王麗娜，魏 鵬，胡廣大，唐 偉

(1．北京科技大學(xué)計(jì)算機(jī)與通信工程學(xué)院，北京100083;2．北京科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，北京100083)

0 引言

深空通信具有傳播距離遙遠(yuǎn)、傳播延時(shí)長(zhǎng)、誤碼率高、傳輸鏈路易中斷等特點(diǎn)，而且航天器的存儲(chǔ)容量和處理能力又很有限，因此采用傳統(tǒng)的前向糾錯(cuò)技術(shù)不能有效地保證信息傳輸?shù)目煽啃裕?］。噴泉碼是一種無(wú)碼率、無(wú)需反饋鏈路的前向糾錯(cuò)碼，可以在不需要反饋信道的情況下高效地恢復(fù)數(shù)據(jù)，避免了反饋重傳機(jī)制應(yīng)用于深空通信時(shí)的瓶頸問(wèn)題。噴泉碼的編譯碼復(fù)雜度較低，將其應(yīng)用于深空通信時(shí)可以降低航天器的編譯碼時(shí)間，緩解深空通信長(zhǎng)延時(shí)帶來(lái)的不利影響，而且不存在反饋擁塞問(wèn)題［2－5］。噴泉碼還具有恢復(fù)閃斷數(shù)據(jù)的能力，可以有效改善接收信號(hào)起伏大、甚至閃斷等問(wèn)題［6］。

LT(Luby Transform)碼［7－8］是第一類(lèi)實(shí)用的噴泉碼，是針對(duì)刪除信道提出來(lái)的一種糾錯(cuò)碼。LT碼的編碼思想是根據(jù)編碼器的有限輸入與無(wú)限輸出的映射特性生成數(shù)據(jù)包，當(dāng)接收端收到一定數(shù)量的數(shù)據(jù)包時(shí)就可以恢復(fù)出原始信息，以此來(lái)保證信息傳輸?shù)目煽啃?。深空通信信道與無(wú)記憶的加性高斯白噪聲(AWGN)信道非常相似，可以建模為理想的AWGN信道。由于LT碼是一種以刪除信道為背景的稀疏圖編碼，當(dāng)其應(yīng)用于深空通信時(shí)存在一定的譯碼失敗概率，而且LT碼需要接收足夠多的數(shù)據(jù)分組后才能開(kāi)始譯碼，且會(huì)產(chǎn)生譯碼開(kāi)銷(xiāo)，這些對(duì)于功率和存儲(chǔ)空間受限的深空通信系統(tǒng)來(lái)說(shuō)是非常不利的。目前，已有文獻(xiàn)對(duì)AWGN信道上LT碼的性能進(jìn)行研究，并提出了相應(yīng)的改善措施［9－11］。本文通過(guò)對(duì)AWGN深空通信環(huán)境中LT碼的研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)LT碼用于深空通信時(shí)，其譯碼性能并不理想，而且輸入符號(hào)不能保證被全選。針對(duì)存在的問(wèn)題，本文通過(guò)修改LT碼的二分圖構(gòu)造系統(tǒng)LT碼，提出一種去環(huán)的左正則LT碼編碼方案，這樣LT碼譯碼器可以采用置信傳播(BP)譯碼算法［12］，且能保證譯碼算法的有效性。本文通過(guò)采用外信息轉(zhuǎn)移圖(EXIT圖)［13］和MATLAB仿真工具對(duì)系統(tǒng)LT碼的性能進(jìn)行分析，結(jié)果表明，提出的編碼方案能夠明顯降低LT碼的錯(cuò)誤平層，提高BP譯碼算法的性能。

