王亞菲，鄔海峰

(1.天津大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津300072;2.天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院，天津300072)

現(xiàn)代汽車正不斷向更智能、更高速、更復(fù)雜、更安全等方向發(fā)展，一旦汽車中某部件發(fā)生故障，將直接影響整個(gè)機(jī)車設(shè)備的正常運(yùn)行，甚至威脅到消費(fèi)者的人身財(cái)產(chǎn)安全。準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)汽車故障發(fā)生率，有助于提高汽車制造業(yè)的制造能力，提高汽車安全性能，降低汽車制造者的質(zhì)保成本。汽車的可靠性分析是預(yù)測(cè)汽車故障的核心問(wèn)題，對(duì)于汽車制造者和使用者至關(guān)重要。

汽車壽命概率分布的參數(shù)估計(jì)是可靠性分析的重要環(huán)節(jié)，只有通過(guò)參數(shù)估計(jì)建立合理、精確的統(tǒng)計(jì)學(xué)模型，才可以準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)汽車故障。通過(guò)分析汽車壽命數(shù)據(jù)對(duì)汽車壽命概率分布進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，是掌握汽車產(chǎn)品可靠性的關(guān)鍵。

威布爾分布作為一種可靠性模型，由于其合理化建模、數(shù)據(jù)擬合性好、解析表達(dá)式處理方便等優(yōu)勢(shì)，已經(jīng)在很多領(lǐng)域得到了不同程度的應(yīng)用與發(fā)展［1-9］，它能有效地?cái)M合產(chǎn)品全壽命階段的壽命數(shù)據(jù)，也可用于模擬失效率的上升、恒定和下降情況。針對(duì)威布爾分布的汽車質(zhì)保數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，文中對(duì)比了極大似然參數(shù)估計(jì)法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)法的精度，并通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了該方法的實(shí)用性，為商用汽車的可靠性評(píng)估提供直接而有效的參數(shù)估計(jì)方法。

1 威布爾分布模型

威布爾概率密度函數(shù)為

其中，t為汽車使用壽命;β為不同時(shí)期故障率曲線形狀的參數(shù);η為衡量平均故障間隔時(shí)間的尺度參數(shù)。威布爾累積分布函數(shù)為

生存函數(shù)S(t)和風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)h(t)分別為

威布爾分布的密度函數(shù)、累積分布函數(shù)和風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)分別如圖1～圖3所示。

圖1 威布爾分布的密度函數(shù)Fig.1 Probability density function of theWeibull distribution

圖2 威布爾分布的累積分布函數(shù)Fig.2 Cumulative distribution function of the Weibull distribution

圖3 威布爾分布的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)Fig.3 Hazard function of the Weibull distribution

由圖1～圖3中可以看出，形狀參數(shù)β值的不同獲得的曲線形狀有很大區(qū)別。

2 浴盆曲線

汽車在使用壽命期內(nèi)，故障發(fā)生率與使用時(shí)間有關(guān)。故障概率函數(shù)隨時(shí)間t發(fā)生變化，汽車在不同時(shí)間段內(nèi)故障率也不同。圖4反映了設(shè)備全期的故障分布，包括早期故障、偶然故障和磨損故障，因其整體形狀像浴盆，稱為浴盆曲線［10］。

圖4 浴盆曲線Fig.4 Bathtub curve

由圖4可以看出，當(dāng)β＜1時(shí)，故障率函數(shù)h(t)呈遞減分布，汽車有可能發(fā)生早期故障，適于建模早期失效;當(dāng)β=1時(shí)，h(t)為常數(shù)，汽車有可能發(fā)生偶發(fā)故障，適于建模隨機(jī)失效;當(dāng)β＞1時(shí)，h(t)呈遞增分布，汽車有可能發(fā)生磨損故障，適于建模磨耗或老化失效。威布爾分布的3種故障率β＜1，β=1，β＞1，正好與浴盆曲線的3個(gè)階段相對(duì)應(yīng)。

3 參數(shù)估計(jì)

威布爾分布的參數(shù)估計(jì)可采用最小二乘估計(jì)法［1］、矩估計(jì)法［2］、平均秩次法［3］、相關(guān)系數(shù)估計(jì)法［4］、雙線性回歸法［5］、灰色估計(jì)法［6］、極大似然估計(jì)法［7］和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法(ANN)［10］等。極大似然估計(jì)法在已知總體分布且樣本容量足夠大時(shí)，根據(jù)樣本觀測(cè)值出現(xiàn)的概率最大原則，估計(jì)總體中未知參數(shù)的估計(jì)值。極大似然估計(jì)法的結(jié)果大多具有無(wú)偏性、有效性和相合性，是一種最常見(jiàn)最有效的方法。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型引入汽車可靠性研究領(lǐng)域?qū)⒂兄诟倪M(jìn)傳統(tǒng)可靠性理論的操作方法，使可靠性模型的建模操作向著智能化方向發(fā)展，從而拓寬可靠性工程的應(yīng)用領(lǐng)域。文中對(duì)比研究了極大似然估計(jì)法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法對(duì)汽車壽命數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的結(jié)果。

