黃普慶

“數(shù)”和“形”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的研究對象，是貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)教材的兩條主線。數(shù)形結(jié)合既是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法。在教學(xué)中合理運(yùn)用數(shù)形結(jié)合策略，有助于從現(xiàn)實(shí)生活和具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，有助于把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識。

一、數(shù)形結(jié)合，能化本于形，有助于建立概念模型

有效建立抽象的數(shù)學(xué)概念與形象的圖形之間的聯(lián)系，把數(shù)和形結(jié)合起來，并用恰當(dāng)?shù)膱D形把數(shù)學(xué)概念中最本質(zhì)的屬性演示出來，有利于豐富學(xué)生的感性認(rèn)識，幫助他們主動(dòng)建構(gòu)表象。

如教學(xué)“面積的意義”，先讓學(xué)生看、摸、比身邊的物體的面，初步感知面積的意義，然后課件呈現(xiàn)幾個(gè)規(guī)則和不規(guī)則的平面圖形，讓他們把周長描成紅色，把面積涂上綠色，最后通過觀察比較，可以輕松地建構(gòu)面積概念，并很容易抓住“周長是線，面積是面”的本質(zhì)，從而正確區(qū)分面積和周長這兩個(gè)容易混淆的概念。再如教學(xué)“體積的意義”，為使學(xué)生理解“物體所占空間的大小”，先給學(xué)生呈現(xiàn)滿滿的一杯沙子，然后將一個(gè)正方體木塊放進(jìn)杯子里，結(jié)果放不進(jìn)去，如果放進(jìn)去了，沙子就會(huì)溢出來。通過實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生明白，這里的沙子和正方體都占有一定的空間，它們所占空間的大小就是它們的體積。這樣本來是學(xué)生很難理解的一個(gè)概念，尤其是“什么是空間，它的大小又是怎樣比較的？”這個(gè)問題，通過簡單的實(shí)物演示，就讓學(xué)生很容易理解了。這樣借助學(xué)生熟知的能夠觸摸和直接感知的有形物體，能幫助學(xué)生形成鮮明的表象，再讓他們通過觀察、比較、分析、抽象、概括，從而建構(gòu)概念。

二、數(shù)形結(jié)合，能化難為易，有助于尋求數(shù)量關(guān)系

數(shù)形結(jié)合可以使數(shù)量關(guān)系的精確性與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，用正確的方式畫圖表達(dá)出題意，可以達(dá)到把題目的抽象敘述變?yōu)橹庇^呈現(xiàn)，達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的，從而使問題迎刃而解。

如“兩個(gè)數(shù)相乘，如果一個(gè)因數(shù)增加3，另一個(gè)因數(shù)不變，那么積增加18;如果一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)增加4，那么積就增加200。問原來的積是多少？”這道題很多學(xué)生在讀完題后都束手無策，原因是在兩個(gè)因數(shù)都不知道的前提下，學(xué)生不知道怎么求這兩個(gè)數(shù)的積是多少。實(shí)際上如果引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)積的變化規(guī)律去思考，就有部分學(xué)生能發(fā)現(xiàn)：這一題中積增加18是因?yàn)樵黾恿?個(gè)第二個(gè)因數(shù)，所以第二個(gè)因數(shù)就是18÷3=6;而積增加200是因?yàn)樵黾恿?個(gè)第一個(gè)因數(shù)，所以第一個(gè)因數(shù)就是200÷4=50;由此得出原來的積是50×6=300。但仍然會(huì)有相當(dāng)一部分學(xué)生還是處于半懂半不懂的狀態(tài)，此時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生換個(gè)角度思考，先假設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是長方形的長和寬，就可得出它們的乘積就是這個(gè)長方形的面積，然后得出：長增加3，寬不變，這個(gè)長方形的面積增加18;長不變，寬增加4，面積增加200，得出圖1。然后引導(dǎo)學(xué)生觀察圖1中兩個(gè)增加部分分別是什么形狀？它們的“長”分別是多少？它們的“長”跟原來長方形的長和寬有什么關(guān)系？這樣，學(xué)生就很輕松地得出：要求原來長方形的面積（兩個(gè)數(shù)的積），可以先根據(jù)寬不變，長增加3，面積增加18，用18÷3求出寬是6;再根據(jù)長不變，寬增加4，面積增加200，用200÷4求出長是50;最后用50×6=300求出長和寬的積，也就是兩個(gè)數(shù)的積。由此可見，數(shù)學(xué)上的“數(shù)”和“形”是密不可分的，只要運(yùn)用得當(dāng)，有時(shí)會(huì)收到意想不到的效果。

