孫巧如，韓先國

（北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京 100191）

0 引言

并聯(lián)機構具有剛度質量比大、承載能力強、累積誤差小等優(yōu)點[1]，將其作為運動模擬器模擬船舶在海浪中的運動具有重要的意義。其動平臺具有尺寸大、承載能力要求高、剛度要求高等特點，因此采用冗余驅動提高系統(tǒng)剛度[2]。

國內外學者在并聯(lián)機構的剛度方面進行了一定的研究。梁輝等[3]通過建立3RPS/UPS 冗余并聯(lián)機床的剛度模型對并聯(lián)機床的支鏈進行剛度分析，Goldsmith[4]應用剛度矩陣分析法建立3-UPU 并聯(lián)機構的剛度解析模型，宋軼民等[5]采用螺旋理論建立了一種三自由度冗余驅動并聯(lián)機構的剛度解析模型，并預估其全域剛度分布規(guī)律。現(xiàn)有文獻對并聯(lián)機構的剛度進行了一定的研究，但是多數將并聯(lián)機構的動平臺視為理想剛體，并未對其剛度進行分析。針對本文所設計的并聯(lián)搖擺臺，由于其動平臺的尺寸大、剛度要求高，因此需要對其剛度進行一定的研究。

利用有限元分析機構的剛度方法簡單，精度較高，但是耗時多，工作量大，為便于并聯(lián)機構參數的多變量優(yōu)化設計，仍需要建立機構的靜剛度解析模型。首先，根據并聯(lián)搖擺臺動平臺的特點，將其簡化為交叉梁系，針對并聯(lián)機構在非冗余驅動和冗余驅動時的不同特點，將交叉梁系合理地拆分為簡支梁，采用節(jié)點載荷分配系數法將節(jié)點上的載荷分配給相交的各梁，根據同一節(jié)點處變形量相等的條件，建立關于各節(jié)點載荷分配系數的方程，進而計算出動平臺在非冗余驅動和冗余驅動時的理論最大變形量，并對其進行比較。然后，采用有限元分析的方法計算動平臺的最大變形量，與理論計算結果進行對比。最后，說明冗余驅動存在驅動誤差時，系統(tǒng)可以通過動平臺自身剛度的變化減小由于驅動誤差而導致的內力耦合。

1 3UPS/U 并聯(lián)機構介紹

3UPS/U 并聯(lián)機構由動平臺、靜平臺、驅動支鏈和中間立柱組成。驅動支鏈上端通過球鉸與動平臺連接、下端通過虎克鉸與靜平臺連接，中間立柱上端通過虎克鉸和動平臺連接，下端固定在動平臺上，通過控制驅動支鏈的長度變化實現(xiàn)動平臺的運動。動平臺在驅動支鏈和中間立柱的共同作用下具有兩個轉動自由度，驅動支鏈的數目為3，大于機構的自由度數目，因此，機構屬于冗余驅動并聯(lián)機構。該并聯(lián)機構的動平臺尺寸大、剛度要求高，因此其骨架采用箱梁結構，相互之間成井字形布置。

2 動平臺骨架剛度分析

為了對動平臺的骨架進行剛度分析，將動平臺骨架簡化為如圖1 所示的空間交叉梁系，首先分析動平臺骨架在非冗余驅動時的剛度情況。在動平臺骨架所受載荷不變的情況下，其剛度的大小即表現(xiàn)為變形量的大小。

圖1 中，A、B、C 分別為驅動支鏈、中間立柱與動平臺的連接點，以C 點為坐標原點建立C-XY 坐標系，規(guī)定沿X 軸方向的梁為橫梁，即橫梁1、2、3、4、5，沿Y軸方向的梁為縱梁，即縱梁a、b、c、d、e、f、g、h，梁的節(jié)點坐標用橫、縱梁的標號表示，即節(jié)點1a、2b、3b 等。

