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        異面直線間距離的多種解法

        2015-01-15 23:47:04華瑞芬
        中學(xué)生理科應(yīng)試 2014年11期
        關(guān)鍵詞:異面三視圖平面

        華瑞芬

        求異面直線之間的距離是立體幾何中比較常見的問題,既是立體幾何的重點,也是難點,更是高考的熱點.對于此類問題,許多同學(xué)常常會感到比較困難,往往無從入手.求解此類問題的方法其實是多種多樣的,主要有“定義法”和“轉(zhuǎn)化法”,特別是轉(zhuǎn)化的思想技巧性強,有利于培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)新能力.“轉(zhuǎn)化法”常將兩條異面直線之間的距離,轉(zhuǎn)化成直線與平面的距離或平面與平面的距離來求解,有時還會借助于棱錐體積來求.這種解法與直線與平面、多面體、平面幾何、代數(shù)等許多知識緊密聯(lián)系,因此有利于知識的鞏固與深化.下面舉例說明求解異面直線之間距離的多種解法,希望同學(xué)們能夠從中得到有益的啟示.

        例1已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,求直線DA1與AC之間的距離.圖1

        一、定義法

        利用異面直線距離的定義,做(找)出公垂線段并求其長度.

        圖2解法1如圖1所示,易證BD1⊥AC,BD1⊥DA1.設(shè)DD1的中點為E,BD交AC于O,則OE∥BD1,連接AE交DA1于M,做MN∥OE交AC于N,則MN∥BD1,且MN為AC與DA1的公垂線

        段.如圖2,在正方形ADD1A1中,易證M為AE的一個三等分點.同理可知N為AC的一個三等分點,從而MN=23OE=13BD1=33.

        二、轉(zhuǎn)換法

        利用異面直線的距離,等于其中一條直線(a)到經(jīng)過另一條直線(b)且與這條直線(a)平行的平面的距離,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為點面的距離.

        圖3解法2如圖3,易證AC∥面DA1C1,則AC到DA1的距離等于AC到面A1DC1的距離.設(shè)AC與BD交于O,則O點到面A1DC1的距離等于異面直線DA1與AC的距離.

        ∵AC⊥BD,AC⊥B1B,∴AC⊥面BB1D1D,∴A1C1⊥面BB1D1D,

        ∴面A1DC1⊥面BB1D1D且交線為O1D,作OE⊥O1D,則OE⊥面A1DC1,易求得OE=33,即異面直線DA1與AC之間的距離為33.

        解法3 轉(zhuǎn)化為兩平行平面之間的距離.

        易證面A1C1D∥面AB1C,則面A1C1D與面AB1C的距離等于異面直線DA1與AC的距離.易證BD1⊥面A1C1D,BD1⊥面AB1C,設(shè)垂足分別為O1和O2,易證O1、O2為BD1的三等分點,所以O(shè)1O2=33,為異面直線DA1與AC的距離.

        三、等積法

        利用三棱錐體積不變,求點到面的距離.

        解法4由解法2知,AC與DA1的距離等于AC到平面A1DC1的距離.如圖4所示.

        鞏固練習(xí)

        1.一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),畫該四面體三視圖中的正視圖時,

        以zOx平面為投影面,則得到的正視圖可以為( ).

        圖5

        2.某幾何體的三視圖如圖5所示,則該幾何體的體積為 ( ).

        A16+8πB.8+8π

        C.16+16πD.8+16π

        參考答案:1.A2.A

        (收稿日期:2014-04-28)

        求異面直線之間的距離是立體幾何中比較常見的問題,既是立體幾何的重點,也是難點,更是高考的熱點.對于此類問題,許多同學(xué)常常會感到比較困難,往往無從入手.求解此類問題的方法其實是多種多樣的,主要有“定義法”和“轉(zhuǎn)化法”,特別是轉(zhuǎn)化的思想技巧性強,有利于培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)新能力.“轉(zhuǎn)化法”常將兩條異面直線之間的距離,轉(zhuǎn)化成直線與平面的距離或平面與平面的距離來求解,有時還會借助于棱錐體積來求.這種解法與直線與平面、多面體、平面幾何、代數(shù)等許多知識緊密聯(lián)系,因此有利于知識的鞏固與深化.下面舉例說明求解異面直線之間距離的多種解法,希望同學(xué)們能夠從中得到有益的啟示.

        例1已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,求直線DA1與AC之間的距離.圖1

        一、定義法

        利用異面直線距離的定義,做(找)出公垂線段并求其長度.

        圖2解法1如圖1所示,易證BD1⊥AC,BD1⊥DA1.設(shè)DD1的中點為E,BD交AC于O,則OE∥BD1,連接AE交DA1于M,做MN∥OE交AC于N,則MN∥BD1,且MN為AC與DA1的公垂線

        段.如圖2,在正方形ADD1A1中,易證M為AE的一個三等分點.同理可知N為AC的一個三等分點,從而MN=23OE=13BD1=33.

