張濟民，周俊華，王開文，陶建蘭

（1.同濟大學鐵道與城市軌道交通研究院，上海201804；2.西南交通大學牽引動力國家重點實驗室，四川成都610031；3.同濟大學經(jīng)濟與管理學院，上海200092）

式中：w（a，b）為小波變換系數(shù)；〈f（t），Ψa，b（t）〉代表f（t）和Ψa，b（t）的內(nèi)積，a，b分別為尺度因子和平移因子；Ψ＊為母小波函數(shù)的復共軛.本文應用著名的Morlet小波作為母小波函數(shù)，Morlet小波是高斯包絡下的復指數(shù)函數(shù)，其虛部是實部的Hilbert變換，解析表達式如下：

基于Morlet小波變換的振動特性參數(shù)識別

張濟民1，周俊華1，王開文2，陶建蘭3

（1.同濟大學鐵道與城市軌道交通研究院，上海201804；2.西南交通大學牽引動力國家重點實驗室，四川成都610031；3.同濟大學經(jīng)濟與管理學院，上海200092）

傳統(tǒng)的振動系統(tǒng)特性參數(shù)識別方法對于非線性、非平穩(wěn)信號的處理能力差，尤其對于阻尼比的識別精度較低.將Morlet小波變換和隨機減量技術(shù)相結(jié)合識別振動系統(tǒng)的特性參數(shù)，首先利用隨機減量技術(shù)提取振動的自由衰減響應信號，進而由Morlet小波變換對信號進行連續(xù)的小波變換處理得到小波能量譜，結(jié)合參數(shù)識別的基本理論及對時間-幅值坐標面曲線的半對數(shù)擬合結(jié)果得到振動系統(tǒng)的頻率及阻尼比，數(shù)值仿真結(jié)果表明，提出的方法能有效識別系統(tǒng)的固有頻率和阻尼比.將該方法應用于罐車模型流固耦合沖擊試驗研究，較好地識別出充液工況下振動系統(tǒng)的固有頻率和阻尼比.

Morlet小波變換；隨機減量技術(shù)（RDT）；振動特性參數(shù)；流固耦合沖擊試驗；阻尼比

在振動分析中，系統(tǒng)的振動特性參數(shù)包括固有頻率及阻尼比的準確識別是一項十分重要的任務.由于隨機減量技術(shù)實現(xiàn)簡單、高效靈活，同時在實際工況下可以實現(xiàn)數(shù)據(jù)實時分析，現(xiàn)在已經(jīng)成為一項提取結(jié)構(gòu)自由衰減信號的有效方法，并且在振動模態(tài)分析、結(jié)構(gòu)損傷檢測等領(lǐng)域中得到廣泛的應用［1］.而小波變換（wavelet transformation，WT）以其自適應的時頻域分辨率變化的特征成為研究非線性和非平穩(wěn)數(shù)據(jù)的重要工具，其克服了傳統(tǒng)傅里葉變換無法在時域局部化的缺陷，改變了短時傅里葉變換的固定時頻分辨率的狀況，通過小波函數(shù)與信號的匹配機制揭示信號的瞬時特征［2］.近年來，隨著小波理論的日益成熟，針對小波變換用于參數(shù)識別的研究前人已經(jīng)做了一些重要的工作［3-5］，取得了較大進展.

鑒于考慮流固耦合振動的頻率及阻尼比參數(shù)識別的研究較少，本文基于隨機減量技術(shù)（random decrement technique，RDT）和Morlet小波變換相結(jié)合的這種實用的參數(shù)時頻域識別方法將其應用到罐車模型流固耦合試驗研究中.首先利用隨機減量技術(shù)對實測的加速度數(shù)據(jù)處理提取出自由衰減響應，進而由以Morlet小波為母小波函數(shù)的連續(xù)小波變換處理得到三維小波能量譜，結(jié)合參數(shù)識別的基本理論及對時間 幅值坐標面曲線的半對數(shù)擬合得到固有頻率和阻尼比.

