相 陽，羅永峰，郭小農(nóng)，沈祖炎

（同濟大學土木工程學院，上海200092）

基于整體剛度參數(shù)的空間結(jié)構(gòu)模態(tài)推覆分析

相 陽，羅永峰，郭小農(nóng)，沈祖炎

（同濟大學土木工程學院，上海200092）

由于空間結(jié)構(gòu)具有三維受力特性，用靜力推覆方法計算其地震反應存在如下問題，結(jié)構(gòu)代表性節(jié)點荷載 位移關系難以選擇、結(jié)構(gòu)荷載 節(jié)點位移 支座反力之間的對應關系不夠直觀、結(jié)構(gòu)能力曲線難以確定.利用振型形態(tài)確定荷載模式，對空間結(jié)構(gòu)進行靜力彈塑性分析；引入結(jié)構(gòu)整體剛度參數(shù)，得出不依賴于支座反力變量的各主要模態(tài)的等效單自由度（ESDOF）體系力 位移關系；結(jié)合模態(tài)周期值，確定ESDOF體系等效質(zhì)量，并將該體系應用于模態(tài)推覆分析.數(shù)值算例分析結(jié)果表明，基于整體剛度參數(shù)的模態(tài)推覆分析方法可避免空間結(jié)構(gòu)能力曲線難確定的問題，計算耗時僅為時程分析方法的10%，沿地震輸入方向計算得到的結(jié)構(gòu)節(jié)點位移結(jié)果相對時程分析結(jié)果的平均誤差為28%.

空間結(jié)構(gòu)；整體剛度參數(shù)；模態(tài)推覆分析

空間結(jié)構(gòu)頻率分布密集、振型復雜，強震作用下結(jié)構(gòu)進入彈塑性階段，其地震反應分析面臨諸多問題.隨著基于性能的抗震設計理念逐步普及，工程技術(shù)人員需要簡練的分析手段獲得空間結(jié)構(gòu)在預定強度地震動作用下的反應，并校核結(jié)構(gòu)是否滿足多階段、多目標的性能要求［1］，在此背景下，靜力推覆分析（SPA）方法［2-4］得以被應用于空間結(jié)構(gòu)的地震反應預測.相對于振型疊加反應譜法，SPA法能夠考察結(jié)構(gòu)的彈塑性反應，相對于彈塑性時程分析或增量動力時程分析［5］（IDA），SPA法可節(jié)省大量計算時間.

已有學者應用SPA方法分析了實際空間結(jié)構(gòu)的地震反應.錢稼茹等［6］分別用彈塑性時程分析和SPA方法計算了國家體育場鋼結(jié)構(gòu)在罕遇地震下的性能，計算結(jié)果表明，振型質(zhì)量參與系數(shù)達到70%左右時，模態(tài)組合推覆分析（MPA）結(jié)果與時程分析結(jié)果比較接近；鄭宇淳［7］用能力譜法和MPA法計算北戴河火車站大跨空間桁架的地震反應，證明MPA方法的分析精度可滿足工程需要.還有學者對現(xiàn)有SPA方法進行改進，如Ohsaki等［8］在Nakazawa等［9］研究的基礎上發(fā)展了一種適用于由兩階振型主導的大跨度結(jié)構(gòu)的 MPA方法；楊木旺［10］沿用Pushover方法的思路，初步建立了評估剛性大跨度空間結(jié)構(gòu)抗震性能的Pushdown方法等.