1 系統(tǒng)LT碼

當(dāng)傳統(tǒng)LT碼的編碼符號(hào)通過(guò)AWGN深空通信信道被接收以后，譯碼器采用對(duì)數(shù)域BP譯碼算法進(jìn)行譯碼時(shí)，傳統(tǒng)LT碼具有較高的誤碼率和錯(cuò)誤平層。造成這種結(jié)果的原因有兩個(gè):一是缺少一個(gè)合適的校驗(yàn)矩陣;二是輸入符號(hào)沒(méi)有通過(guò)信道，從而缺少輸入符號(hào)的初始先驗(yàn)概率。因此，需要依據(jù)深空通信的特性來(lái)改善LT碼的性能。

1．1二分圖

為了讓k個(gè)輸入符號(hào)s=［s1，s2，…，si，…，sk］擁有它們的先驗(yàn)概率p(si)，需要讓它們通過(guò)信道，這樣就自然形成一種系統(tǒng)的LT碼。同時(shí)，通過(guò)傳統(tǒng)LT碼的異或運(yùn)算操作繼續(xù)構(gòu)建出二分圖中校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)和變量節(jié)點(diǎn)的關(guān)系。

傳統(tǒng)LT碼在刪除信道下的二分圖如圖1(a)所示，它由輸入符號(hào)和編碼符號(hào)構(gòu)成。為了使LT碼適用于AWGN深空通信信道，本文對(duì)傳統(tǒng)LT碼的二分圖進(jìn)行修改，如圖1(b)所示，此LT碼為系統(tǒng)碼，由變量節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成。

圖1 LT碼二分圖Fig．1 The bipartite graph of LT codes

在圖1(b)給出的系統(tǒng)LT碼二分圖中，輸入符號(hào)s=［s1，s2，…，si，…，sk］和編碼符號(hào)t=［t1，t2，…，ti，…］可以當(dāng)作變量節(jié)點(diǎn)，c=［c1，c2，…，ci，…］與LDPC碼中的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)類(lèi)似。圖1所示的系統(tǒng)LT碼二分圖與LDGM(Low-density Generator Matrix)碼二分圖的區(qū)別是修改后的LT碼的譯碼開(kāi)銷(xiāo)仍然在一定的范圍內(nèi)，能夠動(dòng)態(tài)地增加編碼符號(hào)的數(shù)量，保留了噴泉碼無(wú)碼率的特性，如同在刪除信道下一樣，而LDGM碼的碼率則是依據(jù)預(yù)估的信道模型進(jìn)行固定的。二者更明顯的區(qū)別是，LDGM碼在編譯碼過(guò)程中首先要確定的是校驗(yàn)矩陣，該矩陣對(duì)編碼器和譯碼器都是確定和已知的，編碼時(shí)需要把校驗(yàn)矩陣變換成合適的分塊矩陣，然后再進(jìn)行編碼。而系統(tǒng)LT碼無(wú)需提前確定一個(gè)校驗(yàn)矩陣，它是在編碼過(guò)程由無(wú)碼率特性自然形成生成矩陣Gp，然后再把這個(gè)矩陣變換成合適的校驗(yàn)矩陣，使其構(gòu)成了校驗(yàn)關(guān)系，最后依據(jù)這個(gè)校驗(yàn)關(guān)系執(zhí)行BP譯碼算法。