1 隨機減量技術(shù)

隨機減量技術(shù)是一種從結(jié)構(gòu)的隨機響應信號中提取該結(jié)構(gòu)自由衰減信號的處理方法，其基本思想為指定某種條件，將隨機響應信號中確定性的和隨機的兩部分實現(xiàn)分離，然后利用統(tǒng)計平均將隨機的部分排除掉，過濾出確定性的自由衰減信號.

對線性系統(tǒng)來說，任意激勵下的受迫振動響應方程可表示為

式中：y（t）為系統(tǒng)振動位移，t為時間；D（t）為初始位移為1且初始速度為零的系統(tǒng)自由響應；V（t）為初始位移為零且初始速度為1下的系統(tǒng)自由響應；y（0）和y·（0）分別為系統(tǒng)振動的初始位移和初始速度；h（t）為系統(tǒng)的單位脈沖響應函數(shù)；f（t）為外部激勵；τ為任一時刻.

選取一個適當?shù)某?shù)去截取該系統(tǒng)的振動響應信號y（t），可得到一系列不同的交點時刻ti（i＝1，2，…，N），對于自ti時刻開始的響應y（t-ti）可表示為

將y（t-ti）的一系列時間ti起始點移至坐標原點，可獲得相應的一系列時移后的函數(shù)xi（i＝1，2，…，N），取xi（t）的統(tǒng)計平均，得

式中：A為初位移；E［f（t）］為外部激勵的均值.

f（t）若是平穩(wěn)的隨機激勵且均值為零，則系統(tǒng)振動響應y（t），y·（t）同樣是均值為零的平穩(wěn)隨機過程，即有E［f（t）］＝0，E［y·（ti）］＝0，則

式中：x（t）為初位移為A、初速度為零的自由振動響應.

2 Morlet小波變換

小波變換的基本思想是先選擇一個滿足條件的母小波，對其進行平移和伸縮，得到一組小波基，再利用這組小波基去表示和逼近信號，從而可以對信號進行時頻局部化分析.小波變換的本質(zhì)就是將信號用一系列有限基函數(shù)進行表示，展現(xiàn)采用正交基的傳統(tǒng)傅里葉分析所不能表示的信號瞬態(tài)特性.對于任意信號f（t）∈L2（R），其連續(xù)小波變換（continuous wavelet transform，CWT）可表示為

式中：w（a，b）為小波變換系數(shù)；〈f（t），Ψa，b（t）〉代表f（t）和Ψa，b（t）的內(nèi)積，a，b分別為尺度因子和平移因子；Ψ＊為母小波函數(shù)的復共軛.本文應用著名的Morlet小波作為母小波函數(shù)，Morlet小波是高斯包絡下的復指數(shù)函數(shù)，其虛部是實部的Hilbert變換，解析表達式如下：

式中：ω0為小波的中心頻率.其傅里葉變換為

在頻域中，信號的連續(xù)小波變換可以通過變換得到

式中：Y（ω）和φ＊（aω）ejωb分別是信號f（t）和母小波函數(shù)

的傅里葉變換.

上述式子可以表述為離散形式

式中：fn是離散頻率.

3 阻尼比識別

3.1 阻尼比識別原理

文獻［6］基于改進Morlet小波變換的模態(tài)識別方法識別了密集模態(tài)取得良好效果，并通過三自由度的仿真算例表明基于Morlet小波變換能以較高精度識別系統(tǒng)的阻尼比等模態(tài)參數(shù)；文獻［7］提出自然激勵法與復小波變換相結(jié)合的模態(tài)參數(shù)識別方法；文獻［2］基于Gabor小波函數(shù)的解析小波變換通過小波函數(shù)與復值信號的匹配機制揭示信號的幅頻和相頻信息以實現(xiàn)結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼參數(shù)的識別；文獻［8］同時采用了Hilbert變換和Morlet小波變換對自由振動下的動態(tài)響應信號進行包絡的提取實現(xiàn)了金屬橡膠干摩擦系統(tǒng)的阻尼識別.其他文獻［9-12］有類似基于參數(shù)化小波變換的阻尼識別，證明了小波變換對阻尼比的辨識作用.