目前，應用于空間結(jié)構(gòu)的SPA方法，基本沿用了多高層結(jié)構(gòu)靜力推覆分析的基本方法與過程，即基于預定荷載模式確定結(jié)構(gòu)某節(jié)點的荷載 位移曲線，結(jié)合變形形狀向量，將整體結(jié)構(gòu)等效為單自由度（ESDOF）體系，進而依據(jù)ESDOF體系的結(jié)構(gòu)參數(shù)計算結(jié)構(gòu)地震反應.但由于空間結(jié)構(gòu)在受力時具有三維共同工作效應，使得采用適于多高層結(jié)構(gòu)的靜力推覆分析方法實施空間結(jié)構(gòu)SPA分析時面臨若干問題，首先，空間結(jié)構(gòu)不同節(jié)點的荷載 位移曲線在同一荷載模式下常表現(xiàn)出迥然相異的剛度特征、屈服點和屈服后性態(tài)，導致結(jié)構(gòu)代表性節(jié)點荷載 位移關系的選定原則難以確定；其次，應用MPA方法，選擇位移最大節(jié)點的荷載 位移曲線作為整體結(jié)構(gòu)受力 變形關系的表征時，所選節(jié)點最大位移方向與所選模態(tài)的整體結(jié)構(gòu)振動方向往往并不一致；再次，空間結(jié)構(gòu)某方向的位移反應不完全由該方向支座反力決定，與該方向正交的支座反力分量對結(jié)構(gòu)的位移反應亦有重要貢獻.鑒于此，目前對于空間結(jié)構(gòu)的SPA分析主要應用于結(jié)構(gòu)位移形態(tài)明確、控制點位移與同方向支座反力相關性明顯的結(jié)構(gòu)之中.出現(xiàn)上述問題的根本原因在于空間結(jié)構(gòu)與多高層建筑結(jié)構(gòu)在傳力方式上存在明顯差異，前者在宏觀上的剛度特性難以僅用某一個節(jié)點的受力變形關系表現(xiàn)，且結(jié)構(gòu)荷載 位移 支座反力之間的對應關系不夠直觀.

本文針對上述問題，借助結(jié)構(gòu)的整體剛度參數(shù)［11］表述結(jié)構(gòu)的剛度特性，在此基礎上建立基于整體剛度的空間結(jié)構(gòu)新ESDOF體系.將此ESDOF體系運用于K6單層球面網(wǎng)殼的MPA分析中，并將分析結(jié)果與彈塑性動力時程分析結(jié)果進行比較.

1 空間結(jié)構(gòu)整體剛度參數(shù)及其等效單自由度體系

本節(jié)先引入結(jié)構(gòu)整體剛度參數(shù)（k＊）的概念，提出基于k＊確定ESDOF體系等效質(zhì)量、自振頻率、屈服強度和屈服后剛度的方法，再在此基礎上提出基于ESDOF體系求解目標位移以及結(jié)構(gòu)地震反應的基本方法.

1.1 k＊及各階模態(tài)ESDOF體系等效剛度

推覆分析中，構(gòu)件隨荷載增加而漸次屈服，結(jié)構(gòu)剛度減小.假設某一荷載步的荷載增量向量為ΔPn（下標n表示第n荷載步），對應的位移增量向量為Δvn，則單位荷載增量向量ΔPun和其引起的位移增量向量Δvun可分別表達為

單位荷載向量所做的功為

Δwun在數(shù)值上等于結(jié)構(gòu)在單位荷載作用下的位移，實質(zhì)上是結(jié)構(gòu)柔度的表征，其倒數(shù)則表征了結(jié)構(gòu)的某種剛度，即

由于構(gòu)件屈服程度的加劇和屈服構(gòu)件數(shù)量的增加，k＊將隨推覆荷載值的增加而減小，k＊的變化過程即為結(jié)構(gòu)整體抗變形能力的變化過程.由k＊的計算公式可見，其數(shù)值不依賴于結(jié)構(gòu)某單一節(jié)點的荷載 位移關系，而是在特定荷載模式下結(jié)構(gòu)所有節(jié)點荷載 位移關系的共同表征.

在模態(tài)推覆分析方法中，依據(jù)結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)對應的節(jié)點位移向量Xj可確定荷載模式Pj.利用Pj對結(jié)構(gòu)實施靜力彈塑性分析，可得到結(jié)構(gòu)對應荷載模式Pj的各荷載增量步的整體剛度參數(shù)kj＊n，由于kj＊n值是結(jié)構(gòu)在第j階模態(tài)荷載模式作用下各節(jié)點荷載 位移關系的共同表征，故kj＊n可作為空間結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)ESDOF體系對應第n荷載步的剛度.

1.2 ESDOF體系質(zhì)量和自振頻率

對于模態(tài)推覆分析方法，整體結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)對應的ESDOF體系的自振頻率應與該階模態(tài)頻率相等.在得到結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)對應的初始整體剛度kj＊（彈性階段）的數(shù)值后，該階模態(tài)ESDOF體系的等效質(zhì)量可由結(jié)構(gòu)剛度、質(zhì)量和圓頻率之間的關系確定，即

式中：m＊j為結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)ESDOF體系的等效質(zhì)量；ωj為結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)圓頻率，亦即結(jié)構(gòu)第j模態(tài)ESDOF體系的自振圓頻率ω＊j.

