劉曉東，黃萬偉，禹春梅，3

(1．北京航天自動(dòng)控制研究所，北京100854;2．宇航智能控制技術(shù)國家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100854;3．國防科技大學(xué)航天科學(xué)與工程學(xué)院，長沙410072)

0 引言

與一般飛行器相比，高超聲速飛行器面臨更復(fù)雜的非線性問題、高不確定性問題以及通道強(qiáng)耦合問題等［1］，這樣傳統(tǒng)的線性控制方法將很難滿足高超聲速飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)的性能需求，最終會(huì)導(dǎo)致飛行任務(wù)的失敗。特別地，對(duì)于BTT飛行器，其面臨更嚴(yán)重的通道間耦合問題，故通道分離式姿態(tài)控制設(shè)計(jì)方法將會(huì)對(duì)控制效果和飛行穩(wěn)定性造成嚴(yán)重的影響［2］。因此，為了改善高超聲速飛行器的飛行品質(zhì)，探索具有強(qiáng)魯棒性能的非線性、全通道姿態(tài)控制技術(shù)是非常有必要的。

自抗擾控制技術(shù)(Active Disturbance Rejection Control，ADRC)［3］是一種可以實(shí)時(shí)估計(jì)并補(bǔ)償系統(tǒng)內(nèi)部不確定動(dòng)態(tài)的控制技術(shù)，該控制技術(shù)不需要精確的模型信息，也不需要假設(shè)不確定模型為參數(shù)線性化或有界，因此它可以應(yīng)對(duì)較大范圍的不確定系統(tǒng)。在飛行器控制領(lǐng)域，自抗擾控制方法已得到了廣泛的應(yīng)用［4－5］，并展示出傳統(tǒng)控制方法無可比擬的效果。實(shí)際上，自抗擾控制的強(qiáng)魯棒性能主要得利于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(Extended State Observer，ESO)的引入，它可以較為精準(zhǔn)地估計(jì)出系統(tǒng)當(dāng)前的未知不確定動(dòng)態(tài)，并將其補(bǔ)償?shù)娇刂葡到y(tǒng)中，而補(bǔ)償之后的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單易于進(jìn)一步的設(shè)計(jì)。綜合考慮估計(jì)精準(zhǔn)性、控制平滑性以及算法簡易性，本文將構(gòu)建一種多變量線性ESO，用于改善高超聲速飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)的魯棒性能。而對(duì)于引入ESO補(bǔ)償之后的控制系統(tǒng)，本文將采用動(dòng)態(tài)逆控制理論［6］來完成最終控制律的設(shè)計(jì)。

另外，高超聲速飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)模型通常具有控制矩陣不可逆以及非匹配不確定問題，若直接針對(duì)該模型進(jìn)行姿態(tài)控制律的設(shè)計(jì)，則會(huì)大大增加設(shè)計(jì)難度，甚至不易實(shí)現(xiàn)。若通過模型分塊的方式保證每個(gè)子系統(tǒng)的控制矩陣都是可逆的，那么可以采用反演法與多魯棒面控制相結(jié)合的方法進(jìn)行控制律的設(shè)計(jì)。該方法不僅可以簡化非線性控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過程，而且還可以有效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)的非匹配不確定問題，因此它已被廣泛應(yīng)用于飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)的研究中［7］。但是，傳統(tǒng)的積分型反演方法中的連續(xù)微分會(huì)帶來所謂的“計(jì)算爆炸”問題，為了解決此問題，Swaroop等人在文獻(xiàn)［8］中提出了一種動(dòng)態(tài)面控制(Dynamic Surface Control，DSC)方法。該方法通過引入若干組低通濾波器避免了對(duì)虛擬指令的直接微分，具有較高的工程實(shí)用價(jià)值，因此開始得到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，并將其應(yīng)用于飛行器的制導(dǎo)控制設(shè)計(jì)中［9－10］。然而，目前該技術(shù)在高超聲速飛行器姿態(tài)控制中的研究尚處于初級(jí)階段，關(guān)于其全通道動(dòng)態(tài)面姿態(tài)控制方法的研究也不多。于是，本文將動(dòng)態(tài)面控制理論引入到高超聲速飛行器全通道姿態(tài)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中。

