王莉敏

（江西省信豐中學(xué)）

均值不等式作為一種解題工具，它在許多問題的解決中應(yīng)用得較為廣泛，而且表現(xiàn)出獨(dú)特的功能.然而，在使用均值不等式解決問題時(shí)，通常需要配合一定的變形與轉(zhuǎn)化技巧，既有難度又不失靈活性.現(xiàn)舉例說明如下：

一、湊項(xiàng)

例1.若0＜x＜1，求函數(shù)y=x4（1-x2）的最大值.

二、配項(xiàng)

證明：要證原不等式成立，

三、拆項(xiàng)

例3.已知a1，a2，…，an∈R+且a1·a2…an=1，求證：（2+a1）（2+a2）…（2+an）≥3n.

當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an=1 時(shí)等號(hào)成立.所以原命題得證.

四、串求

時(shí)

五、換元

例5.已知a，b，c 為△ABC 三邊的長，求證：abc≥（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）.

證明：設(shè)m=b+c-a，n=c+a-b，p=a+b-c，

即abc≥（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）.

六、待定系數(shù)

例6.已知0＜x＜1，求y=x-x3的最大值.

解：因?yàn)?＜x＜1，所以1-x=0，又因?yàn)閥=x-x3=x（1-x）（1+x）