摘 要：資金時間價值是一種十分重要的財務管理觀念，其內(nèi)容多、計算公式復雜，掌握較為困難，本文系統(tǒng)的整理和分析其單利、復利、年金三種具體的資金時間價值的計算公式，從數(shù)學角度推導其過程，幫助正確的理解、掌握和運用這些重要的公式。

關(guān)鍵詞：資金時間價值 單利 復利 年金 公式 推導

中圖分類號：F234 文獻標識碼：A

文章編號：1004-4914（2014）12-119-02

財務管理是企業(yè)管理的一個組成部分，它是根據(jù)財經(jīng)法規(guī)制度，按照財務管理的原則，組織企業(yè)財務活動，處理財務關(guān)系的一項經(jīng)濟管理工作。其理財之道：包括聚財（籌資）之道、用財（投資、耗費）之道、生財（收回、分配）之道幾個具體環(huán)節(jié)。其研究對象是企業(yè)的資金運動及其所體現(xiàn)的財務關(guān)系。科學理財是財務管理的目標之一，要實現(xiàn)這一目標必須具備理財觀念。資金（貨幣）時間價值觀就是其中之一的觀念，資金時間價值（Time Value of Money）是指資金隨著時間的推移而發(fā)生的價值變動，包括時間向后、未來推移產(chǎn)生的價值增值和時間先前、過去推移的減值兩種。資金時間價值有兩種表現(xiàn)形式：

時間價值率（利率）i：扣除風險報酬和通貨膨脹貼水后的社會平均資金利潤率。

時間價值額（利息）I：計息基數(shù)×利率×時間

資金時間價值的計息方式具體有兩種：分別是單利和復利

一、一次性收、付款項計算公式的推導

終值（Future Value）現(xiàn)在一定數(shù)量的貨幣資金按給定的利率計算所得到的在某個未來時間點的價值，也稱為本利和。

現(xiàn)值（Present Value）就是以后年份收到或付出貨幣資金的現(xiàn)在價值，可用倒求本金的方法計算。

設FVn為終值，即第n年末的價值；PV0為現(xiàn)值，即0年（第1年初）的價值，i為利率，n為計算期數(shù)。

（一）單利的相關(guān)計算

單利（Simple Interest）計息方式：本金能帶來利息，利息必須在提出以后再以本金形式投入才能生利，否則不能生利。因此，單利前提下無論計息的期數(shù)是多長，其每期計息的基數(shù)都是保持不變，始終是最初的本金。

1.單利終值：

n=1 FV1=本金+1期利息=PV0+PV0×i×1=PV0×（1+i×1）

n=2 FV2=本金+2期利息合計=PV0+PV0×i×2=PV0×（1+i×2）

同理

n=n FVn=本金+n期利息合計=PV0+PV0×i×n=PV0×（1+i×n）

即：FVn=PV0×（1+i×n）

從公式得出，單利終值的大小與本金、利率、計算期數(shù)是成正比例。即本金、利率、計算期數(shù)越大，終值越大；反之，越小。

上述單利終值的推導得出時間價值是由四個因素共同組成，如果已知其中任意三個因素都可以通過移項、合并求出唯一的一個未知數(shù)。

2.單利現(xiàn)值：PV0= FVn÷（1+i×n）

從公式得出，單利現(xiàn)值的大小與終值成正比例，與利率、計算期數(shù)是成反比例。即終值越大，利率、計算期數(shù)越小，現(xiàn)值越大；反之，越小。

3.利率：i=（FVn÷PV0—1）÷n

4.計算期數(shù)：n=（FVn÷PV0—1）÷i

（二）復利的相關(guān)計算

復利（Compound Interest）方式：本能生利，利息在下期則轉(zhuǎn)列為本金與原來的本金

一起計息。顧名思義復利也稱為利滾利。因此，復利前提下隨著計息的期數(shù)越長，其每期計息的基數(shù)將逐期遞增，計息的基數(shù)是以每個上期的終值（本利和）為基數(shù)。