LT碼在二進(jìn)制刪除信道下遇到的一個(gè)問(wèn)題是在譯碼開(kāi)銷(xiāo)較低時(shí)，不是所有的輸入符號(hào)都被選擇進(jìn)入編碼過(guò)程，這樣就會(huì)使后續(xù)的譯碼一定會(huì)失敗，通常需要N=k ln(k/δ)個(gè)編碼符號(hào)才能保證能以1－δ的概率成功譯碼，其中，k為數(shù)據(jù)包的長(zhǎng)度，δ為譯碼失敗概率門(mén)限。同樣地，在深空通信信道下，這個(gè)問(wèn)題也會(huì)導(dǎo)致BP譯碼算法的性能下降。因此，可以假設(shè)所有的輸入符號(hào)不是按照隨機(jī)方式被選擇參與編碼的，而是依據(jù)它們的度數(shù)進(jìn)行排序，然后優(yōu)先選擇度數(shù)低的符號(hào)參與編碼，以期達(dá)到所有的輸入符號(hào)都被選擇參與編碼過(guò)程，這樣就提高了BP譯碼算法的譯碼性能。另一方面，刪除信道下LT碼的成功譯碼過(guò)度依賴(lài)度為1的編碼符號(hào)，它們是譯碼過(guò)程進(jìn)行下去的關(guān)鍵。然而，在AWGN深空通信信道環(huán)境下，度為1的編碼符號(hào)并沒(méi)有在BP譯碼算法中提供任何有益的作用。相反地，它們使得信噪比(SNR)和誤碼率(BER)曲線中具有較高的錯(cuò)誤平層，因此需要修改校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度分布，降低度為1的編碼符號(hào)出現(xiàn)的概率或者不出現(xiàn)。

1．2編碼算法

隨著系統(tǒng)LT碼編碼的進(jìn)行，生成矩陣Gp被逐步生成出來(lái)。如果所有的輸入符號(hào)都按照相同的概率被選擇，那么在生成矩陣中四環(huán)和六環(huán)的形成就難以避免，這些環(huán)會(huì)降低BP譯碼算法的性能［14］。為了解決這一問(wèn)題，本文在文獻(xiàn)［10］的基礎(chǔ)上提出一種去四環(huán)和六環(huán)的編碼算法。

令Ωc(x)表示校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度分布，且

式中:ωi是度為i的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的概率。

盡管LT碼在理論上是無(wú)碼率的，但在實(shí)際應(yīng)用時(shí)仍需設(shè)置輸入符號(hào)的最大編碼符號(hào)數(shù)量n。本文提出的系統(tǒng)LT碼編碼算法步驟如下:

步驟1．接收編碼符號(hào)，依據(jù)度分布Ωc(x)為第i個(gè)編碼符號(hào)生成度數(shù)di，若存在沒(méi)有選中過(guò)的輸入符號(hào)，則進(jìn)入步驟2;否則進(jìn)入步驟3;

步驟2．依據(jù)每個(gè)輸入符號(hào)被選擇的次數(shù)對(duì)其進(jìn)行排序，隨機(jī)選擇di個(gè)從未被選中過(guò)的輸入符號(hào)，進(jìn)入步驟7;

步驟3．重新把所有的輸入符號(hào)加入到待選集合V中，對(duì)于第j個(gè)選擇的輸入符號(hào)，若j≤di，則進(jìn)入步驟4;否則返回步驟1;

步驟4．從V中那些選擇次數(shù)最小的輸入符號(hào)里隨機(jī)選擇一個(gè)作為第j個(gè)輸入符號(hào)，并將其從V中去除，進(jìn)入步驟5;

步驟5．消除潛在的四環(huán)。把那些已存在的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)(即第1個(gè)到第j－1個(gè)選擇的輸入符號(hào)的鄰居節(jié)點(diǎn))作為集合P，把P中校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn)作為集合Q，從V中去除Q的元素，進(jìn)入步驟6;

步驟6．消除潛在的六環(huán)。把P—中校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)作為集合U，并從V中去除那些與U中校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)相鄰的節(jié)點(diǎn)的輸入符號(hào)，返回步驟3;

步驟7．計(jì)算di個(gè)輸入符號(hào)的模二加之和，并將其作為第i個(gè)編碼符號(hào)，返回步驟1。

根據(jù)上述系統(tǒng)LT碼的編碼算法可以得到一個(gè)維度是k×n的稀疏矩陣Gp，則生成矩陣為G=［I Gp］，其中I是一個(gè)維度為k×k單位矩陣。

編碼過(guò)程可以表示為u=sG=［s t］，編碼符號(hào)為u=［u1，u2，…，ui，…，uk+n］=［s t］，則碼率為R=k/(k+n)，系統(tǒng)LT碼的譯碼開(kāi)銷(xiāo)為γ=n/k。

