì)位置模型(8)，有限時(shí)間控制器(16)及自適應(yīng)更新律(17)，取p=15/13，λ=0．02，k1=0．004，k2=0．5，得到仿真結(jié)果如圖3～圖5所示。圖3為兩星相對(duì)位置誤差曲線(ρe=ρ0－ρd)，在無(wú)干擾情況下，兩星相對(duì)位置在2000 s收斂到期望值，并在3000 s以后精度達(dá)到±0．1 m。當(dāng)高頻干擾d存在的情況下，兩顆衛(wèi)星相對(duì)位置達(dá)到期望值的所用時(shí)間約為2000 s，并且仍能保持在±2 m的允許誤差范圍內(nèi)。圖4為兩星相對(duì)速度曲線。圖5為控制力曲線，控制輸出幅值在范圍內(nèi)，并且高頻干擾沒(méi)有引起控制量最大幅值顯著變化，所設(shè)計(jì)的控制器具有良好的干擾抑制能力。

圖4 兩顆衛(wèi)星相對(duì)速度仿真曲線Fig．4 Response curves of relative velocity between two satellites

4 結(jié)論

圖5 控制力仿真曲線Fig．5 Response curves of total control force

本文針對(duì)兩顆無(wú)阻力衛(wèi)星構(gòu)成的串行編隊(duì)相對(duì)位置控制問(wèn)題，設(shè)計(jì)了實(shí)際有限時(shí)間控制器。首先，選取了兩星位置連線中點(diǎn)作為參考坐標(biāo)系原點(diǎn)，建立了相對(duì)位置動(dòng)力學(xué)模型?；谠撃Ｐ?，提出了帶有自適應(yīng)參數(shù)辨識(shí)的有限時(shí)間控制器，利用對(duì)衛(wèi)星質(zhì)量的估計(jì)值得到了使閉環(huán)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間控制算法。仿真結(jié)果表明，該算法能夠使無(wú)阻力雙星編隊(duì)的相對(duì)位置在短時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)至期望值，并且閉環(huán)系統(tǒng)具有較好的魯棒性。

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