1.3 ESDOF體系屈服強度和屈服后剛度

結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)質(zhì)點i所受地震作用Fji以及第j階模態(tài)ESDOF體系所受地震作用F＊j可分別表示為

式中：χ為荷載因子，即節(jié)點荷載數(shù)值與振型位移數(shù)值的比值；Xji為第j階模態(tài)節(jié)點i的位移；αj＊為第j階模態(tài)ESDOF體系地震影響系數(shù)；Gj＊為第j階模態(tài)ESDOF體系等效重力；Γj為第j階模態(tài)參與系數(shù).

當χ對應結(jié)構(gòu)屈服點即χ＝χy時，F(xiàn)j＊即為第j階模態(tài)ESDOF體系屈服力Fj＊y.

為確定ESDOF體系的屈服強度fy＊和屈服后剛度αk＊，需要將其荷載 位移曲線簡化為雙折線［12-13］.隨推覆荷載值的增加，結(jié)構(gòu)塑性發(fā)展，剛度持續(xù)下降，結(jié)構(gòu)的屈服后剛度不再是定值，采用等能量原則［14］將ESDOF 體系的荷載 位移曲線轉(zhuǎn)化為雙折線時，荷載 位移曲線的終點位置對屈服強度和屈服后剛度值有影響.合理終點位置對應的結(jié)構(gòu)位移應是結(jié)構(gòu)在地震作用下達到的最大位移，但這一位移數(shù)值無法預先確定［15］.本文通過對各階ESDOF體系實施一次時程分析試算得到各ESDOF體系荷載 位移曲線的終點近似值，再令計算得到的fy＊和αk＊值滿足圖1中陰影面積A1與A2相等的條件，求解得到屈服強度fy＊和屈服后剛度αk＊的數(shù)值，從而完成對各階模態(tài)ESDOF 體系荷載 位移曲線的雙線性簡化.

圖1 采用等能量原則確定ESDOF體系f＊y和αk＊Fig.1 Determination of f＊yandαk＊of ESDOF system by means of the equivalence energy criterion

1.4 目標位移

對第j階模態(tài)的ESDOF體系進行動力時程分析，可獲得該體系最大位移值dj＊max，該位移水平對應結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)的位移反應峰值.若依據(jù)dj＊max值對應的kj＊max值，結(jié)合式（4）求解第j階模態(tài)結(jié)構(gòu)各節(jié)點的位移反應數(shù)值，必須設定結(jié)構(gòu)位移形式，即形狀向量，這顯然無法體現(xiàn)結(jié)構(gòu)屈服后位移形式的改變，將引起誤差.為考慮這一影響，可基于第j階模態(tài)ESDOF 體系的實際荷載 位移曲線，先求得與dj＊max值對應的推覆荷載因子χj＊max，再通過靜力分析得到結(jié)構(gòu)在該推覆荷載下的節(jié)點位移向量vj，即與第j階模態(tài)對應的結(jié)構(gòu)地震位移反應.

依據(jù)模態(tài)推覆分析方法［14-16］，將各模態(tài)地震位移反應峰值對應的節(jié)點位移向量vj按式（8）組合，即得如下結(jié)構(gòu)總位移反應：

式中：vn為組合各主振型后得到的第n節(jié)點位移值；vjn為依據(jù)第j振型計算得到的第n節(jié)點位移值.

2 球面網(wǎng)殼推覆分析算例

為驗證本文基于ESDOF體系進行空間結(jié)構(gòu)模態(tài)推覆分析的適用性，將上述分析過程在ANSYS軟件平臺上采用APDL程序語言進行編程，并對一個K6單層球面網(wǎng)殼進行推覆分析及時程分析，將計算結(jié)果進行比較.

2.1 網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)模型

網(wǎng)殼徑向6環(huán)，跨度36m，矢高9m，各節(jié)點集中質(zhì)量6t，桿件外徑140mm，壁厚3.5mm，結(jié)構(gòu)材料為Q235鋼材，采用雙線性隨動強化材料模型，彈性模量2.06×105MPa，屈服強度215N·mm-2，屈服后彈性模量取初始彈性模量值的0.5%.本算例研究結(jié)構(gòu)在X向地震作用下的反應，彈性階段其X向主振型周期值T，振型參與系數(shù)（Modal PF）及質(zhì)量參與系數(shù)（Mass PF）信息見表1，對應模態(tài)形狀見圖2，所列5階自振模態(tài)的X向Mass PF累積值為84.12%.