式中 為變量節(jié)點(diǎn)的平均度 為校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的平均度。

變量節(jié)點(diǎn)的平均度可表示為

為了保證所有的輸入符號(hào)都被選擇，γ需要滿足如下條件，即

2 系統(tǒng)LT碼分析

2．1右正則系統(tǒng)LT碼

考慮校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度dc為常數(shù)的系統(tǒng)LT碼，與LDPC碼類(lèi)似，定義這類(lèi)碼為右正則系統(tǒng)LT碼。

首先采用EXIT圖來(lái)分析系統(tǒng)LT碼的收斂閾值，以說(shuō)明上節(jié)提出的系統(tǒng)LT碼編碼算法既不會(huì)對(duì)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度產(chǎn)生影響，也不會(huì)降低LT碼的性能。

變量節(jié)點(diǎn)被當(dāng)作變量節(jié)點(diǎn)譯碼器(VND)，校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)被當(dāng)作校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)譯碼器(CND)［15］。對(duì)于變量節(jié)點(diǎn)譯碼器而言，輸出的外信息為

相應(yīng)地，對(duì)于校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)譯碼器，輸出的外信息為

式中:

對(duì)于右正則系統(tǒng)LT碼，考慮校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度dc分別為7、10和13的情況，譯碼開(kāi)銷(xiāo)γ為1．1，碼率R為0．476，通過(guò)EXIT圖來(lái)推斷右正則系統(tǒng)LT碼的收斂閾值，其結(jié)果如圖2所示。

圖2 VND和CND的EXIT圖Fig．2 The EXIT charts of VND and CND

由圖2可知，校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度dc分別取7、10和13時(shí)，VND和CND相交的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的SNR分別為－0．1 dB、1．1 dB和1．9 dB。

接下來(lái)，依據(jù)第1節(jié)提出的系統(tǒng)LT碼編碼算法，通過(guò)MATLAB仿真對(duì)右正則系統(tǒng)LT碼的譯碼性能進(jìn)行分析。這里輸入符號(hào)的數(shù)量k取1000，對(duì)數(shù)域BP譯碼算法的最大迭代次數(shù)設(shè)置為50。譯碼開(kāi)銷(xiāo)γ為1．1，碼率R為0．476，當(dāng)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度dc分別取5、7、9、11和13時(shí)系統(tǒng)LT碼與傳統(tǒng)LT碼的仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 不同度分布下右正則系統(tǒng)LT碼與傳統(tǒng)LT碼的比較Fig．3 Comparisons between right-regular systematic LT codes and conventional LT codes for different degree distribution

由圖3可以看出，與傳統(tǒng)LT碼編碼算法相比，本文提出的系統(tǒng)LT碼編碼算法具有更低的BER和更好的譯碼性能。更重要的是，提出的系統(tǒng)LT碼編碼算法能夠把錯(cuò)誤平層降低1個(gè)數(shù)量級(jí)左右，而且在陡降區(qū)下降得更快，這說(shuō)明本文提出的系統(tǒng)LT碼編碼算法明顯增強(qiáng)了BP譯碼算法的譯碼性能。從圖中還可以看到，傳統(tǒng)LT碼編碼算法對(duì)應(yīng)的BER-SNR曲線的錯(cuò)誤平層隨校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)度數(shù)的增加而下降，提出的系統(tǒng)LT碼編碼算法也遵循了相同的規(guī)律。此外，當(dāng)SNR大于4 dB，校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度dc為11和13時(shí)的系統(tǒng)LT碼，仿真中沒(méi)有發(fā)現(xiàn)任何的誤碼。當(dāng)SNR低于3 dB時(shí)，校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)度dc為7時(shí)的右正則系統(tǒng)LT碼的性能較好。對(duì)于SNR大于3 dB，BER小于10－5的情況，校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)度dc為9時(shí)的右正則系統(tǒng)LT碼的性能最好。

