李朗

(齊魯師范學院數(shù)學學院，山東濟南250013)

可靠性數(shù)學中主要的研究對象之一就是可修復系統(tǒng)，在現(xiàn)代工程系統(tǒng)中研究可修復系統(tǒng)具有重要的現(xiàn)實意義。由于實際需要，可修復系統(tǒng)正在向提前預警與故障出現(xiàn)自動修復相結(jié)合的方向發(fā)展，由此在可修復系統(tǒng)中設計預警功能具有重要的實際意義。

文中討論具有預警功能的兩不同部件可修復系統(tǒng)，利用泛函分析和半群中的定理證明系統(tǒng)非負時間依賴解的存在唯一性，為進一步研究系統(tǒng)解的特性及系統(tǒng)主算子的一系列特性提供理論基礎。

1 模型介紹

由于實際的需要，許多系統(tǒng)都具有預警功能，此功能可對系統(tǒng)具有保障作用［1］。文中研究關(guān)于兩不同部件并聯(lián)可修復系統(tǒng)［2］，相比較文獻［3］此系統(tǒng)具有預警功能，由此改變了文獻［2］的邊界條件P(0)∈D(A)。

假設系統(tǒng)的常規(guī)故障率和修復率是常數(shù);失效系統(tǒng)修復率不是常數(shù);系統(tǒng)在狀態(tài)C不發(fā)生部件故障而且修復后與原來系統(tǒng)一樣可以正常工作;t=0時刻，系統(tǒng)正常工作。記狀態(tài)0:兩部件都正常工作;狀態(tài)1:部件A故障，B正常工作;狀態(tài)2:部件B故障，A正常工作;狀態(tài)3:A，B同時故障;狀態(tài)4:A，B由共因引起的系統(tǒng)故障［3］;狀態(tài)C:預警狀態(tài)，由于常規(guī)原因引起故障但系統(tǒng)仍能正常工作。

此模型可用如下積分-微分方程組表示:

設(x，t)∈［0，∞)×［0，∞)，各個符號表示如下:pi(t)為系統(tǒng)處于狀態(tài) i的概率，i=0，1，2，c;pj(x，t)d x為在［x，x+d x］內(nèi)處于狀態(tài) j時的概率，j=3，4;λa為部件A的故障率;λb為部件B的故障率;λc0狀態(tài)0到C的常因故障率;λc1狀態(tài)0到4的共因故障率;λc2狀態(tài)2到狀態(tài)4的共因故障率;λc3狀態(tài)1到狀態(tài)4的共因故障率;μa為部件A的修復率;μb為部件B的修復率;μi(x)為故障系統(tǒng)在狀態(tài)i并且修理時間為x的系統(tǒng)修復率且滿足:0≤μi(x)＜∞，成立。

下面簡記:

取狀態(tài)空間

則顯然(X，‖·‖)是一個Banach空間。取算子A的定義域:

pi(x)是絕對連續(xù)函數(shù)(i=3，4)且p3(0)=λbp1+λap2，p4(0)= λcpc+ λc1p0+ λc3p1+ λc2p2}，則上述系統(tǒng)可描述為狀態(tài)空間X中的一個Cauchy問題［4］:

2 主要結(jié)論

定理1［5］設算子A，E的定義如前，則

1)當λ ＞ 0時，λ∈ρ(A)，且‖(λI－A)－1‖≤

3)T(t)是正C0半群;

4)T(t)是正壓縮C0半群。

證 1)當λ ＞0時，λ∈ρ(A)且‖(λI－A)－1‖≤對任意給定的∈X，討論方程(λI－ A這等價于:

解式(2)～式(5)可得［6］

其中

再由Fubini定理可得

這說明當λ ＞0時，(λI－A)－1:X→X存在且

2)取集合 M={(p0，p1，p2，pc，p3(x)，p4(x))|pi(x)∈C∞0［0，∞)且存在一個常數(shù)Ci＞0使得pi(x)≡ 0，x∈［0，Ci］，i=3，4}，顯見 M 在 X 中稠密，因此為了證明D(A)在 X中稠密，只需證明D(A)在M中稠密即可。