        二、轉(zhuǎn)換法

        利用異面直線的距離,等于其中一條直線(a)到經(jīng)過另一條直線(b)且與這條直線(a)平行的平面的距離,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為點面的距離.

        圖3解法2如圖3,易證AC∥面DA1C1,則AC到DA1的距離等于AC到面A1DC1的距離.設(shè)AC與BD交于O,則O點到面A1DC1的距離等于異面直線DA1與AC的距離.

        ∵AC⊥BD,AC⊥B1B,∴AC⊥面BB1D1D,∴A1C1⊥面BB1D1D,

        ∴面A1DC1⊥面BB1D1D且交線為O1D,作OE⊥O1D,則OE⊥面A1DC1,易求得OE=33,即異面直線DA1與AC之間的距離為33.

        解法3 轉(zhuǎn)化為兩平行平面之間的距離.

        易證面A1C1D∥面AB1C,則面A1C1D與面AB1C的距離等于異面直線DA1與AC的距離.易證BD1⊥面A1C1D,BD1⊥面AB1C,設(shè)垂足分別為O1和O2,易證O1、O2為BD1的三等分點,所以O(shè)1O2=33,為異面直線DA1與AC的距離.

        三、等積法

        利用三棱錐體積不變,求點到面的距離.

        解法4由解法2知,AC與DA1的距離等于AC到平面A1DC1的距離.如圖4所示.

        鞏固練習(xí)

        1.一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),畫該四面體三視圖中的正視圖時,

        以zOx平面為投影面,則得到的正視圖可以為( ).

        圖5

        2.某幾何體的三視圖如圖5所示,則該幾何體的體積為 ( ).

        A16+8πB.8+8π

        C.16+16πD.8+16π

        參考答案:1.A2.A

        (收稿日期:2014-04-28)

        求異面直線之間的距離是立體幾何中比較常見的問題,既是立體幾何的重點,也是難點,更是高考的熱點.對于此類問題,許多同學(xué)常常會感到比較困難,往往無從入手.求解此類問題的方法其實是多種多樣的,主要有“定義法”和“轉(zhuǎn)化法”,特別是轉(zhuǎn)化的思想技巧性強,有利于培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)新能力.“轉(zhuǎn)化法”常將兩條異面直線之間的距離,轉(zhuǎn)化成直線與平面的距離或平面與平面的距離來求解,有時還會借助于棱錐體積來求.這種解法與直線與平面、多面體、平面幾何、代數(shù)等許多知識緊密聯(lián)系,因此有利于知識的鞏固與深化.下面舉例說明求解異面直線之間距離的多種解法,希望同學(xué)們能夠從中得到有益的啟示.

        例1已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,求直線DA1與AC之間的距離.圖1

        一、定義法

        利用異面直線距離的定義,做(找)出公垂線段并求其長度.

        圖2解法1如圖1所示,易證BD1⊥AC,BD1⊥DA1.設(shè)DD1的中點為E,BD交AC于O,則OE∥BD1,連接AE交DA1于M,做MN∥OE交AC于N,則MN∥BD1,且MN為AC與DA1的公垂線

        段.如圖2,在正方形ADD1A1中,易證M為AE的一個三等分點.同理可知N為AC的一個三等分點,從而MN=23OE=13BD1=33.

        二、轉(zhuǎn)換法

        利用異面直線的距離,等于其中一條直線(a)到經(jīng)過另一條直線(b)且與這條直線(a)平行的平面的距離,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為點面的距離.

        圖3解法2如圖3,易證AC∥面DA1C1,則AC到DA1的距離等于AC到面A1DC1的距離.設(shè)AC與BD交于O,則O點到面A1DC1的距離等于異面直線DA1與AC的距離.

        ∵AC⊥BD,AC⊥B1B,∴AC⊥面BB1D1D,∴A1C1⊥面BB1D1D,

        ∴面A1DC1⊥面BB1D1D且交線為O1D,作OE⊥O1D,則OE⊥面A1DC1,易求得OE=33,即異面直線DA1與AC之間的距離為33.

        解法3 轉(zhuǎn)化為兩平行平面之間的距離.

        易證面A1C1D∥面AB1C,則面A1C1D與面AB1C的距離等于異面直線DA1與AC的距離.易證BD1⊥面A1C1D,BD1⊥面AB1C,設(shè)垂足分別為O1和O2,易證O1、O2為BD1的三等分點,所以O(shè)1O2=33,為異面直線DA1與AC的距離.

        三、等積法

        利用三棱錐體積不變,求點到面的距離.

        解法4由解法2知,AC與DA1的距離等于AC到平面A1DC1的距離.如圖4所示.

        鞏固練習(xí)

        1.一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),畫該四面體三視圖中的正視圖時,

        以zOx平面為投影面,則得到的正視圖可以為( ).

        圖5

        2.某幾何體的三視圖如圖5所示,則該幾何體的體積為 ( ).

        A16+8πB.8+8π

        C.16+16πD.8+16π

        參考答案:1.A2.A

        (收稿日期:2014-04-28)

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