本文其余部分的安排如下。第一部分，建立了高超聲速飛行器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程組，并給出一個(gè)面向姿態(tài)控制的非線性設(shè)計(jì)模型。第二部分，提出一種基于多變量ESO的動(dòng)態(tài)逆控制方法，并利用動(dòng)態(tài)面控制理論，完成了高超聲速飛行器全通道姿態(tài)控制律的設(shè)計(jì)。第三部分展示了計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果，相關(guān)的結(jié)論和后續(xù)工作將在第四部分中給出。

1 問題描述

基于如下假設(shè)條件:忽略地球自轉(zhuǎn)的影響;將地球視為均質(zhì)圓球，不考慮地球扁率的影響;慣性積為小量，忽略其影響。于是，對(duì)于面對(duì)稱的高超聲速飛行器，其無動(dòng)力飛行的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程組可以表述為:

式中:α、β、γc分別為飛行器的攻角、側(cè)滑角和速度傾斜角，m、V、θ分別為飛行器的質(zhì)量、速度和彈道傾角，ωx1、ωy1、ωz1為機(jī)體軸角速率，Jx1、Jy1、Jz1為飛行器的主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為等效干擾力，為等效干擾力矩。此外，Y、Z分別為氣動(dòng)升力和側(cè)向力，Mx1、My1和Mz1分別為滾轉(zhuǎn)力矩、偏航力矩和俯仰力矩，氣動(dòng)表達(dá)式如下:

式中:q、S、L分別表示動(dòng)壓、參考面積和參考長度。而且，實(shí)際的氣動(dòng)系數(shù)是關(guān)于飛行器飛行狀態(tài)的非線性函數(shù)。

此時(shí)，若選取系統(tǒng)狀態(tài)向量為x1=［α β γcωx1ωy1ωz1］T，控制向量為u=［δxδyδz］T，則根據(jù)式(1)～(2)可以得到如下的狀態(tài)空間方程:

式中:控制矩陣g(x)∈R6×3是奇異的，ζ∈R6表示非匹配不確定性向量。注意，因?yàn)楸疚牟魂P(guān)心式(3)的具體形式，故此處未將其給出。顯然，若直接針對(duì)模型(3)進(jìn)行姿態(tài)控制律的設(shè)計(jì)，則會(huì)大大增加設(shè)計(jì)的難度，甚至不易實(shí)現(xiàn)。

為了更好地實(shí)現(xiàn)高超聲速飛行器的姿態(tài)控制，可以將式(2)中的各氣動(dòng)系數(shù)在某個(gè)特征點(diǎn)附近擬合為如下形式:

式中:δx、δy、δz分別表示副翼、方向舵和升降舵的偏角;CYd、CZd、Cx1d、Cy1d、Cz1d表示氣動(dòng)擬合誤差項(xiàng)。而且，式中擬合函數(shù)可選為線性或非線性函數(shù)，需要根據(jù)實(shí)際情況決定。

根據(jù)式(1)～(4)，可得到高超聲速飛行器面向姿態(tài)控制設(shè)計(jì)的狀態(tài)空間模型:

式中:分系統(tǒng)的狀態(tài)向量為x1=［α β γc］T和x2=［ωx1ωy1ωz1］T，ζ1和 ζ2表示建模誤差、參數(shù)攝動(dòng)和外界干擾等系統(tǒng)不確定性，而且

因?yàn)閿?shù)學(xué)模型(5)具有嚴(yán)格反饋形式，因此在基于該模型進(jìn)行姿控系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，不僅可以簡化設(shè)計(jì)過程，而且還可以有效應(yīng)對(duì)姿態(tài)控制系統(tǒng)的非匹配不確定問題。

2 高超聲速飛行器姿態(tài)控制設(shè)計(jì)

2．1基于ESO的動(dòng)態(tài)逆控制技術(shù)