下面對(duì)不同譯碼開(kāi)銷(xiāo)γ下系統(tǒng)LT碼的BER性能進(jìn)行分析?？紤]校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度dc∈［7，10］(dc取整數(shù))的情況，碼率R為0．435，當(dāng)譯碼開(kāi)銷(xiāo)γ分別為1．1和1．3時(shí)的仿真結(jié)果如圖4和圖5所示。

圖4 γ為1．1時(shí)右正則系統(tǒng)LT碼的BER性能Fig．4 BER performance of right-regular systematic LT codes withγ=1．1

從圖4和圖5可以看出，對(duì)于相同度數(shù)的右正則系統(tǒng)LT碼，當(dāng)譯碼開(kāi)銷(xiāo)γ分別為1．1和1．3時(shí)，其BER-SNR曲線的發(fā)展趨勢(shì)類(lèi)似，BER曲線在陡降區(qū)下降得較快。而且對(duì)于校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度dc為9和10時(shí)的LT碼，其錯(cuò)誤平層下降得更快，同時(shí)，錯(cuò)誤平層的斜率增大。當(dāng)SNR低于2．6 dB時(shí)，校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)度dc為7時(shí)的右正則系統(tǒng)LT碼的性能較好。對(duì)于SNR大于2．6 dB，BER小于10－5的情況，校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)度dc為9時(shí)的右正則系統(tǒng)LT碼的性能最好。

圖5 γ為1．3時(shí)右正則系統(tǒng)LT碼的BER性能Fig．5 BER performance of right-regular systematic LT codes withγ=1．3

根據(jù)圖3至圖5顯示的結(jié)果和分析可以得到校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度dc分別為7、10和13時(shí)的收斂閾值，即0 dB、1 dB和2 dB，該結(jié)果與用EXIT圖分析得到的收斂閾值基本相符，說(shuō)明本文提出的編碼算法是合理的。對(duì)于采用本文提出的編碼算法的右正則系統(tǒng)LT碼，從整體性能上來(lái)說(shuō)，當(dāng)SNR低于3 dB時(shí)，采用校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)度dc為7時(shí)的右正則系統(tǒng)LT碼較好;而當(dāng)SNR高于3 dB時(shí)，采用校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)度dc為9時(shí)的右正則系統(tǒng)LT碼較好。

2．2非右正則系統(tǒng)LT碼

本節(jié)對(duì)采用提出的編碼算法的非右正則系統(tǒng)LT碼的譯碼性能進(jìn)行分析。

依據(jù)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度dc為9時(shí)的系統(tǒng)LT碼，根據(jù)二次擬合曲線，對(duì)i=4，5，…，12，有

根據(jù)文獻(xiàn)［9］和［16］，針對(duì)提出的系統(tǒng)LT碼編碼算法，修改度分布來(lái)消除環(huán)，提出第二種校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度分布，即

第三種度分布為

在譯碼開(kāi)銷(xiāo)γ為1．1，其他參數(shù)保持不變時(shí)，根據(jù)式(9)～(11)給出的三種不同的度分布，對(duì)傳統(tǒng)LT碼編碼算法和提出的系統(tǒng)LT碼編碼算法的性能進(jìn)行比較，其結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同度分布下非右正則系統(tǒng)LT碼與傳統(tǒng)LT碼的比較Fig．6 Comparisons between right-irregular systematic LT codes and conventional LT codes for different degree distribution

從圖6可以看出，在上述三種不同度分布下，本文提出的編碼算法與傳統(tǒng)LT碼編碼算法相比能夠明顯降低曲線上的錯(cuò)誤平層，減少錯(cuò)誤平層的斜率。因此，本文提出的編碼算法能夠增強(qiáng)BP譯碼算法的譯碼性能。

