吳偉仁，李 驥，黃翔宇，張洪華，王大軼，張 哲

(1．國防科工局探月與航天工程中心，北京100037;2．北京控制工程研究所，北京100190;3．空間智能控制技術(shù)國家級重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190)

0 引言

地外天體軟著陸探測是深空探測的一種重要方式。到目前為止，美國、蘇聯(lián)、歐空局以及日本等國家和組織已經(jīng)先后對月球、火星、小行星和彗星等地外天體實(shí)施了軟著陸探測。以嫦娥三號為代表，我國也實(shí)現(xiàn)了月球軟著陸探測［1］，未來還將開展對火星、小行星等深空天體的著陸探測。

由于地外天體距離地球都很遙遠(yuǎn)，地面測控在實(shí)時(shí)性和精確性上很難滿足要求，因此著陸過程的導(dǎo)航一般都采用自主導(dǎo)航。在已經(jīng)實(shí)現(xiàn)的著陸探測任務(wù)中，美國的Surveyor［2］和Apollo［3］采用了基于慣性測量單元(以下簡稱IMU)、雷達(dá)高度計(jì)和多普勒速度敏感器的導(dǎo)航方式;蘇聯(lián)的lunar系列也采用的是陀螺、加速度計(jì)(以下簡稱加計(jì))、多普勒測速儀和測高儀的導(dǎo)航方式［4］;我國的嫦娥三號月球探測器在軟著陸過程中則采用了IMU、激光測距儀和微波測距測速敏感器組合的導(dǎo)航方式［5］。目前，各國正在研制的新一代著陸探測器則進(jìn)一步突出了著陸導(dǎo)航精度。例如，日本的Selene-B計(jì)劃采用IMU、光學(xué)導(dǎo)航相機(jī)、激光高度計(jì)/測速儀的復(fù)合導(dǎo)航方法［6］;歐空局研制中的月球著陸器采用了IMU、距離傳感器和導(dǎo)航相機(jī)相組合的導(dǎo)航方法［7］;美國原計(jì)劃開展的星座計(jì)劃項(xiàng)目，甚至設(shè)計(jì)了一套融合光學(xué)圖像、測距測速以及地面無線電測量的導(dǎo)航方法，形成一種天地一體的組合導(dǎo)航方案［8］。

為確保地外天體軟著陸任務(wù)中，著陸器能夠以盡可能小的速度垂直降落到天體表面理想?yún)^(qū)域，導(dǎo)航系統(tǒng)需要提供準(zhǔn)確的相對天體表面的高度和速度(包括垂向和水平共三個(gè)方向)信息，至于水平位置信息則處于相對次要的地位。因此盡管具體方案千差萬別，采用的敏感器在工作體制、性能指標(biāo)上也不盡相同，但慣導(dǎo)結(jié)合測距以及測速修正的導(dǎo)航方式始終是地外天體軟著陸自主導(dǎo)航的核心。其中慣導(dǎo)是提供位置、速度和姿態(tài)測量的基本手段，測距用于修正慣導(dǎo)的高度誤差，測速則用于修正慣導(dǎo)的三維速度誤差。在這三者的組合下就提供了安全軟著陸的基本導(dǎo)航手段。本文以此為基礎(chǔ)，對慣導(dǎo)、測距和測速及在工程實(shí)用中會(huì)遇到的地形問題進(jìn)行了詳細(xì)的數(shù)學(xué)建模和理論分析，并給出了相關(guān)計(jì)算方法和修正策略。

1 慣性導(dǎo)航

1．1軟著陸運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

取天體中心慣性系為參考坐標(biāo)系(用i表示)，軟著陸平動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可以描述為

式中:ri是著陸器位置矢量在慣性系下的表示(3×1列向量)，vi是著陸器速度矢量在慣性系下的表示(3×1列向量)，μ是天體中心引力常數(shù)，F(xiàn)i是除引力外作用在著陸器上的合外力矢量在慣性系下的表示(3×1列向量)，m是著陸器的質(zhì)量，是引力攝動(dòng)加速度矢量在慣性系下表示(3×1列向量)。

著陸器本體相對慣性系的姿態(tài)用四元數(shù)q=［q1，q2，q3，q4］T表示，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可以描述為