對(duì)于多變量非線性系統(tǒng):

實(shí)際工程中，系統(tǒng)的一部分動(dòng)態(tài)是可知的，則式(6)可以改寫為如下的形式:

式中:F0(x)和G0(x)表示已知?jiǎng)討B(tài)，F(xiàn)n(x)和Gn(x)表示未知?jiǎng)討B(tài)，并假設(shè)G0(x)是非奇異的。于是，需要擴(kuò)展的狀態(tài)向量為:

針對(duì)式(7)～(8)，我們可以設(shè)計(jì)如下的多變量線性ESO，用于系統(tǒng)不確定動(dòng)態(tài)的估計(jì):

式中:向量z1是對(duì)系統(tǒng)(7)狀態(tài)向量x的估計(jì)，向量z2是對(duì)不確定性向量的估計(jì)，且β0＞0，β1＞0。

下面首先給出兩個(gè)引理。

引理1．［11］對(duì)于n階實(shí)對(duì)稱矩陣F，有:

式中:σ－(·)和(·)分別表示矩陣的最小特征值和最大特征值。

引理2．［12］若η＞0，則有:

將不確定動(dòng)態(tài)的估計(jì)補(bǔ)償?shù)皆到y(tǒng)(6)中，并利用動(dòng)態(tài)逆控制理論，可以得到如下的定理。

定理1．假設(shè)ESO對(duì)系統(tǒng)不確定動(dòng)態(tài)的估計(jì)誤差是有界的且有，則針對(duì)非線性系統(tǒng)(7)可以設(shè)計(jì)如下的動(dòng)態(tài)逆控制律:

式中:W是正定矩陣。于是，非線性系統(tǒng)(7)各狀態(tài)變量的跟蹤誤差將收斂至鄰域內(nèi)。

證．選取Lyapunov函數(shù)如下:

等式兩邊分別對(duì)時(shí)間進(jìn)行求導(dǎo)，可得:

式中:W=2W1，故W1也是正定矩陣。

根據(jù)引理1，得到如下的不等式:

同時(shí)，根據(jù)Cauchy－Schwarz不等式［12］，可得:

基于式(15)～(16)，可以得到如下不等式:

然后，根據(jù)引理2，可進(jìn)一步得到:

再根據(jù)式(13)，可得到如下等式:

因此，當(dāng)t→∞ 時(shí)，有如下的不等式:

根據(jù)向量2范數(shù)的定義可以得到，非線性系統(tǒng)(7)各狀態(tài)變量的跟蹤誤差將收斂至鄰域范圍內(nèi)。

由定理1可以看出，在ESO估計(jì)誤差已定的情況下，增大σ－(W)可以有效減小狀態(tài)的跟蹤誤差。

2．2動(dòng)態(tài)面姿態(tài)控制律設(shè)計(jì)

對(duì)于形如式(5)的非線性系統(tǒng)，通常采取反演與多魯棒面控制相結(jié)合的方法。但是，傳統(tǒng)的反演方法中連續(xù)微分會(huì)帶來“計(jì)算爆炸”現(xiàn)象。為了避免此現(xiàn)象的發(fā)生，可以采用動(dòng)態(tài)面控制方法［8］，該方法通過引入若干個(gè)低通濾波器避免了對(duì)虛擬指令的直接微分，故具有較高的工程實(shí)用價(jià)值。

首先，給出三個(gè)基本假設(shè)條件，作為下一步姿態(tài)控制律設(shè)計(jì)時(shí)的依據(jù)［13］。

假設(shè)1．高超聲速飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)中的不確定性向量ζ1和ζ2是范數(shù)有界的。

假設(shè)3．高超聲速飛行器面向姿態(tài)控制設(shè)計(jì)的狀態(tài)空間模型中控制矩陣g1(x1)和g2(x2)均為非奇異且范數(shù)有界的。

然后，構(gòu)造兩個(gè)多變量ESO，分別用于估計(jì)兩個(gè)分系統(tǒng)的未知不確定動(dòng)態(tài)，其表達(dá)式如下:

式中:系數(shù) β10、β11、β20和 β21均為正數(shù)。

最后，基于已經(jīng)構(gòu)造出的ESO，可以設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)面姿態(tài)控制律如下:

式中:η=diag(η1，η2，η3)為濾波器系數(shù)矩陣，且η1＞0，η2＞0，η3＞0。顯然，當(dāng)x2c→x2d時(shí)，控制律(23)便退化為傳統(tǒng)的反演模式。

3 仿真結(jié)果

本部分將對(duì)比本文控制方案與基于傳統(tǒng)動(dòng)態(tài)逆的動(dòng)態(tài)面控制方案的仿真結(jié)果，并分析本文控制方案的優(yōu)勢(shì)。飛行器模型如文獻(xiàn)［13］所示，動(dòng)態(tài)面姿態(tài)控制方案的參數(shù)值如下:

在本文控制方案中，引入了兩個(gè)多變量ESO進(jìn)行未知不確定動(dòng)態(tài)的估計(jì)，其參數(shù)值如下:

對(duì)于飛行器機(jī)體參數(shù)考慮10%的不確定性，對(duì)于氣動(dòng)參數(shù)則考慮20%的不確定性。此外，在仿真系統(tǒng)中加入時(shí)變等效干擾力和等效干擾力矩的影響，如下:

圖1 兩種控制方案下姿態(tài)角跟蹤曲線(N T=1)Fig．1 Tracking curves of attitude angles under the two control scheme(N T=1)

圖2 兩種控制方案下姿態(tài)角跟蹤曲線(N T=－1)Fig．2 Tracking curves of attitude angles under the two control scheme(N T=－1)

假設(shè)攻角、側(cè)滑角和速度傾側(cè)角初始時(shí)刻均在零位置，且其跟蹤指令分別為5°+1°sin(2πt)、10°+2°sin(2πt)和15°+3°sin(2πt)的復(fù)合信號(hào)?？紤]到實(shí)際情況要求，將各舵偏角限制在±30°之間。

仿真中，考慮不確定性系數(shù)N［13］T分別為上、下界的兩種情況，并給出兩種控制方案下姿態(tài)角跟蹤曲線，如圖1～圖2所示。通過圖1～圖2可以看出，相比基于傳統(tǒng)動(dòng)態(tài)逆的動(dòng)態(tài)面控制方案，本文控制方案下飛行器的姿態(tài)調(diào)節(jié)速度快、穩(wěn)態(tài)精度高，而且具備針對(duì)系統(tǒng)不確定性的較強(qiáng)魯棒性，故而實(shí)現(xiàn)了飛行器姿態(tài)控制的目的。

此外，計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果表明，在兩種仿真情況下，解算的控制量中無明顯的高頻抖動(dòng)現(xiàn)象(除一處由于指令切換造成的跳變外)，因此增強(qiáng)了本文控制方案的工程應(yīng)用性。

4 結(jié)論

本文針對(duì)高超聲速飛行器非線性對(duì)象，提出的基于ESO的動(dòng)態(tài)面姿態(tài)控制方案，可保證飛行器姿控系統(tǒng)在三通道耦合和系統(tǒng)不確定性的影響下仍具有較好的跟蹤性能。仿真結(jié)果表明，相比基于傳統(tǒng)動(dòng)態(tài)逆的動(dòng)態(tài)面控制方案，本文控制方案下飛行器的動(dòng)態(tài)性能更好，穩(wěn)態(tài)精度更高，姿態(tài)控制系統(tǒng)的魯棒性也更強(qiáng)。而且，本文控制方案結(jié)構(gòu)較為簡單，易于工程實(shí)現(xiàn)。關(guān)于控制律中姿態(tài)角指令的微分項(xiàng)，本文直接通過差分法獲得，雖然該方法簡單實(shí)用，但是其抵抗噪聲的能力較弱，因此還需要采用一些更為有效的微分方法，如近似微分法或微分跟蹤器等。關(guān)于此部分的研究將在今后的工作中給出。

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