由于外伸梁的撓度可以根據材料力學[6]中的疊加法以及位移合成法計算得到，而空間交叉梁系的各個梁之間由于共用結點而相互影響，因此，不能直接計算出交叉梁系的變形量。為了得到交叉梁系的變形量，需要將復雜的空間交叉梁系通過一定的方法簡化為簡單的外伸梁。文獻[7]以荷載分配系數為未知量，將作用在交叉梁系節(jié)點上的荷載按照分配系數分配給在節(jié)點相交的各梁，從而將交叉梁系拆分為一根根單一的簡支梁來計算。但是文獻中所討論的交叉梁系的約束位置都位于梁系的邊緣，因此可以按照橫梁和縱梁的方式拆分梁系的結構，而在本文所述動平臺的骨架結構中，交叉梁系所受到的約束位于梁系的內部節(jié)點上，因此不能簡單地將梁系劃分為橫梁和縱梁兩部分，而要根據約束的位置，合理地拆分梁系的結構，保證拆分后的結構在計算節(jié)點變形時比較方便。根據本文中交叉梁系的結構以及梁系受到的約束，將梁系劃分為如圖1 所示的兩部分，虛線部分和實線部分，有跨線的地方表示此節(jié)點處的橫梁和縱梁是相互獨立的，相交的部分表示此節(jié)點處橫梁和縱梁是相連的。

圖1 空間交叉梁系示意圖Fig.1 The schematic diagram of space intersection beam systems

假設梁系受到的載荷為均布載荷q，首先將均布載荷轉化為節(jié)點處的集中載荷Q，每一個節(jié)點處的載荷分別由相交于此節(jié)點的橫梁和縱梁承擔。設μix、μiy分別為同一節(jié)點處橫梁和縱梁上的載荷分配系數，μix+μiy=1，那么節(jié)點處的載荷分配給橫梁和縱梁的值分別為μixQ、μiyQ。

根據拆分后的梁系結構，分別計算每個節(jié)點在橫梁和縱梁中的變形量，根據同一節(jié)點處變形量相等的條件，得到關于每個節(jié)點的載荷分配系數μix和μiy的方程，解方程可以求得μix和μiy，將其反代入節(jié)點的變形量方程中，即可求得各結點的變形量，進而可求得交叉梁系的剛度。

2.1 橫梁上各節(jié)點的變形

拆分后的橫梁結構如圖2 所示，B、C 為此梁系的約束位置。由于實際梁系結構的扭轉變形相對于彎曲變形比較小，因此此處忽略扭轉變形。

以節(jié)點1h 為例來說明求解節(jié)點變形量的原理。節(jié)點1h位于橫梁1 上，橫梁1 通過節(jié)點1c 和支撐A、B 相連，為了得到節(jié)點1h 的變形量，首先需要計算節(jié)點1c 的變形量，節(jié)點1c 處的撓度為δ1c。

由于在節(jié)點1c 處橫梁1 和縱梁c 為剛性連接，因此單獨分析橫梁1 的變形時可以把節(jié)點1c 看作是固定端，根據梁變形的疊加法可知，在橫梁1 上各個節(jié)點力的作用下，橫梁1 上節(jié)點1h 的變形量為

圖2 拆分后的橫梁結構Fig.2 The structure of beam after separation

橫梁1 上節(jié)點1h 的總的變形量包括懸臂梁1 計算得到的1h 的變形量與固定端1c 處的變形量之和，因此，橫梁1 上節(jié)點1h 的總的變形量為：只與μix（i=a，b，d，e，f，g，h）、μ3cy有關。同理，可以得到橫梁結構中其它各節(jié)點的變形量。

2.2 縱梁上各節(jié)點的變形量

拆分后的縱梁結構如圖3 所示，由于縱梁h 所在的梁系結構只有一個鉸支座約束C，結構屬于欠約束結構，因此需要尋找其他合適的約束條件，使拆分出來的梁系結構達到穩(wěn)定狀態(tài)。根據橫梁1 所在的梁系結構的計算結果可知，節(jié)點3c 的變形結果已知，設為μ3cy，那么可以將節(jié)點3c 當作具有一定位移的鉸支座。由于節(jié)點3c 具有一定的位移，因此橫梁3 在支座C 處具有一定的轉角θ，但是由于μ3cy/（1.5L）≈0，因此，可以近似認為橫梁3 不受鉸支座3c 的位移的影響。

同理，以節(jié)點1h為例來說明求解節(jié)點變形量的原理。節(jié)點1h 位于縱梁h 上，縱梁h 通過節(jié)點3h 和支撐C、3c 連接，因此為了得到節(jié)點1h 的變形量，首先需要計算節(jié)點3h 的變形量，節(jié)點3h 處的撓度為δ3h。