表1 結(jié)構(gòu)X向主要自振模態(tài)信息Tab.1 Information of dominate structural modes in the Xdirection

2.2 結(jié)構(gòu)等效單自由度體系

依據(jù)振型確定推覆分析荷載模式并實施靜力非線性分析后可獲得結(jié)構(gòu)每一荷載步的整體剛度參數(shù)kj＊n.由式（7）計算每一荷載步ESDOF體系的等效集中力增量值Fj＊n后，結(jié)合該荷載步對應剛度kj＊n，依據(jù)式（9）即可求得本步位移增量δj＊n，即

圖2 結(jié)構(gòu)X向主要自振模態(tài)Fig.2 Dominate structural modes in the Xdirection

依據(jù)各荷載步的δj＊n和Fj＊n數(shù)值可進一步得到ESDOF 體系荷載 位移曲線.對此荷載 位移曲線進行雙折線化，即得到可直接用于求解結(jié)構(gòu)反應的ESDOF體系力 位移關系.

表2給出了表1所列結(jié)構(gòu)各階模態(tài)對應的ESDOF體系的mj＊、初始剛度k0＊、屈服力fy＊和屈服后剛度αk＊.圖3為結(jié)構(gòu)在各階模態(tài)荷載模式作用下k＊的變化過程以及各階模態(tài)ESDOF體系的荷載 位移曲線，包括實際曲線和雙線性化曲線.

表2 各階模態(tài)ESDOF體系力學參數(shù)Tab.2 Mechanical parameters of ESDOF system for each mode

2.3 結(jié)構(gòu)地震位移反應

時程分析采用1940年美國Imperial Vally地震記錄到的El Centro地震波南北分量，峰值加速度0.357g，持續(xù)時間53.7s，分析時對其進行了調(diào)幅，調(diào)幅后峰值加速度為0.900g.

2.3.1 ESDOF體系地震反應

時程分析得到的各階模態(tài)ESDOF體系最大位移與屈服位移比值（dj＊max／dj＊y）以及最大位移對應的推覆荷載因子（χj＊max）見表3.

由表3可見，結(jié)構(gòu)第14，94，96階模態(tài)ESDOF體系最大位移均小于屈服位移，此3階模態(tài)對應ESDOF體系在地震作用下處于彈性階段；第3階模態(tài)ESDOF體系最大位移比屈服位移稍大，其塑性發(fā)展程度較??；第1階模態(tài)最大位移大幅超出屈服位移，結(jié)構(gòu)構(gòu)件屈服主要由第1階模態(tài)地震反應引起.

2.3.2 結(jié)構(gòu)整體位移反應

依據(jù)χj＊max，由靜力分析可得與j階模態(tài)對應的結(jié)構(gòu)位移反應vj，組合vj即得整體結(jié)構(gòu)MPA位移反應δMPA，max；對原結(jié)構(gòu)模型實施動力彈塑性時程分析，并將跨中節(jié)點X向位移反應達到最大值時刻t0所對應的結(jié)構(gòu)整體位移反應δTHA，max列出，作為與δMPA，max對比的依據(jù).按照結(jié)構(gòu)節(jié)點編號（如圖4所示），將位移數(shù)值繪于圖5中，可直觀對比.其中，Z向位移反應存在負值，為便于比較，圖5中所列Z向位移為2種分析方法所得節(jié)點位移絕對值.由于節(jié)點Y方向位移反應數(shù)值較小，不單列出.在內(nèi)存為4 G的計算機上，本文方法分析耗時約為動力彈塑性時程分析耗時的10%.

圖3 結(jié)構(gòu)各主要模態(tài)ESDOF體系剛度退化曲線及荷載 位移曲線Fig.3Stiffness decrease curve and load displacement curve of the ESDOF system for each dominant mode

表3 各階模態(tài)ESDOF體系地震反應及對應推覆荷載因子Tab.3 Seismic response and the corresponding pushover load factor of each dominant ESDOF system