3.1 極大似然估計(jì)法

在可靠性分析中，極大似然估計(jì)法被廣泛用于威布爾分布的參數(shù)估計(jì)。假設(shè)汽車壽命數(shù)據(jù)序列為ti，令xi為第i個(gè)樣本發(fā)生故障的時(shí)間，其中i=1，2，…，N，N為本批次生產(chǎn)N臺(tái)汽車進(jìn)行壽命實(shí)驗(yàn)。威布爾分布的似然方程為

通過(guò)對(duì)似然方程求解偏導(dǎo)數(shù)，可得到模型參數(shù)的極大似然估計(jì)結(jié)果:

將式(6)、式(7)進(jìn)一步整理得

式(10)只有一個(gè)自變量β，屬于單變量非線性方程，可通過(guò)Newton-Raphson迭代求解，形式如下:

其中，βk為迭代過(guò)程中第k次得到的結(jié)果;β0為初始迭代值。初始迭代值對(duì)此算法的收斂性具有一定影響，一般機(jī)械系統(tǒng)壽命估計(jì)可取形狀參數(shù)為1～10［9］。經(jīng)過(guò)迭代后可以得到 β 的估計(jì)值。然后通過(guò)式(8)得到η的估計(jì)值。

3.2 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法

在可靠性分析中，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法作為一種數(shù)學(xué)模型被廣泛地用于可靠性模型識(shí)別方法及參數(shù)估計(jì)方法中。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過(guò)W-H學(xué)習(xí)規(guī)則，或最小均方差算法(LMS)計(jì)算權(quán)值的變化，并且使網(wǎng)絡(luò)誤差的平方和最小化，能夠訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的誤差趨于最小值，且不需要導(dǎo)數(shù)，具有計(jì)算速度快和精度高的優(yōu)點(diǎn)。

針對(duì)基于威布爾分布的可靠性模型，可以采用如圖5中所示的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

圖5 威布爾分布參數(shù)估計(jì)的ANN結(jié)構(gòu)Fig.5 ANN structure of the Weibull distribution

該ANN結(jié)構(gòu)關(guān)系對(duì)應(yīng)為一元線性方程:

使用式(12)和式(13)的變換，可以將威布爾分布函數(shù)變換為

利用文獻(xiàn)［11］中的改進(jìn)型近似中位秩式(15)，可以直接計(jì)算經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(ti)并計(jì)算得到y(tǒng)。

其中:i為故障汽車的順序號(hào);n為樣本數(shù)量。將x，y輸入ANN系統(tǒng)進(jìn)行若干次訓(xùn)練，訓(xùn)練結(jié)束后得權(quán)值W即為形狀參數(shù)β，閥值b為 －βln(η)，從而得到β和η的估計(jì)值:

4 應(yīng)用實(shí)例及分析

由實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)可知，汽車壽命近似服從威布爾分布。選用某型號(hào)汽車進(jìn)行壽命統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)，在同樣的生產(chǎn)條件下，樣本數(shù)量為30，假設(shè)樣本數(shù)據(jù)服從β=1.001，η=3 569的威布爾分布，具體數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

極大似然估計(jì)法基于Matlab仿真平臺(tái)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，采用Newton-Raphson法迭代若干次后，達(dá)到迭代結(jié)果收斂區(qū)間為2%，迭代時(shí)間為23.5 s。參數(shù)估計(jì)結(jié)果為=0.981=3 639。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法基于Neuro Modeler Plus［12］仿真平臺(tái)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，采用W-H學(xué)習(xí)規(guī)則進(jìn)行1 000次訓(xùn)練，訓(xùn)練時(shí)間為0.01 s。參數(shù)估計(jì)結(jié)果為=0.975=3 650。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法的擬合結(jié)果如圖6所示，收斂曲線如圖7所示。

表1 汽車故障數(shù)據(jù)及中秩位法計(jì)算經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Tab.1 Automobile life data and calculation of the distribution function using rank-bitmethod

圖6 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法的擬合曲線Fig.6 ANN fitting results

圖7 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練收斂曲線Fig.7 Convergence curve of ANN＇s training error

由圖7可以看出，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練收斂速度很快，這也是運(yùn)算時(shí)間短的原因。

上述兩種方法的參數(shù)估計(jì)結(jié)果與已知假設(shè)參數(shù)十分接近，并且精度相當(dāng)。極大似然估計(jì)方法對(duì)完整數(shù)據(jù)和截尾數(shù)據(jù)都是適用的，這在基于汽車質(zhì)保數(shù)據(jù)的可靠性評(píng)估中更具實(shí)際意義。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)法運(yùn)算時(shí)間短，具有速度快精度高的優(yōu)點(diǎn);同時(shí)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)法的精度對(duì)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)精度的敏感性較高，通過(guò)提高經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的精度，可以進(jìn)一步提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)法的估計(jì)精度。

5 結(jié)語(yǔ)

為了對(duì)商用汽車的可靠性進(jìn)行評(píng)估，文中對(duì)比了基于二參數(shù)威布爾分布的極大似然參數(shù)估計(jì)法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)法，并將這兩種方法應(yīng)用到某商業(yè)汽車的汽車壽命數(shù)據(jù)分析中。通過(guò)實(shí)例在估計(jì)精度、計(jì)算速度和實(shí)踐意義上，對(duì)這兩種方法進(jìn)行對(duì)比并提出建議，兩種方法在數(shù)據(jù)適用性及運(yùn)算速度上各具優(yōu)點(diǎn)，精度相當(dāng)。

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