式中:ωb是角速度矢量在著陸器本體系(用b表示)下的表示(3×1列向量)，它可以根據(jù)陀螺測量得到。式(1)和式(2)構(gòu)成了著陸過程的基本運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，它們也是慣性導(dǎo)航解算的基礎(chǔ)。

1．2慣導(dǎo)基本方程

1)慣導(dǎo)位置、速度外推

慣性導(dǎo)航的基本測量源為IMU，它包含三個(gè)正交的陀螺和三個(gè)正交的加計(jì)，整個(gè)組件以捷聯(lián)方式安裝在著陸器本體上。其中陀螺可以獲得本體相對慣性空間的角速度，加計(jì)可以獲得作用在本體上的非引力加速度。假設(shè)本體系下非引力加速度的測量值為，由于在軌飛行中加計(jì)的零偏和刻度因子都可以進(jìn)行標(biāo)定，扣除這些因素后有

式中:Cbi是本體相對慣性系的姿態(tài)矩陣，是加計(jì)的測量噪聲向量在著陸器本體系下的表示。

將式(3)代入式(1)，則有

2)慣導(dǎo)姿態(tài)外推

將式(5)代入式(2)中有

將式(4)和式(6)結(jié)合起來就可以進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)外推，即慣導(dǎo)外推。慣導(dǎo)外推有很多具體的算法，例如嫦娥三號著陸器所使用的四子樣算法等［5］。但無論哪種算法，都可以用基本方程(4)和(6)來表示。

1．3慣導(dǎo)在著陸導(dǎo)航中的不足

基于遞推算法的慣性導(dǎo)航中，由于各種誤差的累積作用，慣導(dǎo)計(jì)算誤差逐漸增大。圖1和圖2是某月球軟著陸任務(wù)中仿真得到的慣導(dǎo)高度誤差和垂直速度誤差隨時(shí)間的變化曲線，其中點(diǎn)劃線是蒙特卡洛仿真統(tǒng)計(jì)的均值，虛線是蒙特卡洛仿真中獲得的最大值，實(shí)線為統(tǒng)計(jì)得到的3σ界。很顯然，慣導(dǎo)的高度和速度誤差均呈發(fā)散狀態(tài)。這說明單純依靠慣導(dǎo)無論是在高度還是在速度上都很難滿足安全著陸的需要。

圖1 慣導(dǎo)高度誤差曲線Fig．1 INSerror in altitude

2 測距對慣導(dǎo)高度的修正

2．1地形模型

測距儀得到的是著陸器沿測距儀波束方向相對天體表面的直線距離，而慣性導(dǎo)航提供的是相對天體中心的位置，這意味著慣性導(dǎo)航不能直接給出相對天體表面的高度。兩者之間存在地形影響。

圖2 慣導(dǎo)垂直速度誤差曲線Fig．2 INSerror in vertical velocity

以月球虹灣地區(qū)為例，動(dòng)力下降的典型航跡如圖3所示。圖中，縱向白線為航跡，箭頭表示飛行方向。該航跡下的地形起伏如圖4所示。

圖3 月球著陸過程的典型航跡圖Fig．3 Typical landing trajectory of lunar landing

月面地形可以建模為趨勢項(xiàng)和疊加在該趨勢項(xiàng)上的高度起伏。對于虹灣地區(qū)來說，其趨勢項(xiàng)可以建模成斜坡

式中:hL是基準(zhǔn)高度，s是著陸航程，α是坡度。

圖4 典型航跡下的月面起伏Fig．4 Terrain under the typical landing trajectory

高度起伏可以用一階馬爾科夫過程描述，即

β是相關(guān)距離。

由于航程實(shí)際是水平速度的積分，即

式中:vhor表示水平速度，因此式(9)可以變?yōu)?/p>

顯然，隨著高度的降低，著陸器水平速度越來越小，則地形的起伏變化也越來越小。

2．2測距模型

測距儀測量的是沿波束方向到實(shí)際月面的斜距。將它解算為高度時(shí)，需要用到著陸器的姿態(tài)信息。假設(shè)測距波束方向在本體系的表示為，測距儀的斜距測量值為，那么測距儀解算的高度為