對(duì)于式(9)至式(11)給出的三種不同的度分布，非右正則系統(tǒng)LT碼的譯碼性能基本相同，但是在曲線的陡降區(qū)，非右正則系統(tǒng)LT碼的性能卻不同。對(duì)于第一種度分布來(lái)說(shuō)，其性能和度為9的右正則系統(tǒng)LT碼的性能基本相同。對(duì)于第二種度分布來(lái)說(shuō)，其性能在陡降區(qū)和錯(cuò)誤平層之間有一個(gè)很好的折衷。當(dāng)SNR小于2．5 dB時(shí)，采用第二種度分布的非右正則系統(tǒng)LT碼的性能較好。當(dāng)SNR為2．5 dB時(shí)，對(duì)應(yīng)的BER約為10－5。對(duì)于采用第三種度分布的非右正則系統(tǒng)LT碼，當(dāng)SNR大于2．5 dB時(shí)，其性能是最優(yōu)的，BER小于10－5。

選取式(10)給出的第二種度分布，對(duì)不同SNR(即r=1 dB，2 dB，3 dB，4 dB)條件下、不同碼率時(shí)的非右正則系統(tǒng)LT碼的性能進(jìn)行評(píng)估，仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 不同SNR和碼率下非右正則系統(tǒng)LT碼的BER性能Fig．7 BER performance of right-irregular systematic LT codes for different SNR and code rates

由圖7可以看出，非右正則系統(tǒng)LT碼的BER隨著碼率的降低而減小，對(duì)于不同SNR情況下的所有非右正則系統(tǒng)LT碼的BER性能均遵循相同的規(guī)則。當(dāng)碼率相同時(shí)，SNR越高，非右正則系統(tǒng)LT碼的BER越低。從整體性能上看，SNR為3 dB時(shí)的非右正則系統(tǒng)LT碼具有最好的BER性能，它與SNR為1 dB時(shí)的非右正則系統(tǒng)LT碼的BER相比，大約能降低5個(gè)數(shù)量級(jí)。

從前面的分析可知，本文提出的系統(tǒng)LT碼能較好地適應(yīng)AWGN深空通信環(huán)境，具有較好的BER性能和譯碼性能。但由于該系統(tǒng)LT碼在編碼時(shí)要求所有的輸入符號(hào)都被選擇參與編碼過(guò)程，故其計(jì)算復(fù)雜度要稍高于傳統(tǒng)LT碼。圖8給出的是系統(tǒng)LT碼和傳統(tǒng)LT碼分別仿真100次得到的平均編譯碼時(shí)間對(duì)比結(jié)果，與傳統(tǒng)LT碼相比，系統(tǒng)LT碼需要的編碼時(shí)間略長(zhǎng)，但在可接受的范圍內(nèi)，不影響系統(tǒng)LT碼的整體性能。

3 結(jié)論

圖8 系統(tǒng)LT碼和傳統(tǒng)LT碼平均編碼時(shí)間對(duì)比圖Fig．8 Comparison chart of average encoding time of systematic LT codes and traditional LT codes

噴泉碼以其自身獨(dú)有的特點(diǎn)使其應(yīng)用于深空通信時(shí)具有明顯的優(yōu)勢(shì)，且發(fā)展空間非常廣闊。本文針對(duì)AWGN深空通信環(huán)境中傳統(tǒng)LT碼在運(yùn)用對(duì)數(shù)域BP算法時(shí)的不理想且所有輸入符號(hào)不能保證被全選的問(wèn)題，設(shè)計(jì)適用于此環(huán)境下的系統(tǒng)LT碼，提出一種去環(huán)的左正則編碼方案，對(duì)采用該編碼方案的右正則系統(tǒng)LT碼和非右正則系統(tǒng)LT碼的性能進(jìn)行分析，通過(guò)仿真證明了本文提出的系統(tǒng)LT碼編碼算法的有效性，并根據(jù)仿真結(jié)果說(shuō)明了采用不同度分布的系統(tǒng)LT碼的適用場(chǎng)合。

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