1.復利終值。

n=1 FV1=本金+1期利息=PV0+PV0×i×1=PV0×（1+i×1）

n=2 FV2=本金+2期利息合計=PV0+PV0×i×1+FV1×i×1

=FV1+FV1×i×1=FV1×（1+i×1）=PV0×（1+i×1）（1+i×1） =PV0×（1+i×）2

同理

n=n FVn=本金+n期利息合計=PV0×（1+i）n

從公式得出，復利終值的大小與本金、利率、計算期數(shù)是成正比例。即本金、利率、計算期數(shù)越大，終值越大；反之，越小。

上述復利終值的推導得出時間價值是由四個因素共同組成，如果已知其中任意三個因素都可以通過移項、合并求出唯一的一個未知數(shù)。

2.復利現(xiàn)值：PV0=FVn÷（1+i）n

從公式得出，復利現(xiàn)值的大小與終值成正比例，與利率、計算期數(shù)是成反比例。即終值越大，利率、計算期數(shù)越小，現(xiàn)值越大；反之，越小。

其中（1+i）n和1÷（1+i）n分別稱為復利終值系數(shù)（Future Value Interest Factor）和復利現(xiàn)值系數(shù)（Present Value Interest Factor）。其簡略表示形式分別為FVIF i，n和PVIF i，n。相關(guān)數(shù)據(jù)可以通過查表得出。

以上兩個公式，可分別改寫為：

FVn=PV0×FVIF i，n

PV0= FVn×PVIF i，n

理論上利率i和計算期數(shù)n同樣可以利用此法，但是由于需要涉及到對數(shù)和指數(shù)計算。故一般是采用插值法進行計算。

3.利率：在FV n、PV0和n已知情況下，推算期數(shù)i的基本步驟：

（1）計算出FVIFi，n=FVn÷PV0的具體數(shù)據(jù)。

（2）根據(jù)FVIFi，n查復利終值系數(shù)表。沿著已知的n所在行橫向查找，如能找到恰好等于FVIFi，n的系數(shù)值，其對應的i值即為所求的利率。

（3）如找不到恰好為FVIFi，n的系數(shù)值，則要查找最接近FVIFi，n值的左右臨界系數(shù)。

FVIFi，nl、FVIFi，n2以及對應的臨界期數(shù)i1，i2，然后應用插值法求i。計算公式如下：

4.計算期數(shù)：在FVn、PV0和n已知情況下，推算期數(shù)i的基本步驟：

（1）計算出FVIFi，n= FVn÷PV0的具體數(shù)據(jù)。

（2）根據(jù)FVIFi，n查復利終值系數(shù)表。沿著已知的i所在列縱向查找，如能找到恰好等于FVIFi，n的系數(shù)值，其對應的n值即為所求的期數(shù)值。

（3）如找不到恰好為FVIFi，n的系數(shù)值，則要查找最接近FVIFi，n值的左右臨界系數(shù)。

FVIFi，nl、FVIFi，n2以及對應的臨界期數(shù)n1，n2，然后應用插值法求n。

二、連續(xù)性收、付款項計算公式的推導

這里的連續(xù)性收付款項，主要是以年金（Annuity）為例。年金是指一定期間內(nèi)每期相等金額的收付款項。

年金必須同時具備以下四個特點：

1.連續(xù)收付款項，至少連續(xù)發(fā)生兩次及以上。

2.相等的時間間隔，發(fā)生連續(xù)收付款項。

3.相等的金額，發(fā)生連續(xù)收付款項。

4.以復利方式計息。

年金主要分為：普通年金（Ordinary Annuity）、先付年金（ Annuity Due）、遞延年金（Deferred Annuity）、永續(xù)年金（Perpetual Annuity）四種類型。

（一）普通年金的相關(guān)計算

如下圖：

1.普通年金終值：是指每個年金按復利計算終值后的合計。

同樣設FVn為終值，即第n年末的價值；PV0為現(xiàn)值，即0年（第1年初）的價值，A為年金，i為利率，n為計算期數(shù)。

FVn=A（1+i）0+A（1+i）1+A（1+i）2-----A（1+i）（n-1）

提出公因子A，剩余（1+i）0+（1+i）1+（1+i）2-----（1+i）（n-1）是公比為（1+i）的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列求和公式Sn=a1（1—q）n÷（1—q）得：