圖4 結(jié)構(gòu)節(jié)點編號Fig.4 Node numbers of the structure

由圖5可見，采用基于整體剛度參數(shù)的模態(tài)推覆分析得到的結(jié)構(gòu)位移反應與時程分析結(jié)果較為接近.用2種方法計算得到的結(jié)構(gòu)X向及Z向地震位移形態(tài)近似，且大部分節(jié)點位移數(shù)值差異在20%以內(nèi).其中，編號7～30的節(jié)點X向位移反應差異絕對值較大，Z向位移反應也存在類似現(xiàn)象，這一差異主要由2個因素引起：一是MPA未考慮所有模態(tài)，存在振型“截斷”誤差；二是時程分析得到的t0時刻結(jié)構(gòu)反應中各振型貢獻比例與MPA各振型反應組合式（8）給出的貢獻比例不同.總體看，2種分析方法所得結(jié)構(gòu)各節(jié)點X向位移反應相對差異平均值為28.09%，Z向位移反應相對差異平均值為38.41%，說明基于整體剛度參數(shù)的MPA方法所得結(jié)構(gòu)位移反應結(jié)果具備一定的精度，可用于工程實際.

圖5 結(jié)構(gòu)X向及Z向地震反應對比Fig.5 Comparison of structural seismic response in both the Xand the Zdirection

2.3.3 屈服桿件數(shù)量及分布

采用2種分析方法計算得到結(jié)構(gòu)進入塑性的桿件數(shù)量接近，分別為144根（彈塑性時程分析）和116根（基于k＊的模態(tài)推覆分析），二者分布位置也基本對應，限于篇幅，不列出圖示.

3 結(jié)論

運用結(jié)構(gòu)整體剛度參數(shù)建立針對空間結(jié)構(gòu)的新的ESDOF體系，對結(jié)構(gòu)進行模態(tài)推覆分析，具備如下優(yōu)勢：

（1）避免了空間結(jié)構(gòu)推覆分析中結(jié)構(gòu)代表性節(jié)點不確定、結(jié)構(gòu)荷載 位移 支座反力之間對應關系不直觀等問題，改善了運用靜力推覆分析方法進行空間結(jié)構(gòu)地震反應分析的適用性及可操作性.

（2）該方法計算結(jié)果與動力彈塑性時程分析結(jié)果相比，準確性較好.

（3）該方法相對于動力彈塑性時程分析，計算耗時明顯縮短，分析效率高.

運用本文方法求得的空間結(jié)構(gòu)地震反應可作為校核結(jié)構(gòu)是否滿足一定性能水準要求的依據(jù).若對推覆荷載模式及振型反應組合方式進行改進，可使本文方法的精度及適用性進一步提高.

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Modal Pushover Analysis of Spatial Structures Based on the Overall Structural Stiffness Parameter

XIANG Yang，LUO Yongfeng，GUO Xiaonong，SHEN Zuyan
（College of Civil Engineering，Tongji University，Shanghai 200092，China）

Due to the three-dimensional force transmission mechanism，the application of pushover method for seismic response analysis of spatial structures is limited by the following issues：firstly，the representative nodal loaddisplacement relationship can hardly be specified；secondly，there are no direct interrelationship among structural load，nodal displacement，and support reaction for spatial structures；thirdly，it is difficult to compute the capacity curves of spatial structures.In this paper，static elasto-plastic analysis is carried out by using the load-patterns generated from the structural vibration modes.Based on the overall stiffness parameter，the load-displacement relationship of the modified equivalent single degree of freedom（ESDOF）system of each dominating mode，independent on support reactions，is obtained accordingly.And the equivalent mass of the modified ESDOF system is calculated by utilization of the mode period.Then the newly established ESDOF systems of the dominate modes are adopted in a modified modal pushover analysis（MPA）procedure.Numerical example shows that the modified MPA method，based on the overall structural stiffness parameter，overcomes the problem existing in the establishment of the structural capacity curve for the spatial structures.The computing consumption of the method given in this paper is 10%of the elasto-plastic time history analysis（THA）method，meanwhile，in the seismic input direction，the nodal displacement data generated by the proposed method shows a 28%deviation compared with the THA method.

spatial structure；overall stiffness parameter；modal pushover analysis

TU973＋.31

A

0253-374X（2015）12-1771-06

10.11908／j.issn.0253-374x.2015.12.001

2014 11 11

國家自然科學基金（51378379）

相 陽（1988—），男，博士生，主要研究方向為大跨度空間結(jié)構(gòu)地震反應分析方法.E-mail：001_xiangyang@#edu.cn

羅永峰（1957—），男，教授，博士生導師，工學博士.主要研究方向為鋼結(jié)構(gòu)分析、設計及施工.E-mail：yfluo93@#edu.cn