測距儀解算的高度與實(shí)際星下點(diǎn)高度是有偏差的，包括測距儀自身的測量誤差以及測距儀指向與鉛垂線之間夾角帶來的地形起伏誤差(如圖5所示)。為了降低后者的影響，通常在著陸器本體向下的方向會(huì)安裝一個(gè)測距波束天線或裝置。這樣當(dāng)著陸器最終以垂直方式著陸時(shí)，該波束方向與鉛垂線方向一致，地形起伏的影響得以消除。

圖5 測距儀測量原理Fig．5 Measurement geometry of altimeters

2．3測距修正

測距儀解算的高度與著陸器位置之間有如下關(guān)系

式中:Rm是天體參考半徑，δhalt是測距儀高度解算的隨機(jī)誤差。

對于測距修正來說，只有垂向通道的慣導(dǎo)誤差(高度和垂向速度)是可觀測的［10］，因此不能按照式(4)、(6)和(13)建立全狀態(tài)的濾波方程。著陸器的垂向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可以近似為

式中:vver表示垂向速度，fver是垂向非引力加速度，g是重力加速度，δaver是縱向加速度誤差。h是著陸器相對天體參考半徑Rm的高度(稱為絕對高度)，它與著陸器位置r的關(guān)系為

測距儀測量出波束方向的斜距，并按式(12)可以解算出相對實(shí)際天體表面的高度(稱為相對高度)，那么由式(13)可以得到測量方程為

由式(11)可知hn隨速度越來越小，因此將hn與測距儀誤差δhalt一起考慮為隨機(jī)量。假設(shè)href已知，那么可以建立濾波的狀態(tài)方程和測量方程

需要說明的是，導(dǎo)航系統(tǒng)應(yīng)該提供著陸器相對天體實(shí)際表面的高度，即相對高度，而由式(17)估計(jì)的高度是絕對高度，那么為計(jì)算相對高度還應(yīng)當(dāng)補(bǔ)償?shù)粢阎匦?，?/p>

理論上，測距修正除了能夠估計(jì)出著陸器的高度外還應(yīng)估計(jì)出垂直速度，但是實(shí)際估計(jì)出的垂直速度并不是特別準(zhǔn)確。在地外天體著陸過程中href通常并不知道。將式(17)進(jìn)行適當(dāng)變換，有

式(19)可用來對著陸器相對天體地形趨勢項(xiàng)的高度和垂直速度進(jìn)行估計(jì)，方程的右邊出現(xiàn)了天體地形趨勢項(xiàng)的變化率，即。由于地外天體著陸任務(wù)中地形趨勢往往事先不知，因此在式(19)中只能假定這個(gè)變化率為0。但實(shí)際上，只要趨勢面存在高度變化，那么href對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)在著陸器轉(zhuǎn)為垂直飛行之前就不為0，由此濾波估計(jì)出的垂向速度就會(huì)出現(xiàn)偏差。但相對高度是直接觀測量，受地形不確定的影響較小，即使href沒有先驗(yàn)知識(shí)，對高度估計(jì)效果的影響也可忽略。

3 測速對慣導(dǎo)速度的修正

對于著陸安全性來說，水平速度為0是避免著陸器接觸天體表面時(shí)發(fā)生翻倒的一個(gè)重要前提。為了提高水平速度精度，導(dǎo)航還必須引入直接的速度測量修正。為了構(gòu)建完整的三維空間速度矢量，需要有三個(gè)不共面的測速波束。

慣導(dǎo)提供的是著陸器相對慣性系的速度，而慣性系的速度與相對天體表面的速度之間存在如下關(guān)系

那么根據(jù)式(4)和(21)，可以構(gòu)造濾波方程

式中:δvradar是測速敏感器測量誤差，I3×3表示3×3單位矩陣。對式(22)可以使用擴(kuò)展卡爾曼濾波進(jìn)行估計(jì)，其中ri、vi的時(shí)間更新部分就是慣導(dǎo)位置、速度的外推。