對于單自由度或者多自由度的線性系統(tǒng)來說，其動力學模型可以表示為

式中：M，C，K分別為多自由度系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，對于單自由度系統(tǒng)，M，C，K分中只有1個元素；F為激勵變量；Y為系統(tǒng)響應.

自由系統(tǒng)的單程黏性阻尼的脈沖響應是

式中：ωn為系統(tǒng)的無阻尼固有圓頻率；ωd為有阻尼固有圓頻率，ωd＝ωn，ξ為阻尼比；φ0為初始角.函數(shù)A（t）＝Y(jié)0e-ξωnt為緩慢變化且脈沖響應適用于選定的小波變換.

式中：φ（t）為傅里葉變換.上述式子的模表示為

當a確定，例如a＝ai（i＝1，2，…，M）（ai為常數(shù)）.從上述式子可以推出

對等式取對數(shù)，有

因此，系統(tǒng)的阻尼比ξ可以從連續(xù)小波變換時間-頻率坐標面曲線的斜率擬合得到，ai繪制在半對數(shù)刻度中.

單自由度的阻尼比小波變換估計方法可擴展到多自由度系統(tǒng)中，多自由度系統(tǒng)的小波分解響應是

式中：ωnj，ωdj和ξj分別為系統(tǒng)每階的無阻尼固有圓頻率、有阻尼固有圓頻率和阻尼比，j為系統(tǒng)的振動階次數(shù)

3.2 數(shù)值仿真

構(gòu)造一個二自由度振動系統(tǒng)的自由振動信號

式中：A1＝1.0，A2＝0.8，ξ1＝0.010，ξ2＝0.005， ω1＝4π，ω2＝8π，θi＝0，ωdi＝ωi采樣頻率為100Hz，采樣時間為30s.

圖1為所構(gòu)造的二自由度振動系統(tǒng)的自由振動信號，對其進行連續(xù)小波變換，得到三維的小波能量譜，如圖2所示.對處理得到的固有頻率下的時間幅值坐標面對曲線進行半對數(shù)刻度化及曲線線性擬合，得到兩固有頻率下的阻尼比，列于表1.

圖1 二自由度振動系統(tǒng)的自由振動信號Fig.1 Free vibration signal of vibration system with two degrees of freedom

圖2 自由振動信號的連續(xù)小波變換Fig.2 Continuous wavelet transform of free vibratioan signals

表1 頻率與阻尼比識別結(jié)果Tab.1 The identification results of frequency and damping ratio

由表1可見，識別的兩階頻率及阻尼比的誤差都非常小，能夠以非常高的精度識別出來.

4 基于加速度實測數(shù)據(jù)的罐車模型流固耦合振動特性參數(shù)識別

4.1 試驗概況

選擇國家自然科學基金項目中的罐車模型沖擊試驗所測得的縱向加速度數(shù)據(jù)進行處理，識別流固耦合振動下系統(tǒng)的振動特性參數(shù).

試驗車輛原型車為GJ70型液堿罐車，根據(jù)相似比例原理，對原型車的結(jié)構(gòu)進行了部分簡化.在保留主要部件的基礎(chǔ)上（如底架裝配、罐體裝配和轉(zhuǎn)向架等）簡化了對研究分析無影響或影響較少的部件后得到試驗所用1∶5比例罐車模型，如圖3所示.加速度信號由安裝在模型罐體、構(gòu)架及車架上的加速度計測得.

圖3 罐車模型縱向沖擊試驗Fig.3 Longitudinal impact test of tanker model

4.2 模型的頻率及阻尼比識別

根據(jù)模型系統(tǒng)的特性和激勵形式，選取罐車模型充液工況下車架實測數(shù)據(jù)作為研究對象，對該測點在縱向沖擊下的縱向加速度響應信號進行處理和分析.圖4為該測點的加速度響應時程曲線.利用RDT對該加速度信號進行處理，得到自由衰減響應信號，如圖5所示.

