費賡柢， 李岳陽， 孫 俊

(江南大學 輕工過程先進控制教育部重點實驗室，江蘇 無錫214122)

邊緣檢測算法通過檢測包含不同區(qū)域的邊緣來解決圖像分割問題。邊緣由邊緣像素構成，而邊緣像素是圖像中灰度突變的那些像素［1］。Robert 算子、Prewitt 算子、Sobel 算子都是基于梯度的算子［2-3］，它們使用不同的模板來求圖像中各像素點處一階偏導數(shù)的近似值。這些基于梯度的邊緣檢測算法易于實現(xiàn)，但它們不僅對邊緣信息敏感，對噪聲同樣也很敏感［4］。為了減少噪聲對圖像的影響，通常在求導之前先對圖像進行濾波。常用的濾波器主要是高斯函數(shù)的一階和二階導數(shù)。J.Canny 采用高斯函數(shù)的一階導數(shù)，推導出了最佳邊緣檢測算子——Canny 算子［5］。而計算機視覺的創(chuàng)始人Marr D［6］提出采用Laplacian 算子求高斯函數(shù)的二階導數(shù)得到Laplacian of Gaussian(LOG)濾波算子。在傳統(tǒng)算法的基礎上，學者提出一些改進的算法［7-9］。這些經典的算法能在一定程度上有效地提取出圖像中的邊緣，但在算法中需確定一些參數(shù)的值，而這些參數(shù)的最優(yōu)值的確定，是一個比較困難的問題。此外，當圖像中的噪聲變大時，上述算法的邊緣檢測能力急劇下降。而數(shù)字圖像在其獲取、傳輸過程中因種種原因可能導致在正常的圖像數(shù)據(jù)中混入噪聲信號［10］。因此許多邊緣檢測器在檢測前，需先進行濾波操作，這樣就增大了系統(tǒng)的復雜性。

在噪聲圖像中，細節(jié)或邊緣與噪聲之間的區(qū)別并不明顯。這種信息的不確定性和不完整性給數(shù)字圖像處理帶來了困難，而模糊理論正好能適應這些不確定性。人工神經網(wǎng)絡方法能夠根據(jù)學習樣本找出輸入與輸出數(shù)據(jù)之間的內在聯(lián)系，特別適合圖像處理中許多非線性問題。近年來，神經模糊(NF)理論綜合了模糊理論模擬圖像處理過程中的不確定性的能力和人工神經網(wǎng)絡強大的學習能力，逐漸應用在圖像處理過程中［11-15］。其中M.Emin，Yüksel［13］提出了一個神經模糊系統(tǒng)圖像邊緣檢測算法，該算法的其中一個特點是:在對噪聲圖像進行邊緣檢測前，無需進行噪聲濾波過程。

對于被椒鹽脈沖噪聲污染的灰度圖像，我們提出一個基于QPSO 的圖像邊緣檢測算法。在提出的新算法中，將4 個自適應神經模糊推理系統(tǒng)(ANFIS)子檢測器和一個后處理塊組成一個圖像邊緣檢測器。每個ANFIS 子檢測器都是一個4 輸入單輸出的一階Sugeno 模糊推理系統(tǒng)［16］。在構造ANFIS 時，采用何種方法優(yōu)化確定其內部參數(shù)是設計ANFIS 系統(tǒng)的一個重要環(huán)節(jié)。許多ANFIS 的參數(shù)優(yōu)化是基于梯度(Gradient Descent，GD)的［13-15］，而基于梯度的優(yōu)化方法，其結果依賴于參數(shù)初始化值，要找到全局最優(yōu)化參數(shù)比較困難。孫俊等［17-18］在粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)［19］基礎上，提出了基于量子行為粒子群優(yōu)化(Quantum-behaved Particle Swarm Optimization，QPSO)算法，對標準測試函數(shù)測試結果表明，QPSO算法的全局搜索性能相比PSO 算法有了很大的改進。