令0 ＜ 2s ＜ min{c3，c4}，顯然x∈［0，2s］時有pi(x)=0(i=3，4)，令

其中

這里

易證 fs(x)∈D(A)，且

由1)，2)和Hille-Yosida定理知:A生成一C0半群，容易驗證E:X→X有界線性算子，并且由有界算子擾動定理知A+E生成一C0半群T(t)。

3)T(t)是正C0半群。由1)可知，當為非負向量時也為非負向量，這說明(λI － A)－1為正算子，同時由E的表達式可知E也是正算子;又因為

及

可知(λI－A－E)－1也為正算子，從而預解正算子A+E生成的半群T(t)是正C0半群［7］。

4)T(t)為正壓縮C0半群。假設R(I－A－E)≠X，由于R(I－A－E)是閉的［8］，那么存在0≠F∈X*，使得(Q，f)=0，?Q∈R(I－A －E);對任意∈D(A+E)有((I － A － E，f)=0;即對所有∈ D(A+E)，有，［I － (A+E)*］F)=0，即(A+E)*F=F。

也就是說，1是(A+E)*的本征值，但1顯然不是本征值，故假設不成立，因此有R(I－A－E)=X。

其中

由式(7)和彌散算子的定義知，A+E為彌散算子，結(jié)合1)，2)，3)及Phillips定理知:A+E生成正壓縮C0半群，再由半群唯一性知這個壓縮半群即是T(t)。

定理2 系統(tǒng)(1)存在唯一非負時間依賴解

由定理1得

‖(1，0，0，0，0，0)‖ ≤1，t∈［0，∞)

另一方面，因為(1，0，0，0，0，0)∈ D(A+E)故有∈D(A+E)，所以有Pi(·，t)，i=3，4滿足系統(tǒng)積分-微分方程組，且有

［1］高超，朱廣田.具有預警功能的可修復系統(tǒng)［J］.應用泛函分析學報，2011，13(1):19-28.GAO Chao，ZHU Guangtian.Repairable system with warning function［J］.Acta Analysis Functionalis Applicata，2011，13(1):19-28.(in Chinese)

［2］Dhillon B S，Anuded O C.Commom-cause failure analysis of a non-identical unit parallel system with arbitraly distributed repair time［J］.Micoroelerton Relib，1993，33(1):87-103.

［3］ArendtW.Resolvent positive operators［J］.Proc London Math Soc，1987，3:54:321-349.

［4］郭衛(wèi)華，許跟起，徐厚寶.兩不同部件并聯(lián)可修系統(tǒng)解的穩(wěn)定性［J］.應用泛函分析學報，2003，5(3):281-288.GUOWeihua，XU Genqing，XU Houbao.The stability of solution of a parallel repairable system with two non-identical unit［J］.Acta Analysis Functionalis Applicata，2003，5(3):281-288.(in Chinese)

［5］張玉峰，金愛冬.具有多個臨界和非臨界錯誤的不完全轉(zhuǎn)換的冷儲備可修復系統(tǒng)解的存在唯一性［J］.數(shù)學的實踐與認識，2004，34(12):137-143.ZHANG Yufeng，JIN Aidong.The existence and uniqueness of repairable system with a plurality of critical and non critical errors of the incomplete conversion of cold standby［J］.Mathematics in Practice and Theory，2004，34(12):137-143.(in Chinese)

［6］郭大鈞，黃春潮，梁方豪，等.實變函數(shù)與泛函分析［M］.山東:山東大學出版社，2005.

［7］秦化淑，林正國.常微分方程及應用［M］.北京:國防工業(yè)出版社，1985:108-138.

［8］陳忠，宋杰.一類正則半群上的若干探討［J］.貴州大學學報:自然科學版，2014，31(3):5-7.CHEN Zhong，SONG Jie.A class of regular semigroups［J］.Journal ofGuizhou University:Natural Science，2014，31(3):5-7.(in Chinese)