圖4 加速度信號的時間歷程Fig.4 Time history of acceleration signals

對由RDT處理后得到的自由衰減信號（以下簡稱RD信號）進行連續(xù)小波變換，如圖6所示，1～4 001的a值對應0.2～812.5Hz的頻率區(qū)間，a值大小與頻率大小成反比，其關(guān)系式為fj＝f0（fs／fw）（1／aj），其中，fs和fw分別為信號的樣本頻率及小波的樣本頻率，f0為小波的中心頻率.

RD信號的小波變換分析函數(shù)在固有頻率fj時達到峰值，對圖像進行處理可以得到系統(tǒng)的固有頻率，列在表1中.取不同頻率下的時間 幅值橫截面進行分解，對該坐標面下的曲線進行半對數(shù)化處理及線性擬合，如圖7所示.從擬合曲線可以看出，曲線斜率為-0.64，即在頻率23.9Hz時的阻尼比為0.64%.不同固有頻率下的阻尼比列于表2.

圖5 利用隨機減量技術(shù)得到的自由衰減信號Fig.5 The free decay signals after using the random decrement technique

圖6 小波變換幅值Fig.6 The amplitude based on wavelet transform

5 結(jié)論

提出將隨機減量技術(shù)和Morlet小波變換相結(jié)合用于罐車流固耦合振動系統(tǒng)的參數(shù)識別.在采用隨機減量技術(shù)從振動信號中提取自由衰減信號的基礎(chǔ)上，由Morlet小波函數(shù)進行連續(xù)的小波變換處理得到振動系統(tǒng)的特性參數(shù).將該方法應用于處理罐車流固耦合沖擊試驗車架的縱向加速度實測數(shù)據(jù)，較好地辨識出其固有頻率及阻尼比，與使用傳統(tǒng)傅里葉變換方法識別出的參數(shù)也吻合，驗證了該方法的可行性和有效性.該方法也可為一些振動系統(tǒng)參數(shù)識別的技術(shù)應用型工作提供參考及借鑒.

圖7 RD信號在23.9Hz下的情形Fig.7 The result of RD signals at 23.9Hz

表2 基于小波變換后的頻率及阻尼比Tab.2 The frequency and damping ratio after wavelet transform

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Identification of Vibration Characteristics Parameters Based on Morlet Wavelet Transformation

ZHANG Jimin1，ZHOU Junhua1，WANG Kaiwen2，TAO Jianlan3
（1.Institute of Rail Transit，Tongji University，Shanghai 201804，China；2.Traction Power State Key Lab，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China；3.School of Economics and Management，Tongji University，Shanghai 200092，China）

Traditional identification methods of vibration system characteristics are not capable to process nonlinear and non-stationary signal，especially the low precision for identifying the damping ratio.An approach to identify the characteristics parameters of vibration system combining on random decrement technique and Morlet wavelet transform is proposed.Firstly，the free-decay vibration response signal was extracted by random decrement technique（RDT），and then signal was processed to give a continuous wavelet transform by the Morlet wavelet transform to get wavelet energy spectrum.Combined the basic theory of parameter identification and semi-logarithmic and curve fitting result in time-frequency coordinate plane，frequency and damping ratio of the vibrating system was got.The numerical simulation result that the proposed method can accurately estimate system natural frequencies and damping ratios.The method was applied for experimental study of tanker liquidsolid coupling model，the natural frequency and damping ratio of vibration system structure in loaded water conditions were well identified.

Morlet wavelet transform；random decrement technique（RDT）；vibration characteristics parameters；impact experimental of tanker liquid-solid coupling model；dampingratio

TH113；U272.4

A

0253-374X（2015）12-1860-05

10.11908／j.issn.0253-374x.2015.12.014

2014 11 11

國家自然科學基金（61174214）；“十二五”國家科技支撐計劃（2012YQ15021307）

張濟民（1969—），男，教授，工學博士，主要研究方向為車輛系統(tǒng)動力學及主動控制.E-mail：zjm397a@163.com

周俊華（1993—），男，工學碩士，主要研究方向為車輛系統(tǒng)動力學.E-mail：zjh6162@163.com