三、數(shù)形結(jié)合，能化隱于明，有助于發(fā)現(xiàn)事物規(guī)律

如“找規(guī)律”中的“一一間隔排列”，教材例題只給學(xué)生呈現(xiàn)出“生活中的兩種物體一一間隔排列，且兩端物體相同”的現(xiàn)象，學(xué)生很容易就發(fā)現(xiàn)了這兩種物體個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。這是因?yàn)樗麄儗ι钪械倪@些現(xiàn)象本身就很熟悉，并已具備一定的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。但對于其他的一些變式現(xiàn)象，如：同樣的一一間隔排列，如果兩端的物體不一樣，那這兩種物體的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系是怎樣的？將這種排列現(xiàn)象化直為曲，圍成封閉的一圈，這兩種物體的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系又是怎樣的？這些隱含的規(guī)律，學(xué)生就不易掌握。作為教師，可以把握時(shí)機(jī)，借助圖形，為學(xué)生呈現(xiàn)這兩種排列現(xiàn)象，讓他們觀察、比較、分析、概括，他們不僅能很好地掌握這類排列現(xiàn)象隱含的規(guī)律，而且從中能獲得不一樣的體驗(yàn)，從而明確，解決生活中的問題一定要立足于生活實(shí)際，不能一概而論。

數(shù)形結(jié)合，把要解決的有關(guān)數(shù)學(xué)規(guī)律借助圖象表現(xiàn)出來，不僅可以將一些生活現(xiàn)象隱含的規(guī)律置于明處，幫助學(xué)生更好地探究、發(fā)現(xiàn)、理解數(shù)學(xué)規(guī)律，而且通過對圖象的解讀、分析，可以進(jìn)一步提升學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，為后面的學(xué)習(xí)積累一定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

四、數(shù)形結(jié)合，能化教為學(xué)，有助于培養(yǎng)求異創(chuàng)新

陶行知說：“處處是創(chuàng)造之地，天天是創(chuàng)造之時(shí)，人人是創(chuàng)造之人?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，通過數(shù)與形的結(jié)合，不僅可以將一些難以敘述的語言簡明化、形象化，使人一目了然，而且可以給枯燥的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來一些樂趣，喚起學(xué)生探究的熱情，使他們愿意從不同的角度、不同的方向去思考問題，從而養(yǎng)成多向性思維的好習(xí)慣。

如“三角形面積公式的推導(dǎo)”，在教學(xué)中，教師一般只注重引導(dǎo)學(xué)生將兩個(gè)完全一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形，然后由平行四邊形的面積公式推導(dǎo)出三角形的面積公式。而對于其他的方法，教師一般都只字不提，或是因?yàn)檎n堂時(shí)間的關(guān)系，或是因?yàn)殡y度較大，難以向?qū)W生講清楚。實(shí)際上對于多種三角形的面積計(jì)算方法，完全可以在課前布置學(xué)生回家自己去探究。我在上這一節(jié)課時(shí)，前一天就給學(xué)生布置一個(gè)任務(wù)：回家想想有哪些辦法可以將三角形變成我們可以計(jì)算面積的平面圖形，到第二天再在班上說給大家聽。結(jié)果第二天，在組織學(xué)生探究三角形的面積計(jì)算方法時(shí)，他們給出的答案有些真是出乎我的意料，但當(dāng)我讓他們說說自己具體的做法或依據(jù)時(shí)，他們說了半天也說不清楚，于是我就讓他們動(dòng)手展示自己的做法，借助圖形的演示，他們很輕松就明白了。“授人以魚，不如授之以漁”，教師教得再好不如學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)好，更不如創(chuàng)造性的發(fā)現(xiàn)來得好。endprint

五、數(shù)形結(jié)合，能化繁為簡，有助于優(yōu)化解題思路

“數(shù)形結(jié)合”是重要的解決問題的策略之一。借助圖形，可以化繁為簡，即把繁難的題目轉(zhuǎn)化成簡單的題目，把抽象的題目轉(zhuǎn)化為具體的題目，它對解決問題有迎刃而解的妙處，同時(shí)還可以向?qū)W生滲透優(yōu)化的思想。