文中所提出的邊緣檢測算法分兩步進行，首先每個ANFIS 子檢測器需單獨進行訓練，采用QPSO優(yōu)化系統(tǒng)中的前提參數(shù)，結論參數(shù)由線性最小二乘法(LSE)得到。4 個ANFIS 子檢測器訓練完成后，可以和一個后處理塊一起構成一個邊緣檢測器，對測試圖像進行邊緣檢測。在仿真實驗中，采用Malik 數(shù)據(jù)庫中的二幅圖像，將所提算法與其它4 種算法相比較，測試其邊緣檢測性能。定性和定量評價的結果證明了所提算法與其它算法相比具有更強的邊緣檢測能力。

1 算 法

1.1 邊緣檢測器

圖1 是提出的圖像邊緣檢測器結構圖。該檢測器包含4 個ANFIS 子檢測器和1 個后處理塊。每個ANFIS 子檢測器都是1 個4 輸入單輸出的一階Sugeno 模糊推理系統(tǒng)，其4 個輸入由相應的數(shù)據(jù)提取塊提供。4 個數(shù)據(jù)提取塊分別對應圖2 中水平、垂直、左對角線和右對角線4 個方向上不同的拓撲結構。數(shù)據(jù)提取方法:以當前操作像素為中心，得到一個3 ×3 窗口，依照水平、垂直、左對角線和右對角線4 種不同的拓撲結構得到像素灰度值p1，p2，p3和中值m，令每個ANFIS 的4 個輸入x1，x2，x3，x4分別為

圖1 邊緣檢測器結構Fig.1 Structure of the proposed edge detector

圖2 4 個數(shù)據(jù)提取塊對應的拓撲結構Fig.2 Four pixel neighborhood topologies

1.2 ANFIS 子檢測器

圖1 中4 個ANFIS 子檢測器的內部結構都相同，都是1 個4 輸入單輸出的一階Sugeno 模糊推理系統(tǒng)。對于輸入圖像中的當前操作像素，根據(jù)1.1 節(jié)所述的數(shù)據(jù)提取方法，每個數(shù)據(jù)提取塊為相應的ANFIS 子檢測器提供4 個輸入x1，x2，x3，x4。對于每個輸入，分別定義3 個廣義鐘型隸屬函數(shù)，則每個ANFIS 包含81(即34)條規(guī)則，其模糊規(guī)則集如下:

規(guī)則1:if (x1is M11)and (x2is M21)and (x3is M31)and (x4is M41)，then y1= d11x1+ d12x2+d13x3+d14x4+ d15;

規(guī)則2:if (x1is M11)and (x2is M21)and (x3is M31)and (x4is M42)，then y2= d21x1+ d22x2+d23x3+d24x4+ d25;

規(guī)則3:if (x1is M11)and (x2is M21)and (x3is M31)and (x4is M43)，then y3= d31x1+ d32x2+d33x3+d34x4+ d35;

┆

規(guī)則81:if (x1is M13)and (x2is M23)and (x3is M33)and (x4is M43)，then y81= d81，1x1+d81，2x2+d81，3x3+ d81，4x4+ d81，5

其中Mij表示第i 個輸入的第j 個隸屬函數(shù)，dkl為結論參數(shù)，yk為系統(tǒng)根據(jù)第k 個規(guī)則得到的輸出，i = 1，2，3，4，j = 1，2，3，k = 1，…，81，l = 1，…，5。對于輸入xi，定義的廣義鐘型隸屬函數(shù)為

其中aij，bij，cij為前提參數(shù)。

ANFIS 的輸出Y 等于各規(guī)則輸出yk的加權平均:

式中加權系數(shù)wk表示第k 條規(guī)則的激勵強度，ˉwk為wk的規(guī)一化值。wk的計算公式如下:

1.3 后處理塊

圖1 中，由4 個ANFIS 子檢測器可分別得到4 個輸出，記為YK(K = 1，2，3，4)。這4 個輸出即為后處理塊的輸入。后處理塊按式(5)對這4 個輸入取平均值，記為Yav。再按式(6)將Yav與一個閾值Th 相比較，求得檢測器的最終輸出YF。需要說明的是，文中所有圖像的像素灰度值都定義在區(qū)間［0，1］之間。最終輸出YF的值為0 表示當前操作像素是邊緣像素，顯示為黑色;YF的值為1 表示當前操作像素不是邊緣像素，顯示為白色。