（1+i）0[1—（1+i）n]÷[1—（1+i）]=[（1+i）n—1]÷i

所以：FVn=A[（1+i）n—1]÷i=A×FVIFAi，n

2.普通年金現(xiàn)值：是指每個年金按復利計算現(xiàn)值后的合計。

PV0=A（1+i）-1+A（1+i）-2+A（1+i）-3-----A（1+i）-n

提出公因子A，剩余（1+i）-1+（1+i）-2+（1+i）-3-----（1+i）-n是公比為（1+i）-1的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列求和公式Sn=a1（1—q）n÷（1—q）得：

（1+i）-1[1—（1+i）-n]÷[1—（1+i）-1]=[1—（1+i）-n]÷i

所以：PV0=A[1—（1+i）-n]÷i=A×PVIFAi，n

3.利率、計算期數(shù)應用插值法求得，同上。

（二）先付年金的相關(guān)計算

如下圖：

1.先付年金終值：是指每個年金按復利計算終值后的合計。

FVn=A（1+i）1+A（1+i）2+A（1+i）3-----A（1+i）n

提出公因子A，剩余（1+i）1+（1+i）2+（1+i）3-----（1+i）n是公比為（1+i）的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列求和公式Sn=a1（1—q）n÷（1—q）得：

（1+i）1[1—（1+i）n]÷[1—（1+i）]=（1+i）[（1+i）n—1]÷i

所以：FVn=A（1+i）[（1+i）n—1]÷i=A×（1+i）×FVIFAi，n

2.先付年金現(xiàn)值：是指每個年金按復利計算現(xiàn)值后的合計。

PV0=A（1+i）0+A（1+i）-1+A（1+i）-2-----A（1+i）-（n-1）

提出公因子A，剩余（1+i）0+（1+i）-1+（1+i）-2-----（1+i）-（n-1）是公比為（1+i）-1的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列求和公式Sn=a1（1—q）n÷（1—q）得：

[1—（1+i）-n]÷[1—（1+i）-1]=（1+i）[1—（1+i）-n]÷i

所以：PV0=A（1+i）[1—（1+i）-n]÷i=A×（1+i）×PVIFAi，n

3.利率、計算期數(shù)應用插值法求得，同上。

其余兩種年金的計算類似，不再重復敘述。

三、計息期短于一年的相關(guān)計算

以上有關(guān)資金時間價值的計算，主要闡述一次性收付款項和系列收付款項現(xiàn)值轉(zhuǎn)換為終值的計算方法，這種計算的前提是計息期為一年，而且計息期數(shù)為已經(jīng)給定了的。但是，在經(jīng)濟生活中，往往有計算期短于一年，或者需要根據(jù)已知條件確定計息期數(shù)的情況。

計息期短于一年時，計息期利率和計息期數(shù)的換算公式如下：

r=i÷m

t=n×m

r為期利率，i為年利率；m為每年的計息期數(shù)；n為年數(shù)，t為換算后的計息期數(shù)。

換算后，單利利終值和現(xiàn)值的計算可按下列公式進行：

FVt=PV0×（1+r×t）=PV0×[1+（i÷m）×（n×m）]=PV0×（1+i×n）

PV0=FVt÷（1+r×t）=FVt÷[1+（i÷m）×（n×m）]=FVn÷（1+i×n）

換算后，復利利終值和現(xiàn)值的計算可按下列公式進行：

通過上述公式轉(zhuǎn)換可見：計息期短于一年不影響單利終值和現(xiàn)值的計算結(jié)果。只是影響復利，在一年期計息的時間越短，一年內(nèi)計息的次數(shù)越多，利滾利的時間價值就越大，從而終值相比一年計息一次的終值大，現(xiàn)值則比一年計息一次小。

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（作者單位：川北醫(yī)學院管理學院 四川南充 637007；作者簡介：李偉，講師，碩士研究生，從事經(jīng)濟及管理研究）

（責編：若佳）