單獨計算縱梁h 上節(jié)點1h 的變形量時，可以把節(jié)點3h 看作是固定端，那么縱梁h 的下半部即為懸臂梁，根據懸臂梁的撓度計算公式以及疊加法可知，縱梁h 中節(jié)點1h 的變形量為縱梁h 上節(jié)點1h 的變形量為：只與有關。同理，可以得到縱梁結構中其它各節(jié)點的變形量。

圖3 拆分后的縱梁結構Fig.3 The structure of beam after separation

3 計算實例

由于原模型比較復雜，需要計算位移的節(jié)點數量比較多，因此，采用一個與原模型類似、但比較簡單的模型來驗證此方法的正確性。

采用上述方法分別計算節(jié)點1a、2a、1c、2c、1d、2d 在X 向梁上的變形量和在Y 向梁上的變形量，使二者相等，可以得到：

采用有限元軟件分析得到冗余驅動時交叉梁系的變形情況如圖5 所示。有限元分析的結果為0.13416mm，誤差為：

圖4 非冗余驅動時交叉梁系變形情況Fig.4 Deformation of space intersection beam systems with non-redundant

圖5 冗余驅動時交叉梁系變形情況Fig.5 Deformation of space intersection beam systems with redundant

理論計算得到交叉梁系的最大變形量基本與有限元軟件分析得到的最大變形量一致，表明采用載荷系數分配法計算交叉梁系的變形量的方法是可行的。

比較非冗余驅動時交叉梁系的最大變形量和冗余驅動時交叉梁系的最大變形量可得，增加冗余驅動后，動平臺骨架的最大變形量減小了55.2%。

4 動平臺剛度變化對驅動誤差的影響

動平臺的剛度不僅與自身結構有關，還與驅動支鏈的數量和布置位置有關。并聯(lián)搖擺臺采用冗余驅動時，當冗余驅動出現(xiàn)驅動誤差時，若動平臺為純剛體，由于各驅動支鏈之間的內力耦合，會使系統(tǒng)產生較大的內力，甚至導致系統(tǒng)結構破壞；當動平臺的剛度較小時，可以通過動平臺自身剛度的變化減小由于驅動誤差而產生的系統(tǒng)內力耦合，避免出現(xiàn)結構破壞。

假設冗余驅動支鏈由于驅動誤差而產生的位移為△d，若動平臺為純剛體，那么由于冗余驅動支鏈的驅動誤差而導致的其它驅動支鏈的變形為△D，若動平臺的剛度較小，那么由于冗余驅動支鏈的誤差而導致的其它驅動支鏈的變形為△D-δd，δd 為動平臺上對應驅動支鏈處的節(jié)點變形量。因此冗余驅動支鏈的驅動誤差對其它驅動支鏈的影響可以通過動平臺自身剛度的變化而減小，即各支鏈之間的耦合內力會相應地減小。

5 結論

本文通過將并聯(lián)機構的動平臺的骨架簡化為交叉梁系，介紹了采用載荷分配系數法計算交叉梁系變形量的原理，并采用有限元軟件對其計算結果進行驗證，得到： ①根據交叉梁系結構和所受約束，采用載荷分配系數法合理地拆分并計算各結節(jié)點變形量的方法是可行的；②從理論上說明了冗余驅動對于提高并聯(lián)機構動平臺剛度起到了重要作用；③當冗余驅動存在誤差時，可以通過動平臺自身剛度的變化減小由于冗余驅動誤差而導致的系統(tǒng)內力耦合。

[1] 黃真，孔令富.并聯(lián)機器人機構學理論及控制[M].北京: 機械工業(yè)出版社，1997.

[2] Liu G F，Wu Y L. Analysis and control of redundant parallelmanipulators[A].Proceedings of the 2001 IEEE International Conference on Robotics & Automation[C]. 2001.

[3] 梁輝, 白志富. 具有內力的3RPS/UPS 冗余并聯(lián)機床剛度分析[J].機械設計，2007，1.

[4] Goldsmith P B. Design and kinematics of a three-leggedparallel manipulator[J].IEEE Transactions on Roboticsand Automation，2003，4.

[5] 宋軼民，翟學東. 一種三自由度冗余驅動并聯(lián)模塊的剛度分析[J].天津大學學報，2015，1.

[6] 同濟大學航空航天與力學學院基礎力學教學研究部. 材料力學[M]. 上海：同濟大學出版社，2005.

[7] 張定華. 空間平板網架交叉梁系的荷載分配法[J].貴州工學院學報，1987.