一個像素是否檢測為邊緣由式(6)中的閾值Th 決定。當Th 值接近0 時，檢測為邊緣的像素會變少，也就是說，一些邊緣像素可能會誤檢為非邊緣像素。相反，當Th 值接近1 時，檢測為邊緣的像素會變多，但一些非邊緣像素可能會誤檢為邊緣像素。在后面仿真實驗中，將對Th 值進行分析確定。

1.4 混合學習算法

對于ANFIS 中參數(shù)的優(yōu)化，Jang 在文獻［16］中提出了混合學習算法，即前提參數(shù)通過梯度法進行優(yōu)化，結論參數(shù)用線性最小二乘法(LSE)得到。由于QPSO 算法具有很好的全局搜索性能，文中采用QPSO 算法對前提參數(shù)進行優(yōu)化，結論參數(shù)仍用LSE得到。下面簡述PSO 算法、QPSO 算法和LSE 算法。

1.4.1 PSO 算法 1995 年由美國社會心理學家Kennedy 和電氣工程師Eberhart 提出的PSO 算法［19］，主要思想來源于對鳥類群體行為的研究。在PSO 算法中，每一個優(yōu)化問題的解可以看做是搜索空間的一只鳥，稱為“粒子”，每個粒子由目標函數(shù)確定其適應值，每個粒子以一定的速度在解空間中運動，粒子通過追隨自身的個體最好位置與群體的全局最好位置來動態(tài)地調整自己的位置信息。

假設一個群體有M 個粒子飛行在D 維空間。對于第i 個粒子，其位置和速度分別為:xi= (xi1，xi2，…，xid，…，xiD)，vi= (vi1，vi2，…，vid，…，viD)，其中i =1，2，…，M，d = 1，2，…，D。每個粒子的位置矢量即為ANFIS 系統(tǒng)中的一組前提參數(shù)，通過PSO 算法對每個粒子的位置進行優(yōu)化更新，最終確定一個最優(yōu)的粒子，其位置矢量即為所要求的前提參數(shù)。第i 個粒子具有最好目標函數(shù)值的位置稱為個體最好位置(pbest)，表示為Pi= (Pi1，Pi2，…，PiD)。整個粒子群具有最好目標函數(shù)值的位置稱為全局最好位置(gbest)，表示為:G = (G1，G2，…，GD)。

在第(n +1)次迭代，第i 個粒子的速度和位置的更新公式可描述如下:

其中，c1和c2稱為學習因子和是(0，1)間均勻分布的相互獨立的隨機數(shù)序列。

考慮最小化問題，第i 個粒子個體最好位置更新公式為

其中，f 是目標函數(shù)。整個粒子群的全局最好位置Gn+1=，其中

1.4.2 QPSO 算法 Van den Bergh［20］已經證明了PSO 算法不能收斂于全局最優(yōu)解。孫俊等研究者發(fā)現(xiàn)，人類學習過程與粒子的量子行為極為相似，具有很大的不確定性。所以每個個體都可以用量子空間中的一個粒子來描述，并根據(jù)群體智能的聚集性，建立量子的δ 勢阱模型，設計了新的群體智能算法——QPSO 算法［17-18］。

Clerc M［21］的研究表明，粒子i 的收斂過程以點

一般情況下，學習因子c1和c2相等，則式(11)可改寫為

通過采用蒙特卡羅隨機模擬的方式，粒子的位置更新方程可寫為

其中β 稱為收縮－擴張系數(shù)。一般情況下，參數(shù)β 可采用隨迭代次數(shù)線性減小的方式控制。Cn= (，，…，)稱為平均最好位置(mbest)，定義為所有粒子個體最好位置的平均，即