如教學(xué)“解決問題的策略——轉(zhuǎn)化”一課，“試一試”中有這樣一道題目： + + + = 。在不給出圖形的情況下，學(xué)生大多都是選擇先通分再相加的方法進(jìn)行計(jì)算。若繼續(xù)加上 ， ……學(xué)生就會(huì)感到計(jì)算很麻煩了。這時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察這幾個(gè)分?jǐn)?shù)，找出它們之間的聯(lián)系，并復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義，然后引導(dǎo)學(xué)生畫圖（如圖2）：用一個(gè)正方形表示“1”，先依次將正方形平均分成二份、四份、八份、十六份，然后在正方形里面標(biāo)出每個(gè)分?jǐn)?shù)。最后讓學(xué)生觀察，他們就會(huì)發(fā)現(xiàn)這四個(gè)分?jǐn)?shù)的和就是圖2中的陰影部分，它和“1”相差了 ，如果換個(gè)角度思考，將正方形看做“1”，將正方形中剩余的部分減去就得出它們的和了，即1- = ，由此馬上想到如再加上 （如圖3），它的計(jì)算結(jié)果就是1- = 。這樣原本一道很復(fù)雜的計(jì)算題，在借助圖形直觀演示后，學(xué)生就找出了非常簡單的解決此類問題的方法。

圖2 圖3

再如“一個(gè)圓柱的側(cè)面積是314平方厘米，底面半徑是5厘米，求這個(gè)圓柱的體積。”學(xué)生一般都是先求圓柱的高314÷（3.14×5×2）=10（厘米），然后計(jì)算圓柱的體積3.14×52×10=785（立方厘米）。如此列式，在現(xiàn)行小學(xué)階段，可以說是相當(dāng)復(fù)雜的了。換個(gè)角度思考，借助圖形演示，引導(dǎo)學(xué)生把這個(gè)圓柱體的底面沿直徑等分成若干扇形，并切割圓柱體，然后把切開的圓柱體拼成近似的長方體，平放于前。學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)長方體的底面積是圓柱側(cè)面積的一半，高就是圓柱底面的半徑，因此它的體積可以直接運(yùn)用“314÷2×5=785（立方厘米）”求出，既方便又快捷，并由此引導(dǎo)學(xué)生得出“圓柱的側(cè)面積÷2×半徑=圓柱的體積”，反之“圓柱的體積÷半徑×2=圓柱的側(cè)面積”。

六、數(shù)形結(jié)合，能形成思想方法，有助于煥發(fā)數(shù)學(xué)生命力

課程標(biāo)準(zhǔn)指出“數(shù)學(xué)思想要體現(xiàn)螺旋上升的原則。”小學(xué)數(shù)學(xué)不僅應(yīng)傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)知識，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法。布魯納曾說：掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法，能使數(shù)學(xué)更易于理解和記憶，領(lǐng)會(huì)基本的數(shù)學(xué)思想方法是通向遷移大道的“光明之路”。

數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想，它貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域?！皵?shù)”能解“形”，“形”能輔“數(shù)”，兩者有效結(jié)合，往往能使看上去比較難的問題簡單化、明朗化，收到意想不到的效果。但要想幫助學(xué)生牢固樹立數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法去解題的意識，并不是一兩天、一兩個(gè)月，或是一兩個(gè)單元教學(xué)所能達(dá)到的。作為教師，只有在平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐中，立足于教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際，挖掘教材中可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法的知識，合理利用數(shù)形相結(jié)合的方法教學(xué)，同時(shí)，將數(shù)學(xué)與生活中的事物聯(lián)系起來，將學(xué)生熟悉的生活事物與數(shù)學(xué)知識結(jié)合起來，從而使學(xué)生更容易掌握和運(yùn)用。經(jīng)過反復(fù)的實(shí)踐、不斷的滲透、不斷的積累，學(xué)生就會(huì)慢慢樹立數(shù)形結(jié)合思想，并體驗(yàn)到這種思想帶來的好處，他們才愿意并主動(dòng)運(yùn)用這種思想和方法去解決問題。

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非?！笨傊?，要使數(shù)形結(jié)合的方法更好地為教學(xué)服務(wù)，只有從數(shù)學(xué)發(fā)展的全局著眼，從具體的教學(xué)過程著手，讓數(shù)形結(jié)合思想方法教學(xué)成為一種有意識的教學(xué)活動(dòng)，并落到實(shí)處。

（責(zé)編 金 鈴）endprint