從文獻(xiàn)［10］已知上述系統(tǒng)是完全可觀的，但對天體自轉(zhuǎn)角速度，即的模，比較小的天體(例如月球)，式(22)中ri的可觀性并不太好。對于這種情況，可以將ri視為已知量(由慣導(dǎo)提供)，這樣被估狀態(tài)就只剩下vi，與之相對應(yīng)，濾波器變?yōu)?/p>

這是一個(gè)線性定常系統(tǒng)，可以使用卡爾曼濾波進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)。工程實(shí)踐時(shí)，也可以將它轉(zhuǎn)換為固定系數(shù)濾波器，但濾波系數(shù)應(yīng)隨高度或速度變化［5］，通常的趨勢是濾波系數(shù)隨高度降低或速度下降而增大。

4 組合使用的策略

從安全著陸的角度看，著陸過程的導(dǎo)航精度應(yīng)隨著高度的降低逐漸提高。慣性導(dǎo)航本身的誤差是逐漸增大的，而測距和測速儀的誤差會(huì)隨著高度的降低逐漸減小，兩者的精度水平可能會(huì)在某一高度下形成交叉。例如，某月球著陸器慣導(dǎo)和測距儀解算高度的精度水平以及慣導(dǎo)和測速儀精度水平的對比情況分別如圖6和圖7所示，圖中實(shí)線表示INS的誤差，點(diǎn)劃線表示測距或測速的誤差，線段長度按照敏感器作用距離繪制。這表明，測距和測速修正并不一定需要在下降的全程都引入，只要保證在著陸后期(測距測速精度高于慣導(dǎo)以后)啟用，這樣也有利于降低敏感器研制的難度。

圖6 測距儀與慣導(dǎo)高度解算精度比較Fig．6 INSand altimeter errors

圖7 測速儀與慣導(dǎo)速度解算精度比較Fig．7 INSand Doppler velocimetry errors

5 仿真校驗(yàn)

以月球軟著陸過程為例，對慣導(dǎo)/測距/測速相結(jié)合的自主導(dǎo)航方法進(jìn)行仿真校驗(yàn)。仿真過程中假定著陸器從15×100 km的橢圓環(huán)月軌道近月點(diǎn)開始下降。測距修正從8 km高度開始引入;測速修正從4 km高度開始引入。

著陸過程的高度變化曲線如圖8所示。其中實(shí)線為實(shí)際飛行高度曲線，虛線為導(dǎo)航給出的高度變化曲線，點(diǎn)劃線是地形。由于初始測定軌誤差的存在，下降的初始階段導(dǎo)航給出的高度相比實(shí)際高度存在偏差，到8 km測距修正引入后，導(dǎo)航高度偏差迅速縮小。

圖8 月球軟著陸主減速過程的飛行軌跡Fig．8 Altitude vs time in lunar landing

著陸過程的速度誤差變化曲線如圖9所示，其中δVx、δVy和δVz分別表示慣性系下三方向的速度誤差。很明顯在測速修正引入以前，慣導(dǎo)的速度誤差處于發(fā)散狀態(tài)。當(dāng)測速修正引入后，速度誤差迅速趨于0，并在0附近波動(dòng)。

圖9 月球軟著陸過程導(dǎo)航速度誤差變化Fig．9 Velocity vs time in lunar landing

6 結(jié)論

地外天體軟著陸對導(dǎo)航系統(tǒng)而言，保證安全就是保證高度和速度三方向分量的精度。從這一根本要求出發(fā)，本文分析了慣導(dǎo)、測距儀和測速儀在著陸任務(wù)中的作用，對它們各自的原理、模型、算法、性能、優(yōu)缺點(diǎn)和組合使用方法等進(jìn)行了詳細(xì)的介紹和推導(dǎo)。并從工程實(shí)際出發(fā)，針對計(jì)算量、地形影響、濾波穩(wěn)定性等問題，利用可觀性分析的結(jié)論，對測速、測距修正的算法進(jìn)行了簡化。相比各種理論算法，本文介紹的安全軟著陸導(dǎo)航方法實(shí)用性更強(qiáng)。數(shù)學(xué)仿真表明基于慣導(dǎo)和測距/測速組合修正的安全軟著陸自主導(dǎo)航方法能夠保證導(dǎo)航系統(tǒng)在高度和速度上的精度，滿足安全軟著陸的基本需要。

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