這樣，式(13)的粒子位置更新公式可變?yōu)?/p>

式中取“+”或取“－”的概率都為0.5。最終，式(12)，(16)就構成了QPSO 算法中每個粒子的位置更新公式。

1.4.3 LSE 算法 每次迭代時，當粒子的位置(即前提參數(shù))更新后，采用LSE 算法可確定相應的結論參數(shù)。假設有N 組訓練數(shù)據(jù)，對于輸入(，，，)T，t = 1，2，…，N，式(3)可改寫為

其中

其中T 為轉置符號，Ydt是第t 組輸入對應的期望輸出。由結論參數(shù)組成的矩陣W 可由式(17)采用LSE算法得到［22］。

1.5 ANFIS 子檢測器的訓練過程

在使用圖1 所示邊緣檢測器對測試圖像進行邊緣檢測前，每個ANFIS 子檢測器都需單獨進行訓練。圖3 是單個ANFIS 子檢測器訓練優(yōu)化過程圖。訓練圖像可通過計算機人工構造得到，每個ANFIS 子檢測器都采用相同的訓練圖像。圖4(a)是每個ANFIS 子檢測器的原始訓練圖像，該圖像大小為128 ×128，是由1 024 個4 ×4 色塊組成，每個色塊中的16 個像素具有相同的灰度值，不同色塊的灰度值各不相同，遍取0 到255 中的所有值，不同灰度值的色塊在圖像中的位置是隨機的。圖4(b)是子檢測器輸入的訓練圖像，是在圖4(a)原始圖像上添加30% 的椒鹽脈沖噪聲得到的噪聲圖像。圖4(c)是根據(jù)圖4(a)原始圖像得到的邊緣標志圖像，也就是子檢測器期望輸出的訓練圖像，圖中像素灰度值為0，表示當前像素是邊緣像素，顯示為黑色，像素灰度值為1，表示當前像素不是邊緣像素，顯示為白色。

圖3 ANFIS 子檢測器訓練優(yōu)化過程Fig.3 Training process for an ANFIS sub-detector

文中采用計算機人工構造的圖像訓練后的邊緣檢測器，對于測試圖像的邊緣檢測具有魯棒性。在仿真實驗中，為測試文中所提出算法的邊緣檢測效果，分別對圖5(a)中2 幅從Malik 數(shù)據(jù)庫［23-24］中得到的圖像進行測試。采用計算機人工構造的圖像訓練后的邊緣檢測器，對于測試圖像的邊緣檢測具有魯棒性，其兩方面含義為:一是測試圖像與訓練圖像可完全不同;二是訓練圖像中的噪聲密度也無需與測試圖像中的噪聲密度相同，測試圖像也可以是原始圖像(非噪聲圖像)，訓練后的邊緣檢測器對受不同噪聲密度污染的各類測試圖像邊緣檢測效果均較好。

圖4 人工訓練結果Fig.4 Artificial training images

每個ANFIS 子檢測器均需要單獨進行訓練，采用基于QPSO 和LSE 的混合學習算法確定ANFIS 中前提參數(shù)和結論參數(shù)。QPSO 算法中的每個粒子的位置就是一組前提參數(shù)序列，按1.4 節(jié)所述優(yōu)化方法得到具有最好目標函數(shù)值的粒子，其位置即為所求的前提參數(shù)，由該前提參數(shù)采用LSE 算法得到所對應的結論參數(shù)。

假設由圖4(b)輸入的訓練圖像和圖4(c)期望輸出的訓練圖像得到所有的訓練數(shù)據(jù)N 組。對于每一組輸入()T，t = 1，2，…，N，ANFIS 子檢測器的實際輸出和期望輸出分別為Yt和Ydt。目標函數(shù)可由平均均方根誤差(RMSE)表示:

ANFIS 子檢測器的訓練過程可描述如下:

1)設迭代次數(shù)n = 0。初始化粒子群，包括粒子的個數(shù)M，搜索空間D(ANFIS 系統(tǒng)中前提參數(shù)的個數(shù))，隨機初始化每個粒子初始位置。

3)由式(15)得到所有粒子個體的平均最好位置。選擇一個合適的β 值，由式(12)，(16)對每個粒子的位置進行更新，采用LSE 算法得到相應的結論參數(shù)，由式(21)得到每個粒子的目標函數(shù)值，再由式(9)更新個體最好位置。最后，比較所有粒子的個體最好位置，根據(jù)式(10)得到全局最好位置Gn+1。同時保存具有全局最好位置粒子所對應的結論參數(shù)矩陣W。

4)當達到迭代結束條件時，訓練結束，全局最好位置Gn+1即為所要確定的前提參數(shù)，保存的矩陣W 即為要確定的結論參數(shù)。當?shù)Y束條件未達到時，設n = n +1，轉到步驟3)。

1.6 邊緣檢測過程

如圖1 所示，當4 個ANFIS 子檢測器都訓練完畢，就可以和一個后處理塊一起構成一個邊緣檢測器，對測試圖像進行邊緣檢測。檢測過程可描述如下:

1)以測試圖像為輸入圖像，對其中所有像素，按從上到下，從左到右的順序，逐個進行操作;

2)對當前操作像素，4 個數(shù)據(jù)提取塊分別按1.1 節(jié)中所述方式得到相應子檢測器的4 個輸入;

3)每個ANFIS 子檢測器都會得到一個輸出，這4 個輸出即為后處理塊的4 個輸入，后處理塊按1.3節(jié)中所述方式對這4 個輸入進行相應處理，得到一最終輸出，該輸出即為輸入圖像當前操作像素的邊緣標志值;

4)選取輸入圖像中下一個像素作為當前操作像素，重復步驟2)至4);

5)當輸入圖像中所有像素經過檢測器都得到輸出后，就能得到該輸入圖像相對應的邊緣圖像。

2 實驗結果

為測試算法檢測邊緣的性能，可將各算法得到的邊緣圖像與基準邊緣圖像(Ground Truth，GT)相比較。文中2 幅從Malik 數(shù)據(jù)庫［23-24］中得到的圖像可用來測試各種算法的邊緣檢測能力。該數(shù)據(jù)庫中包含了500 幅自然圖像和相應的由人工得到的基準邊緣圖像。圖5(a)和圖5(b)分別顯示2 幅原始圖像和其對應的基準邊緣圖像，其大小為481 × 321。為測試邊緣檢測器在噪聲存在情況下的檢測能力，在2 幅原始圖像中分別添加3% ～30% 椒鹽脈沖噪聲。原始圖像和噪聲圖像都作為測試圖像，用于測試各種算法的邊緣檢測性能。

圖5 測試結果Fig.5 Testing images

文 中 對 所 提 算 法 與Sobel 算 子［2-3］、LOG 算子［6］，Canny 算子［5］和文獻［13］中的算法分別進行比較，給出定性和定量評價，具體測試指標包括:邊緣檢測的準確性和對噪聲的魯棒性。對于文獻［13］中算法，在仿真實驗中，采用了4 個子檢測器，每個子檢測器中的參數(shù)使用Levenberg-Marquardt 算法進行優(yōu)化。對于文中所提算法，采用4 個ANFIS 子檢測器，每個子檢測器中的參數(shù)使用QPSO 和LSE 混合學習算法確定。每個子檢測器有4 個輸入，每個輸入對應3 個廣義鐘型隸屬函數(shù)，每個隸屬函數(shù)有3個參數(shù)(aij，bij，cij)，因此每個子檢測器有4 × 3 ×3 =36 個前提參數(shù)。QPSO 算法中每個粒子的維數(shù)D與前提參數(shù)的個數(shù)相等，也就是36。文中仿真實驗中，考慮到優(yōu)化的效果和運行效率，粒子群的大小M設為30。收縮-擴張系統(tǒng)β 隨迭代次數(shù)線性減小，其取值范圍為［1，0.5］。1.3 節(jié)式(6)中的閾值Th 對邊緣檢測效果的影響如圖6 所示。正如1.3 節(jié)中所描述的，當Th 值小時，檢測為邊緣的像素會少，一些邊緣像素沒有被檢測出來，如圖6(a)所示;當Th 值大時，檢測為邊緣的像素會多，一些非邊緣像素會誤檢為邊緣像素，如圖6(d)所示。文中Th 值設為0.38。

圖6 使用不同閾值得到的邊緣結果Fig.6 Edge maps for different threshold

2.1 定性評價

圖7 顯示的是對圖5(a)中原始圖像進行邊緣檢測的結果。圖7(a)為原始圖像，圖7(b)～(f)分別為用Sobel 算子、LOG 算子、Canny 算子、文獻［13］算法和文中算法檢測所得的邊緣圖像。從圖中可以看出，LOG 和Canny 算子會檢測出過多的邊緣，而Sobel 算子檢測出的邊緣會少，一些邊緣會丟失。文獻［13］算法和文中算法得到的邊緣檢測圖像相對較好。

圖7 使用不同算法得到的邊緣檢測結果Fig.7 Edge detecting performance using different detectors

為測試各算法在噪聲存在情況下邊緣檢測的能力，在仿真實驗中，將噪聲圖像也作為測試圖像。圖8 顯示的是對含噪10% 的測試圖像進行邊緣檢測的結果。圖8(a)為含10% 的椒鹽脈沖噪聲測試圖像，圖8(b)～(f)分別為用Sobel 算子、LOG 算子、Canny 算子、文獻［13］算法和文中算法檢測所得的邊緣圖像。從圖中可以看出，Sobel 算子、LOG算子和Canny 算子在噪聲存在的情況下，邊緣檢測的能力急劇下降，許多噪聲被誤檢為邊緣。而噪聲對文獻［13］算法和文中算法影響較小，這兩種算法仍能夠較正確地檢測出邊緣，對噪聲具有魯棒性。相比較文獻［13］算法的邊緣檢測結果，文中算法在正確檢測邊緣和對噪聲的魯棒性方面效果更佳。

圖8 使用不同算法得到的邊緣檢測結果Fig.8 Edge detecting performance using different detectors

2.2 定量評價

在文中仿真實驗中，還采用了定量評價標準TP、TN、Score［25］、PSNR(峰值信噪比)［26］，來評價各算法的邊緣檢測性能。

其中True Positive(TP)表示同時被基準邊緣圖像(GT)和檢測器得到的邊緣圖像認定為邊緣像素的個數(shù);True Negative(TN)表示同時被基準邊緣圖像(GT)和檢測器得到的邊緣圖像認定為非邊緣像素的個數(shù)。由評價標準Score 的定義可知，其大小反映了檢測器正確檢測邊緣的能力，Score 值越大，表明正確檢測邊緣的能力越強。

圖9 顯示的是使用不同的檢測算法得到Score值，檢測圖像包括原始圖像和含3% ～30% 脈沖噪聲圖像。圖9 中對應于每個噪聲密度的Score 值是2幅圖像Score 值的平均值。從圖中可以明顯看出，相比較其它算法，文中算法的Score 值為最大，這表明文中算法的正確檢測邊緣的能力最強。

圖9 使用不同算法得到的Score 值Fig.9 Score value for all detectors

為評價檢測器對噪聲的魯棒性，可以用PSNR指標，即對于某個檢測器，將由噪聲圖像得到的邊緣圖像和由原始圖像(非噪聲圖像)得到的邊緣圖像相比較。PSNR 可定義為

其中O(i，j)和N(i，j)分別表示由原始圖像得到的邊緣圖像像素和由噪聲圖像得到的邊緣圖像像素，圖像大小為M ×N。PSNR 值越大表示檢測器對噪聲的魯棒性越好。

圖10 顯示的是使用不同算法得到的PSNR 值。從圖中可以看出，文獻［13］算法和文中算法得到的PSNR 值要遠遠大于3 個傳統(tǒng)算法(Sobel 算子、LOG算子、Canny 算子)得到的PSNR 值，這進一步證明了2.1 節(jié)定性評價得到的結論，即在噪聲存在的情況下，這3 種傳統(tǒng)算法的邊緣檢測能力較差，而噪聲對文獻［13］算法和文中算法的影響相對較小，且文中算法對噪聲的魯棒性最佳。

3 結 語

文中提出了一個基于QPSO 算法的圖像邊緣檢測器，該檢測器包含4 個ANFIS 子檢測器和一個后處理塊。仿真實驗證明，相比較其它4 種算法，文中所提出的算法具有更強的邊緣檢測能力，具體表現(xiàn)在正確檢測邊緣性能和對噪聲的魯棒性兩方面。

圖10 使用不同算法得到的PSNR 值Fig.10 Average PSNR value for all detectors

文中所提出的新算法特色在于，在對噪聲圖像進行邊緣檢測前，不需要先進行濾波預處理過程。訓練圖像可由計算機人工構造，并由仿真實驗可知，采用這樣的方法構造的圖像訓練后的檢測器，對于噪聲圖像邊緣檢測具有魯棒性，即測試圖像與訓練圖像可完全不同，訓練圖像中的噪聲密度也無需與測試圖像中的噪聲密度相同。QPSO 優(yōu)化算法可用于ANFIS 的參數(shù)優(yōu)化中，較大地提高了新算法的邊緣檢測性能。

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